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公共経済学 (06,06,02). 投票のパラドックスと中位投票者モデル1. 7.1 投票のパラドックス. <基本的な前提> 3 名の投票者=投票者 1 、投票者 2 、投票者 3 3つの選択肢=選択肢 a 、選択肢 b 、選択肢 c <選択肢の例> 選択肢 a =道路の建設 選択肢 b =公園の建設 選択肢 c =美術館の建設. 多数決投票均衡と投票のパラドックス. 多数決投票均衡と投票のパラドックス. xMy 選択肢xと選択肢yで多数決投票をするとxが選択される 。. 多数決投票均衡と投票のパラドックス.
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公共経済学(06,06,02) 投票のパラドックスと中位投票者モデル1
7.1 投票のパラドックス <基本的な前提> • 3名の投票者=投票者1、投票者2、投票者3 • 3つの選択肢=選択肢a、選択肢b、選択肢c <選択肢の例> 選択肢a=道路の建設 選択肢b=公園の建設 選択肢c=美術館の建設
多数決投票均衡と投票のパラドックス • xMy選択肢xと選択肢yで多数決投票をするとxが選択される。
多数決投票均衡と投票のパラドックス • xMy選択肢xと選択肢yで多数決投票をするとxが選択される。 • 選択肢xが「多数決投票均衡」である。 xMyが任意のy (=x)について成立する。
多数決投票均衡と投票のパラドックス • xMy選択肢xと選択肢yで多数決投票をするとxが選択される。 • 選択肢xが「多数決投票均衡」である。 xMyが任意のy (=x)について成立する。 • 「投票のパラドックス」 「多数決投票均衡」が存在しない。
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1は?に投票する。 投票者2は 投票者3は
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2は 投票者3は
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2は?に投票する。 投票者3は
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3は
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3は?に投票する。
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数=? bの得票数=?
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数=2 bの得票数=1
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数=2 bの得票数=1 多数決投票で?が選択される
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数=2 bの得票数=1 多数決投票でaが選択される
表1の下でaMbが成立する。 • aとbで多数決投票をしたとする。 投票者1はaに投票する。 投票者2はbに投票する。 投票者3はaに投票する。 aの得票数=2 bの得票数=1 多数決投票でaが選択される aMb
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=? cの得票数=? ⇒
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=2 cの得票数=1 ⇒
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=2 cの得票数=1 ⇒ bMc or cMb?
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=2 cの得票数=1 ⇒ bMc
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=2 cの得票数=1 ⇒ bMc • cとaで多数決投票をしたとする。 cの得票数=? aの得票数=? ⇒
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=2 cの得票数=1 ⇒ bMc • cとaで多数決投票をしたとする。 cの得票数=2 aの得票数=1 ⇒ cMa or aMc?
問題7-1 • bとcで多数決投票をしたとする。 bの得票数=2 cの得票数=1 ⇒ bMc • cとaで多数決投票をしたとする。 cの得票数=2 aの得票数=1 ⇒ cMa
問題7-1 cMa ⇒ aMcではない。 ⇒ aMyが任意のy(=a)に対して成立していない。 ⇒ aは「多数決投票均衡」ではない。 同様にして、bとcも「多数決投票均衡」ではない。 ⇒ 「多数決投票均衡」は存在しない。 ⇒ 「投票のパラドックス」
「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡 • 選択肢を1列に並べる順序について検討する。たとえば、(a, b, c)などである
「選好の集まり」の単峰性と多数決投票均衡 • 選択肢を1列に並べる順序について検討する。たとえば、(a, b, c)などである a b c
問題7-2:並べる順序の数は? • (a, b, c) • (a, c, b) • (b, a, c) • (b, c, a) • (c, a, b) • (c, b, a) 以上の6つの順序がある。
単峰型順序(single-peakedness ordering) • ある「選好の集まり」の下で、 「選択肢の順序」が「単峰型順序」である とは、 「全ての投票者に関して、 ある選択肢より好ましい選択肢が、 右側と左側同時には存在しない」 ことである。
(a, c, b)は「単峰型順序」ではない <理由> 投票者1は 「選択肢cの左にある選択肢aと 右にある選択肢bを、 選択肢cより選好する」 からである(図1参照)。
問題7-3 • 表2で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序は? • ある順序の下で、 「真中にある選択肢の選好の順位が 第3位になっている投票者が存在する」 ときは、単峰型順序ではない。 (例)(a, c, b)のときは投票者1が存在する。
問題7-3 • 表2で「選好の集まり」が与えられているとき、 3人の投票者とも選好の第3位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか? ⇒ b • したがって、単峰型順序は? ⇒ (a, b, c)と
問題7-3 • 表2で「選好の集まり」が与えられているとき、 3人の投票者とも選好の第3位になる選択肢が真中にないようにするためには、真中にどの選択肢があればよいか? ⇒ b • したがって、単峰型順序は? ⇒ (a, b, c)と(c, b, a)である。
問題7-4 • 表1で「選好の集まり」が与えられているとき、単峰型順序が存在しないことを示しなさい。 • ある順序の下で、 「真中にある選択肢の選好の順位が 第3位になっている投票者が存在する」 ときは、その順序は単峰型順序ではない。
問題7-4 • 選択肢aが真中にある順序のとき、aの選好の順位が第3位の投資家は? ⇒投資家2 • 選択肢bが真中にある順序のとき、bの選好の順位が第3位の投資家は? ⇒投資家3 • 選択肢cが真中にある順序のとき、cの選好の順位が第3位の投資家は? ⇒投資家1
単峰性とは 「ある選好の集まりが単峰性を満たす」 とは、 「その選好の集まりの下で単峰型順序が存在する」 ことである。
単峰性と「選好の集まり」 • 表2の「選好の集まり」は単峰性を満たすか? ⇒問題7-4より単峰型順序が存在する。 ⇒単峰性を満たしている。 • 表1の「選好の集まり」は単峰性を満たすか? ⇒問題7-5より単峰型順序が存在しない。 ⇒単峰性を満たしていない。
単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。
単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。 「多数決投票均衡」が存在する。
単峰性と投票のパラドックス 以下で、 「選好の集まり」が単峰性を満たしている。 ⇒「投票のパラドックス」が発生しない。 「多数決投票均衡」が存在する。 ことを示そう。
問題7-5 • ある「選好の集まり」の下で、 「投票者ごとに 選好の順位が第3位の選択肢が それぞれ異なっている。 ⇒ その「選好の集まり」は、 単峰性を満たしていない」 ことを説明しなさい。
問題7-5 • ある「選好の集まり」の下で、 『投票者ごとに選好の順位が第3位の選択肢が異なっている。 ⇒ 任意の選択肢の順序(x, y, z)に関して yの選好順位が第3位の投票者が存在する。 ⇒ その投票者にはyの両側にyよりも選好する選択肢がある。 ⇒ 任意の順序(x, y, z)は単峰型順序ではない。』 • ある「選好の集まり」の下で、 投票者ごとに第3位の選択肢が異なっている。 ⇒その「選好の集まり」は単峰性を満たしていない。