ลำดับและอนุกรม

ลำดับและอนุกรม F M B N นางสาวสุพรรษา ธรรมสโรช ครู ผู้ช่วย โรงเรียนโนนคำพิทยาคม

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับ ลำดับเลขคณิต สารบัญเนื้อหา ลำดับเรขาคณิต อนุกรม อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ 1 2 3 4 5 รูปที่ 1 2 3 4 5 จำนวนจุด 1 3 6 10 15

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ รูปที่ 1 2 3 4 5 จำนวนจุด 1 3 6 10 15 ความสัมพันธ์ระหว่างลำดับที่ของรูปและจำนวนจุดในแต่ละรูปเป็น ฟังก์ชัน โดยที่ โดเมน เรนจ์

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ พิจารณา จะสามารถเขียนเป็นความสัมพันธ์ระหว่างลำดับที่ของแต่ละจำนวนกับค่าจำนวนนั้น ๆ ได้ดังนี้ ลำดับที่ จำนวน โดเมน เรนจ์

ลำดับและอนุกรม F M B N การหาพจน์ที่ n ของลำดับ ตัวอย่าง กำหนดฟังก์ชัน จงหาค่าของ เมื่อ มีค่าเป็น 1, 2, 3, 4 วิธีทำ จาก จะได้ ดังนั้น ค่าของ เมื่อ มีค่าเป็น 1, 2, 3, 4 คือ

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ ลำดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก ที่เรียงจากน้อยไปมาก โดยเริ่มตั้งแต่ 1 ลำดับที่มีโดเมนเป็น เรียกว่า ลำดับจำกัด ลำดับที่มีโดเมนเป็น เรียกว่า ลำดับอนันต์ การเขียนลำดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ ถ้า เป็นลำดับจำกัด จะเขียนแทนด้วย ถ้า เป็นลำดับอนันต์ จะเขียนแทนด้วย พจน์ที่ 1 ของลำดับ พจน์ที่ 2 ของลำดับ พจน์ที่ 3 ของลำดับ พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไป

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ ตัวอย่าง จากลำดับ จากลำดับ จะได้ว่า จะได้ว่า

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ การเขียนลำดับ เช่น เป็นการเขียนแบบแจงพจน์ นอกจากจะเขียนลำดับแบบแจงพจน์ ยังสามารถเขียนในรูปพจน์ทั่วไป โดยอาจจะระบุสมาชิกของโดเมนคู่ไปด้วยก็ได้ เช่น เมื่อ เมื่อ ถ้าไม่ระบุสมาชิกของโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์

ลำดับและอนุกรม F M B N ความหมายของลำดับ ตัวอย่าง การเขียนลำดับในรูปแบบต่าง ๆ 4 2 1 5 3

ลำดับและอนุกรม F M B N การหาพจน์ที่ n ของลำดับ ตัวอย่าง จงหาสี่พจน์แรกของลำดับ วิธีทำ จากพจน์ทั่วไป จะได้ ดังนั้น สี่พจน์แรกของลำดับนี้คือ

ลำดับและอนุกรม F M B N การหาพจน์ที่ n ของลำดับ ตัวอย่าง จงหาสี่พจน์แรกของลำดับอนันต์ที่ พร้อมทั้งเขียนลำดับนี้โดยการแจงพจน์ วิธีทำ จากพจน์ทั่วไป จะได้ ดังนั้น ลำดับนี้คือ

ลำดับและอนุกรม F M B N การหาพจน์ที่ n ของลำดับ ตัวอย่าง จงหาสองพจน์ถัดไปของลำดับ วิธีทำ พิจารณาความสัมพันธ์ของลำดับ ดังนั้น สองพจน์ถัดไปของลำดับนี้คือ และ

ลำดับและอนุกรม F M B N การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ ตัวอย่าง จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด วิธีทำ จากลำดับจำกัด จะได้ว่า ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้คือ เมื่อ

ลำดับและอนุกรม F M B N การหาพจน์ทั่วไปของลำดับ ตัวอย่าง จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับจำกัด วิธีทำ ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับจำกัดนี้คือ เมื่อ

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต พิจารณาลำดับต่อไปนี้ ลำดับเลขคณิต

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างระหว่างพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน มีค่าเท่ากันตลอด ผลต่างระหว่างพจน์ ที่มีค่าเท่ากันตลอด เรียกว่า ผลต่างร่วม เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างระหว่างพจน์ จะได้ ตัวอย่าง นั่นคือ ผลต่างร่วม เท่ากับ 3

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาว่าลำดับ เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ วิธีทำ จากลำดับ ให้ เป็นผลต่างระหว่างพจน์หลังและพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน จะได้ เท่ากันหมด ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาว่าลำดับ เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ วิธีทำ จากลำดับ ให้ เป็นผลต่างระหว่างพจน์หลังและพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน จะได้ เท่ากันหมด ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 3

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาว่าลำดับ เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ วิธีทำ จากลำดับ ให้ เป็นผลต่างระหว่างพจน์หลังและพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน จะได้ เท่ากันหมด ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับเลขคณิต และมีผลต่างร่วมเท่ากับ -4

ลำดับและอนุกรม F M B N ลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาว่าลำดับ เป็นลำดับเลขคณิตหรือไม่ วิธีทำ จากลำดับ ให้ เป็นผลต่างระหว่างพจน์หลังและพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน จะได้ ไม่เท่ากันหมด ดังนั้น ลำดับนี้ไม่เป็นลำดับเลขคณิต

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต กำหนดลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วมเท่ากับ

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต กำหนดลำดับ เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วมเท่ากับ จะได้ว่าพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป เท่ากับ จากพจน์ทั่วไปข้างต้น เราจะสามารถหาพจน์ใด ๆ ของลำดับเลขคณิตได้อย่างง่าย ๆ ถ้าทราบ พจน์ที่ 1 และผลต่างร่วม

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 7 ของลำดับเลขคณิต ที่มีพจน์แรกเท่ากับ 5 และผลต่างร่วมเท่ากับ 3 วิธีทำ วิธีที่ ใช้สูตร ทั้งหมด จากโจทย์จะได้ และ และ จะได้ 1

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 4, 5, 6 และ 7 ของลำดับเลขคณิต ที่มีพจน์แรกเท่ากับ 5 และผลต่างร่วมเท่ากับ 3 วิธีทำ วิธีที่ ใช้สูตร เพียงพจน์เดียว จากโจทย์จะได้ และ และ จะได้ 2

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต วิธีทำ วิธีที่ ใช้สูตร ทั้งหมด จากโจทย์จะได้ และ และ จะได้ 1

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาสี่พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณิต วิธีทำ วิธีที่ ใช้สูตร เพียงพจน์เดียว จากโจทย์จะได้ และ และ จะได้ 2

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 35 ของลำดับเลขคณิต วิธีทำ จากโจทย์จะได้ และ และ จะได้ ดังนั้น พจน์ที่ 35 ของลำดับนี้คือ

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต วิธีทำ จากโจทย์จะได้ และ และ จะได้ ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับนี้คือ

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มีพจน์ที่ 5 และ 8 เท่ากับ 34 และ 52 ตามลำดับ จากโจทย์จะได้ และ วิธีทำ และ จะได้ หาค่า โดยแทน ใน

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิตที่มีพจน์ที่ 10 เท่ากับ 31 และ ผลต่างร่วมเท่ากับ 3 จากโจทย์จะได้ และ ต้องการหาว่า วิธีทำ หา จาก จาก จะได้

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต การหาพจน์ที่ใด ๆ ของลำดับเลขคณิต โดยใช้ จำเป็นต้องทราบค่าที่เกี่ยวข้องถึง 2 ค่า คือ พจน์ที่ 1 หรือ ผลต่างร่วม หรือ ซึ่งค่อนข้างจะใช้เวลาพอสมควร เพื่อให้ง่ายขึ้น ลองพิจารณาลำดับเลขคณิตต่อไปนี้ 2 1

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต กำหนดลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วมเท่ากับ จะได้ว่า ถ้าทราบพจน์ใดพจน์หนึ่งของลำดับ และผลต่างร่วม จะสามารถหาพจน์ที่ต้องการได้เสมอ โดยไม่ต้องหาพจน์แรก เช่น ถ้าทราบพจน์ที่ 10 ต้องการหาพจน์ที่ 14 จะได้ ถ้าทราบพจน์ที่ 15 ต้องการหาพจน์ที่ 8 จะได้

ลำดับและอนุกรม F M B N พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต ตัวอย่าง จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิตที่มีพจน์ที่ 10 เท่ากับ 31 และ ผลต่างร่วมเท่ากับ 3 จากโจทย์จะได้ และ ต้องการหาว่า วิธีทำ จาก จะได้

ลำดับและอนุกรม

ลำดับและอนุกรม

Presentation Transcript