第四章目标规划

第四章目标规划 一、目标规划的数学模型二、目标规划的图解法三、解目标规划的单纯形法四、应用举例

5x1+10x2  60 4x1+4x2 40 x1 ,x2 0 LP： max z=6x1 +8x2 s.t. 一、目标规划的数学模型例1： x1 x2 解得：最优生产计划为： x1=8件， x2=2件， max z=64元。

一、目标规划的数学模型 但如果站在企业高层领导者的角度看： • 一个计划要满足多方面的要求。财务、物资、销售、计划。 • 线性规划问题有最优解的必要条件是其可行解集非空。但实际问题有时不能满足这样的要求。 • 线性规划解的可行性和最优性具有十分明确的意义。实际问题中往往还会作某种调整和修改。

一、目标规划的数学模型 1961年，查恩斯（A. Charnes）和库柏（W. W. Cooper）提出了目标规划（Goal Programming，简称GP）。 • 目标规划在处理实际决策问题时，承认各项决策要求的存在有其合理性； • 在作最终决策时，不强调其绝对意义上的最优性。

一、目标规划的数学模型 • 例2 假设计划人员还被要求考虑如下的意见： • 由于产品II销售疲软，故希望产品II的产量不超过产品I的一半； • 原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • 最好能节约4小时设备工时； • 计划利润不少于48元。 • 最后达成了一致意见：（目标） • 原材料使用限额不得突破； • 产品II产量要求必须优先考虑； • 设备工时问题其次考虑（节约4个）； • 最后考虑计划利润的要求。

一、目标规划的数学模型 目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+和d-。 d+ : 决策值超过目标值的部分。 d-：决策值未达到目标值的部分。 d+ 0和d- 0d+．d- ＝0

一、目标规划的数学模型 2．绝对约束和目标约束绝对约束：必须严格满足的等式或不等式约束。目标约束：目标规划所特有的约束，约束右端项看作要追求的目标值，在达到目标值时，允许发生正或负的偏差。绝对约束是硬约束。目标约束是一种软约束，目标约束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。必为等式。

一、目标规划的数学模型 3．优先因子和权系数不同目标的主次轻重有两种差别。一种差别是绝对的，可用优先因子Pt来表示。优先因子间的关系为Pt》Pt+1，即Pt对应的目标比Pt+1对应的目标有绝对的优先性。另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们的重要程度可用权系数的不同来表示。

一、目标规划的数学模型 4．目标规划的目标函数目标规划的目标函数(又称为准则函数或达成函数)由各目标约束的偏差变量及相应的优先因子和权系数构成。其目标函数只能是极小化。有三种基本表达式： (1)要求恰好达到目标值。 min{f(d+＋d- )} (2)要求不超过目标值，但允许不足目标值。 min{f(d+ )} (3)要求不低于目标值，但允许超过目标值。 min{f(d- )}

(1)原材料使用限额不得突破； (2)产品II产量要求必须优先考虑； (3)设备工时问题其次考虑（节约4个）； (4)最后考虑计划利润的要求。（不少于48）例2 s.t. s.t. LP： maxZ=6x1 +8x2 5x1+10x2  60 4x1+4x2 40 x1 ,x2 0 一、目标规划的数学模型 5x1+10x2  60 2x2 – x1 +d1- -d1+=0 4x1 +4x2 +d2- -d2+=36 6x1 +8x2 +d3- -d3+=48 x1 ,x2 ,di- ,di+ 0 di- .di+=0 i=1,2,3 minZ=P1d1+ +P2(d2+) + P3(d3-)

s.t. 一、目标规划的数学模型

Ⅰ Ⅱ资源拥有量 原材料(公斤) 2 1 11 设备(小时) 1 2 10 利润(千元/件) 8 10 一、目标规划的数学模型例3 (1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制。 (2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。

2X1+X2  11 X1 -X2 +d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0 di- .di+=0 s.t. 一、目标规划的数学模型设X1 ，X2为产品Ⅰ，产品Ⅱ产量。目标函数 minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-)

一、目标规划的数学模型 例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。该厂目标： 1、充分利用装配线，避免开工不足。 2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。

X1+X2 +d1- -d1+=40 X1 +X2+d2- -d2+=50 X1+d3- -d3+=24 X2 +d4- -d4+=30 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0 (i=1,2,3,4) s.t. 一、目标规划的数学模型解：设X1 ,X2 分别表示25寸，21寸彩电产量 minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-)

一、目标规划的数学模型 小结： 1、约束条件：硬约束(绝对约束) 软约束 (目标约束)，引入d-, d+ 2、目标优先级： P1 P2  … PL 同一级中可以有若干个目标：P21 ,P22 ,P23 … 其重要程度用权重系数W21 ,W22 ,W23 …表示

一、目标规划的数学模型 3、目标函数： (1)、恰好达到目标： minZ= f (d -+d+) (2)、超过目标： minZ= f (d -) (3)、不超过目标： minZ= f (d+)

一、目标规划的数学模型 4、目标规划的目标：求一组决策变量的满意值，使决策结果与给定目标总偏差最小。 ① 目标函数中只有偏差变量。 ② 目标函数总是求偏差变量最小。 ③ Z=0：各级目标均已达到 Z>0：部分目标未达到。

minZ= d- 100X1+80X2 -d++d- =10000 4X1+2X2 400 2X1+4X2 500 X1 ,X2 ,d- ,d+ 0 d+.d- =0 s.t. 二、目标规划的图解法例1

X2 C 4X1+2X2 = 400 125 2X1+4X2 = 500 100 d+ 50 B X1 O 50 100 100X1+80X2 = 10000 二、目标规划的图解法 (1)、绝对约束可行域OBEC (2)、目标约束满意域CBE (3)、多个可行满意解： (60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000。 (4)、Zmin =0 E

s.t. 二、目标规划的图解法例2：用图解法求解。

B A D E O 二、目标规划的图解法 X2 问题的解为：线段DE 3 4 X1

minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-) 2X1+X2 11 X1-X2+d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0 例3

X2 B 11 d1- X1 -X2=0 10 minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-) 2X1+X2 11 X1-X2+d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0 F D C 5 G E d2+ 10 X1 A 5 7 O d3+ X1+2X2 = 10 2X1+X2 =11 8X1+10X2=56 解： ① 可行域⊿OAB ② 目标1： ⊿OBC 目标2：ED线段目标3：GD线段

minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=40 ① X1+X2+d2- -d2+=50 ② X1 +d3- -d3+=24 ③ X2+d4- -d4+=30 ④ 例4

X2 X1 =24 d3+ minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) C 50 40 D d4+ X1+X2 +d1- -d1+=40 ① X1+X2+d2- -d2+=50 ② X1 +d3- -d3+=24 ③ X2+d4- -d4+=30 ④ 30 X2 =30 E F B O A 30 X1 X1+X2 =50 d1+ d2- X1+X2 =40 解：

E(24,26) 获利2960 X1+X2=50 X1=24 (3)、取E (1)、满足目标①、②的满意域为ABCD (2)、先考虑③的满意域为ABEF 再考虑④，无公共满意域。 (4)、Zmin =d4- =30 - X2 + d4+=30-26=4>0

A B 电力 2 3 100(百度) 煤 4 2 120(百吨) 利润 6 4 (万元) 二、目标规划的图解法应用案例红星制药厂生产A、B两种药品，有关数据如下：（1）求最优生产计划（2）电力可多供应20（百度），利润能否达240（万元）？（3）若（2）达不到，改为以下目标规划目标1：保证利润不低于240万元目标2：耗电量、耗煤量应尽量少地超过120

maxZ=6x1+4x2 2x1+3x2 100 4x1+2x2 120 x1 ,x2  0 (1)、 s.t. minZ=P1(d1-)+P2(d2++d3+) 6x1+4x2 +d1- -d1+=240 2x1+3x2+d2- -d2+=120 4x1 +2x2 +d3- -d3+=120 xi , di- ,di+ 0 s.t. 二、目标规划的图解法解：用单纯形法求解，得解为： x1 =20， x2=20 ，Zmax =200(万元) (2)、用灵敏度分析，可得：x1 =15，x2=30 ，Zmax =210 (3)、建立目标规划模型

x2 D 4x1+2x2 =120 6x1+4x2 =240 2x1+3x2 =120 C 10 d2- E B x1 A 10 d1+ O d3- 二、目标规划的图解法 A(40，0)， B(60，0) C(24，24)， D(0，60)

二、目标规划的图解法 分析：满足P1，部分满足P2的点有A,B,C,D (如果不考虑A，B产品均需生产) 由解方程可得：A(40，0)， B(60，0) C(24，24)， D(0，60) 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1- + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+ = (4x1+ 2x2 + d3- - 120) P2 = (4×40 -120） P2=40P2 B点：ZB = 120P2 C点：ZC = 24P2 D点：ZD = 60P2 结论：取C点

三、解目标规划的单纯形法 • 计算步骤： • 建立初始单纯形表。在表尾将检验数行按优先因子个数分别列成k行，置k=1。 • 检验该行中是否存在负数且对应的前k-1行的系数为0。若有取其中最小者对应的变量为换入变量，转3）。若无负数，转5）。 • 按最小比值规则确定换出变量，当存在两个及两个以上相同的最小比值时，选取具有较高级别的变量为换出变量。 • 按单纯形法进行基变换运算，建立新计算表，返2）。 • 当k=K时，计算结束。其中的解即为满意解。否则置k=K+1,返2）。

minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-) 2X1+X2 11 X1-X2+d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0 s.t. 三、解目标规划的单纯形法例6 用单纯形法解下列问题

minZ=P1d1++P2(d2-+d2+)+P3(d3-) 2X1 +X2 +X3 = 11 X1-X2+d1- -d1+=0 X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0

三、解目标规划的单纯形法 解：化标准形。列初始单纯形表

三、解目标规划的单纯形法

三、解目标规划的单纯形法 相当G x=(2 , 4) 利润为56

三、解目标规划的单纯形法 说明： 1，还可以再做一步，d3+↗ d1-↘,可得 X=(10/3，10/3)，对应于D点； 2，初始表中检验数行：要注意化为非基变量表示式再填入。

minZ=P1d1-+P2d2++P3(2d3-+d4-) X1+X2 +d1- -d1+=40 ① X1+X2+d2- -d2+=50 ② X1 +d3- -d3+=24 ③ X2+d4- -d4+=30 ④ s.t. 三、解目标规划的单纯形法例7：用单纯形法求解

三、解目标规划的单纯形法 解：列初始单纯形表

三、解目标规划的单纯形法

三、解目标规划的单纯形法 所以，原问题的解为：X1＝24，X2＝26。 d4- ＝4，所以市场需求没有满足，每周21寸彩电只生产26台。

四、应用举例 1、友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。各种作物每亩需施化肥分别为0．12吨、0．20吨、0．15吨。预计秋后玉米每亩可收获500千克，售价为0．24元／千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1．20元／千克，小麦每亩可收获350千克，售价为0.70元／千克。农场年初规划时考虑如下几个方面： p1：年终收益不低于350万元； p2：总产量不低于1．25万吨； p3：小麦产量以0．5万吨为宜； p4：大豆产量不少于0．2万吨； p5：玉米产量不超过0．6万吨； p6：农场现能提供5000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好。试就该农场生产计划建立数学模型。

minZ=P1d1-+ P2d2-+P3(d3-+d3+)+P4d4++P5d5+ +P6(d6+) X1+X2 +X3  3×104 120X1+240X2 +245X3 +d1- -d1+=350 ×104 500X1 +200X2 +350X3 +d2- -d2+=1250 ×104 350X3 +d3- -d3+=500 ×104 200X2 +d4- -d4+=200 ×104 1000X3 +d5- -d5+=600 ×104 0.12X1 + 0. 2X2 + 0.15X3 + d6- -d6+=5000 X1 ,X2 ,di- ,di+ 0 s.t. 四、应用举例解：设种植玉米x1亩，大豆x2亩，小麦x3亩，则该问题的数学模型为:

四、应用举例 2：某电子公司生产录音机和收音机两种产品，它们均需经过两个工厂加工，每一台录音机在第一个工厂加工2小时，然后送到第二个工厂装配试验2．5小时才变为成品；每一台收音机需在第一个工厂加工4小时，在第二个工厂装配试验1．5小时才变为成品。录音机与收音机每台厂内的每月储存成本分别为8元和15元。第一个工厂有12部制造机器，每部每天工作8小时，每月正常工作天数为25天，第二个工厂有7部装配试验设备，每部每天工作16小时，每月正常工作天数仍为25天。每部机器每小时的运转成本是：第一个工厂为18元，第二个工厂为15元。每台录音机的销售利润为20元，收音机为23元。依市场预测，次月的录音机与收音机的销售量估计分别为1500台和1000台。

四、应用举例 该公司依下列次序为目标优先次序，以实现下月的生产与销售目标。 P1：厂内的储存成本最少。 P2：录音机销售量必须完成1500台。 P3：第一、二工厂的生产设备应全力运转，避免有空闲时间。两厂的运转成本当作它们间的权系数。 P4：第一个工厂的超时作业时间全月份不宜超出30小时。 P5：收音机销售量必须完成l000台。 P6；两个工厂的超时工作时间总和应予限制，其限制的比率依各厂每小时运转成本为准。试建立这个问题的目标规划模型。

2：某电子公司生产录音机和收音机两种产品，它们均需经过两个工厂加工，每一台录音机在第一个工厂加工2小时，然后送到第二个工厂装配试验2．5小时才变为成品；每一台收音机需在第一个工厂加工4小时，在第二个工厂装配试验1．5小时才变为成品。录音机与收音机每台厂内的每月储存成本分别为8元和15元。第一个工厂有12部制造机器，每部每天工作8小时，每月正常工作天数为25天，第二个工厂有7部装配试验设备，每部每天工作16小时，每月正常工作天数仍为25天。每部机器每小时的运转成本是：第一个工厂为18元，第二个工厂为15元。每台录音机的销售利润为20元，收音机为23元。依市场预测，次月的录音机与收音机的销售量估计分别为1500台和1000台。该公司依下列次序为目标优先次序，以实现下月的生产与销售目标。 P1：厂内的储存成本最少。 P2：录音机销售量必须完成1500台。 P3：第一、二工厂的生产设备应全力运转，避免有空闲时间。两厂的运转成本当作它们间的权系数。 P4：第一个工厂的超时作业时间全月份不宜超出30小时。 P5：收音机销售量必须完成l000台。 P6；两个工厂的超时工作时间总和应予限制，其限制的比率依各厂每小时运转成本为准。试建立这个问题的目标规划模型。

第四章 目标规划