公共経済学 (06,06,02)

1. 公共経済学(06,06,02) 投票のパラドックスと中位投票者モデル１

2. 7.1 投票のパラドックス ＜基本的な前提＞ • 3名の投票者＝投票者1、投票者2、投票者3 • ３つの選択肢＝選択肢a、選択肢b、選択肢c ＜選択肢の例＞ 　 選択肢a＝道路の建設 　 選択肢b＝公園の建設 　 選択肢c＝美術館の建設

3. 多数決投票均衡と投票のパラドックス

4. 多数決投票均衡と投票のパラドックス • xMy選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択される。

5. 多数決投票均衡と投票のパラドックス • xMy選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択される。 • 選択肢ｘが「多数決投票均衡」である。 ｘMyが任意のｙ (＝x)について成立する。

6. 多数決投票均衡と投票のパラドックス • xMy選択肢ｘと選択肢ｙで多数決投票をするとｘが選択される。 • 選択肢ｘが「多数決投票均衡」である。 ｘMyが任意のｙ (＝x)について成立する。 • 「投票のパラドックス」 「多数決投票均衡」が存在しない。

7. 「選好の集まり」の表現方法

8. 「選好の集まり」の表現方法

9. 「選好の集まり」の表現方法

10. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。

11. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1は？に投票する。 投票者2は 投票者3は

12. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2は 投票者3は

13. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2は?に投票する。 投票者3は

14. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3は

15. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3は?に投票する。

16. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。

17. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数＝？ bの得票数＝？

18. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数＝２ bの得票数＝１

19. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数＝２ bの得票数＝１ 　 多数決投票で？が選択される

20. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数＝２ bの得票数＝１ 　 多数決投票でaが選択される

21. 表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数＝２ bの得票数＝１ 　 多数決投票でaが選択される aMb

22. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝？ cの得票数＝？ ⇒　

23. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　

24. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc or cMb？

25. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc

26. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc • cとaで多数決投票をしたとする。 cの得票数＝？ aの得票数＝？ ⇒　

27. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc • cとaで多数決投票をしたとする。 cの得票数＝２ aの得票数＝１ ⇒　cMa or aMc？

28. 問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数＝２ cの得票数＝１ ⇒　bMc • cとaで多数決投票をしたとする。 cの得票数＝２ aの得票数＝１ ⇒　cMa

29. 問題7-1 cMa ⇒ aMcではない。 ⇒ aMyが任意のy(＝a)に対して成立していない。 ⇒ aは「多数決投票均衡」ではない。 同様にして、bとcも「多数決投票均衡」ではない。 ⇒　「多数決投票均衡」は存在しない。 ⇒　「投票のパラドックス」

30. 「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡 • 選択肢を1列に並べる順序について検討する。たとえば、（a, b, c）などである

31. 「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡 • 選択肢を1列に並べる順序について検討する。たとえば、（a, b, c）などである a b c

32. 問題7-2：並べる順序の数は？ • (a, b, c) • (a, c, b) • (b, a, c) • (b, c, a) • (c, a, b) • (c, b, a) 以上の６つの順序がある。

33. 単峰型順序（single-peakedness ordering） • ある「選好の集まり」の下で、 「選択肢の順序」が「単峰型順序」である とは、 「全ての投票者に関して、 ある選択肢より好ましい選択肢が、 右側と左側同時には存在しない」 ことである。

34. 表２

35. (a, c, b)は「単峰型順序」ではない ＜理由＞ 投票者１は 「選択肢cの左にある選択肢aと 右にある選択肢bを、 選択肢cより選好する」 からである（図１参照）。

37. 問題7-3 • 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序は？ • ある順序の下で、 「真中にある選択肢の選好の順位が 第3位になっている投票者が存在する」 ときは、単峰型順序ではない。 （例）(a, c, b)のときは投票者１が存在する。

38. 問題7-3 • 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、 3人の投票者とも選好の第3位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか？ ⇒　b • したがって、単峰型順序は？ 　⇒　(a, b, c)と

39. 問題7-3 • 表２で「選好の集まり」が与えられているとき、 3人の投票者とも選好の第3位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか？ ⇒　b • したがって、単峰型順序は？ 　⇒　(a, b, c)と(c, b, a)である。

41. 問題7-4 • 表１で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序が存在しないことを示しなさい。 • ある順序の下で、 「真中にある選択肢の選好の順位が 第3位になっている投票者が存在する」 ときは、その順序は単峰型順序ではない。

42. 表1

43. 問題7-4 • 選択肢aが真中にある順序のとき、aの選好の順位が第3位の投資家は？ ⇒投資家２ • 選択肢bが真中にある順序のとき、bの選好の順位が第3位の投資家は？ ⇒投資家３ • 選択肢cが真中にある順序のとき、cの選好の順位が第3位の投資家は？ ⇒投資家１

44. 単峰性とは 「ある選好の集まりが単峰性を満たす」 とは、 「その選好の集まりの下で単峰型順序が存在する」 ことである。

45. 単峰性と「選好の集まり」 • 表２の「選好の集まり」は単峰性を満たすか？ ⇒問題7-4より単峰型順序が存在する。 ⇒単峰性を満たしている。 • 表１の「選好の集まり」は単峰性を満たすか？ ⇒問題7-5より単峰型順序が存在しない。 ⇒単峰性を満たしていない。

46. 単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。

47. 単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。 　 「多数決投票均衡」が存在する。

48. 単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。 　 「多数決投票均衡」が存在する。 ことを示そう。

49. 問題7-5 • ある「選好の集まり」の下で、 「投票者ごとに 　選好の順位が第3位の選択肢が 　それぞれ異なっている。 ⇒ その「選好の集まり」は、 単峰性を満たしていない」 ことを説明しなさい。

50. 問題7-5 • ある「選好の集まり」の下で、 『投票者ごとに選好の順位が第3位の選択肢が異なっている。 ⇒ 任意の選択肢の順序(x, y, z)に関して yの選好順位が第3位の投票者が存在する。 ⇒ その投票者にはyの両側にyよりも選好する選択肢がある。 ⇒ 任意の順序(x, y, z)は単峰型順序ではない。』 • ある「選好の集まり」の下で、 投票者ごとに第3位の選択肢が異なっている。 ⇒その「選好の集まり」は単峰性を満たしていない。