一、变上限的定积分

1. 第三节　定积分的基本公式 一、变上限的定积分 二、定积分的基本公式

2. y B y = f (x) C A (x) O a x b x ≤ ≤ 一、变上限的定积分 如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x]上曲边梯形AaxC 的面积， 如图中阴影部分所示的面积. 当 x 在区间 [a, b]上变化时, 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化， 所以变上限定积分 记作  (x)． 是上限变量 x 的函数，称为积分上限函数． 即

3. 定理 1（原函数存在定理）如果函数f (x) 在区间[a, b] 上连续， 则积分上限函数 在 x 处可微,且 即变上限积分函数,对其上限变量x求导等于被积函数在上限x处的值

4. 证　按导数定义， 由  (x) 的定义得对应的函数  (x) 的量  (x)， 给自变量x以增量 x，x +x  [a, b]， 即  (x) =  (x + x) - (x)

5. 　　根据积分中值定理知道，在x与 x +x 之 间至少存在一点 x， 使  (x) 所以，当x  0 时有 x  x， f (x) f (x)， 成立. 又因为 f (x) 在区间 [a, b]上连续， 从而有  (x) 故

6. 原函数和定积分是两个完全不同 的概念， 我们知道， 从表面上看，它们之间没有联系． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　原函数存在定理揭示了定积分与不定积分的联系， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　同时肯定了连续函数的原函数一定存在. 　　　　　　　　　　　　　　　　　因此定理１具有重要的理论价值．

7. 求 (x). 例 1 解根据定理1，得

8. 例 2 求 F (x). 解根据定理1，得

9. 求 (x). 例 3 解  (x)

10. 二、牛顿-莱布尼兹公式 定理 2(牛顿-莱布尼兹公式) 如果函数F(x) 是连续函数 f (x) 在区间[a, b]上的任意原函数， 即 则

11. ≤ ≤ 证　由定理 1 知道 又由题设知道 F(x) 也是 f (x) 在 [a, b]上一个原函数， f (x) 在 [a, b]上的一个原函数， 由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数， 即 ① 把 x = a代入①式中， 于是得 则，常数 C = F(a)，

12. 移项，得 令 x = b代入上式中， 再把积分变量 t换成 x， 得 ② 　　为了今后使用该公式方便起见，把 ② 式右端的 这样 ② 式就写成如下形式：

13. 例 4计算下列定积分. 解

14. 例 5计算下列定积分. 解

15. 例6 解

16. 学生练习: • 教材141页第三题的(1),(2) • 作业:教材141页第三题的(4),(5),(6),(7)