Рациональные способы решения алгебраических уравнений

1. Рациональные способы решения алгебраических уравнений Подготовили Лихобабина Анастасия, Кулыгина Анастасия.

2. Разделы: • Исторические факты. • Первое руководство по решению уравнений. • 22 решения за одну ночь. • Определение алгебраических уравнений. • Виды уравнений. • Способы решения. • Способы решения квадратных уравнений. • Список использованной литературы и сайтов.

3. Историческая справка.Первое руководство по решению уравнений. Багдадский ученыйIX в. Мухаммад ибн Муса Хорезми.

4. 22 решения за одну ночь. Франсуа Виет(1540 – 1603 г.)

5. Алгебраическое уравнение n-ой степени a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0 , где a0≠0 , a0, a1, …an - заданные числа

6. Видыалгебраических уравнений Линейное уравнениеax + b = 0 Квадратное уравнениеax2 + bx + c = 0 Кубическое уравнениеax3 + bx2 + cx + d = 0 Биквадратное уравнениеax4 + bx2 + c = 0 Уравнение 4-ой степени общего вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Алгебраическое уравнение n-ой степени общего вида anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0

7. Способы решения уравнений • С помощью формул сокращенного умножения: (a±b)2=a2±2ab+b2 a2-b2=(a+b)(a-b) (a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2a1a2+2a1a3+…+2an-1an (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 a3±b3=(a±b)(a2±ab+b2) an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+an-k+…+a+1) an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+an-kbk-n+…+abn-2+bn-1) НАПРИМЕР:

8. Способы решения уравнений (6x-1)2-4(3x+2)(3x-2)=-7; 36x2-12x+1-4(9x2-4)=-7; 36x2-12x+1-36x2+16=-7; 17-12x=-7; -12x=-24; x=2; Ответ:{2}. (2x-1)3-(2x-3)3=24x2-40x-24; 8x3-12x2+6x+1-8x3+36x2-54x-27=24x2-40x-24; 24x2-48x-26=24x2-40x-24; -8x=2; x=-0,25; Ответ:{0,25}.

9. 4(y2-7)-16y(y2-7)=0; (4-16y)(y2-7)=0; 4(1-4y)(y2-7)=0; (1-4y)(y2-7)=0; 1-4y=0, y2-7=0; 4y=-1, y2=7; y=-0,25, y=√7; Ответ:{-0,25;√7}. Способы решения уравнений 2. Вынесение общего множителя за скобки: Например: 2х4 + 3х3 + х2 = 0; x2(2x2+3x+1)=0; x2=0, 2x2+3x+1=0; x=0, 2x(x+1)+(x+1)=0; x=0, (2x+1)(x+1)=0; x=0, 2x+1=0, x+1=0; x=0, x=-0,5, x=-1; Ответ: {0;-0,5;-1}

10. Способы решения уравнений • Метод группировки: Например: x4-4x3+5x2-4x+4=0; x4-4x3+4x2+x2-4x+4=0; (x4-4x3+4x2)+(x2-4x+4)=0; x2(x2-4x+4)+(x2-4x+4)=0; (x2+1)(x2-4x+4)=0; x2+1=0, x2-4x+4=0; x2=-1, (x-2)2=0; Ø, x-2=0; x=2; Ответ:{2}.

11. Способы решения квадратных уравнений • Разложение левой части уравнения на множители. • Метод выделения полного квадрата. • Решение квадратных уравнений по формуле. • Решение с помощью теоремы Виета. • Решение с помощью теоремы, обратной теореме Виета. • Решение с помощью теоремы.

12. Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть уравнения на множители: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2) Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

13. Метод выделения полного квадрата Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0 х2 + 6х = х2 + 2· х ·3 х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16 Данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 = 4, х = 1, или х +3 = - 4 , х = – 7.

14. Решение квадратных уравнений по формуле Вывод формулы: Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, на 4а и следовательно имеем: 4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0. ((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0, (2ах + b)2 = b2 – 4ас, 2ах + b = ± 2ах = – b ± Х =

15. Например: 4х2+ 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0 х = , х = ; х = , х = , х = , х = –1 Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т. е. при b2 – 4ас>0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

16. Теорема Виета ax2+bx+c=0, а≠0

17. Теорема обратная, теореме Виета Если числа m и n таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c (m+n=-b, m·n=c), то эти числа являются корнями уравнения ax2+bx+c=0

18. Теорема* Если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равно нулю , то есть a+b+c=0,то корнями уравнения являются 1 и .

19. а) x2-6x+5=0 x2-x-5x+5=0 (x2-x)-(5x-5)=0 x(x-1)-5(x-1)=0 (x-5)(x-1)=0 x-5=0, x-1=0; x=5, x=1. Ответ:{1; 5}. б) x2-6x+5=0 x2-2·3·x+5=0 x2-2·3·x+9-9+5=0 (x-3)2-4=0 (x-3)2=4 x-3=2, x-3=-2; x=5, x=1. Ответ:{1; 5}. Решение уравнения несколькими способами.x2-6x+5=0

20. в)x2-6x+5=0 a=1 b=-6 c=5 D=b2-4ac=36-4·1·5=36-20=16 D>0,следовательно x= x= ;; x=5 x= ;; x=1 Ответ:{1; 5}.

21. По теореме, обратной теореме Виета г)x2-6x+5=0 x1+x2=6 x1x2=5 5=1·5 или 5=-1·(-5) x=1 x=5 Ответ: {1;5}

22. По теореме* д)x2-6x+5=0 a=1 , b=-6 , c=5 1-6+5=0 , значит x=1 x=5 Ответ: {1;5}

23. Список использованной литературы и сайтов. • http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg24.html • http://www.erudition.ru/referat/printref/id.34282_1.html • http://fio.ifmo.ru/archive/group11/c4wu7/ch1.htm • Учебник для учащихся 8 класса с углубленным изучением математики. Под редакцией Н. Я. Виленкина. • Алгебра. Сборник задач для учащихся 8-9 классов средней школы. Карп А. П.