Wykład 5 Standardowy błąd a odchylenie standardowe

1. Wykład 5Standardowy błąd a odchylenie standardowe • Odchylenie standardowe z próby s: • Służy do oceny zmienności w zbiorze danych • Gdy n wzrasta s zbliża się do odchylenia standardowego w populacji  • Używane do przewidywań dotyczących indywidualnych obserwacji

2. Błąd standardowy średniej SE = : • Służy do oceny niepewności związanej z estymacją średniej w populacji • Maleje do zera wraz ze wzrostem n • Używane do przewidywań dotyczących średniej

3. Jak duża powinna być próba? • Poprzez wybór odpowiedniego n możemy uzyskać PU o odpowiedniej (dowolnie małej) szerokości • Możemy estymować z zadaną precyzją • Przykład: znajdź rozmiar próby taki, aby 95% PU dla średniej miał szerokość 5.

4. Załóżmy, że  =10. Wtedy Na ogół nie znamy, możemy jednak wykonać badanie wstępne (mała próba) i użyć s.

5. Podstawowe założenie (jeszcze raz) • Próba musi być losowa: • każdy element w populacji ma jednakową szansę być wybranym • poszczególne wybory są od siebie niezależne • Jeżeli to założenie nie jest spełnione to wzrost n może nie gwarantować zmniejszenia SE.

6. Przedział ufności dla frakcji w populacji • Estymujemypza pomocą • Chcemy skonstruować przedział ufności dla p • Moglibyśmy skorzystać z rozkładu dwumianowego, ale wymagałoby to uciążliwych rachunków. • Korzystamy z przybliżenia rozkładu Bernoulliego rozkładem normalnym • Gdy Y ma rozkład dwumianowy (n, p) i n jest duże, wtedy Y ma w przybliżeniu rozkład normalny

7. = Y/n ma wartość oczekiwaną= i = Zatem ma w przybliżeniu rozkład

8. Przedział ufności dlap • Będziemy korzystali z przybliżonegoprzedziału ufności Agrestiego-Coula (patrz np. Brown, Cai i DasGupta, Annals of Statistics, 2002): • Środkiem przedziału będzie (modyfikacja ) • Przypomnijmy, że Z/2jest taką liczbą, że Pr(Z < - Z/2) = Pr(Z > Z/2) = /2 • Dla 95% PU, = 0.05 i Z/2 = 1.96

9. Definiujemy SE dladefiniujemy jako Np. dla 95% PU wstawiamy Z0.025 = 1.96 i dostajemy

11. Przedział ufności dla p (cd.) • Skonstruujemy przybliżonyprzedział ufności dla p, z centrum w • Użyjemy kwantyli z rozkładu normalnego Z/2 • Dla 95% PU użyjemy Z0.025 =1.96 • Dla 90% PU użyjemy Z0.05 =1.65; dla 99% PU użyjemy Z0.005=2.58. • przybliżony 95% PUdlapwynosi

12. Przykład: • Złapano 125 myszyi 6 z nich ma brzuszkinakrapiane na biało • p = frakcja myszek w całej populacji, które mają nakrapiane na biało brzuszki • 95% PU dlap:

13. 90% PU dlap

14. Sformułowanie konkluzji: Mamy 90% pewnościże frakcja myszek w tej populacji, które mają brzuszki nakrapiane na biało zawiera się w przedziale między a . • Zauważmy, że 90% PUjest niż 95% PU i że przedziały te mają różne środki.

15. Klasyczny przybliżony przedział ufności (informacja) • Klasyczny przedział ufności uzyskuje się biorąc za jego środek i zastępując p przez we wzorze na  i błąd standardowy. • Klasyczne przedziały ufności zachowują się źle, gdy liczba sukcesów (Y) jest bliska zeru lub n. Może się wtedy zdarzyć np., że klasyczny PU zawiera ujemne wartości.

16. Jak duża powinna być próba ? • Chcemy aby 95% PU miał długość nie większą od zadanej.Jak ustalić rozmiar próby? • Idea: długość przedziału zależy od n, skąd można wyznaczyć wystarczający rozmiar próby. • Uwaga – długość przedziału zależy też od , którego nie znamy. • Jeżeli wiemy w przybliżeniu, jakie jest p, to możemy tej przybliżonej wartości użyć w równaniu na długość przedziału (skąd wyznaczymy n) • Jeżeli nie mamy żadnych wstępnych informacji, to użyjemyp = 0.5. Prowadzi to do ostrożnego wyboru n: szerokość PU skonstruowanego w oparciu o próbę o wyliczonym rozmiarze nie będzie większa od założonej, a może być dużo mniejsza. (Czy to dobrze?)

17. Przykład • Chcemy aby SE było równe0.005 (95% PU będzie miał długość około 0.02). • Przypuszczamy, że prawdziwepjest bliskie0.05.Rachunki: • Konkluzja: „Proszę złapać myszy.”

18. Obliczenia, gdy nie wiemy nic op: • Konkluzja: „Proszę złapać myszy.”

19. Asymptotyczne przedzialy ufnosci dla estymatorow najwiekszej wiarogodnosci – patrz tablica