第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图

1. 第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图

3. 分析要判断几何体的类型，从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体．分析要判断几何体的类型，从各类几何体的结构特征入手，以柱、锥、台的定义为依据，把复杂的几何体分割成几个简单的几何体．

4. 解(1)如图1所示，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可知每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱．(2)如图2所示，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．(3)如图3所示，由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点，将直角梯形分为一个Rt△AOD和矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．解(1)如图1所示，该几何体满足有两个面平行，其余六个面都是矩形，可知每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是正六棱柱．(2)如图2所示，等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形，每个直角梯形旋转180°形成半个圆台，故该几何体为圆台．(3)如图3所示，由梯形ABCD的顶点A引AO⊥CD于O点，将直角梯形分为一个Rt△AOD和矩形AOCB，绕CD旋转一周形成一个组合体，该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成．

5. 　图1　　　　　图2　　　　　　图3

6. 规律总结空间几何体的概念和特征，是研究几何体及其点、线、面位置关系的基础，要在大量观察综合的基础上，准确记忆．判断空间几何体的特征，需要紧紧依据相关概念进行．规律总结空间几何体的概念和特征，是研究几何体及其点、线、面位置关系的基础，要在大量观察综合的基础上，准确记忆．判断空间几何体的特征，需要紧紧依据相关概念进行．

7. 变式训练1下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的是()A．三棱锥有四个面是三角形 B．棱锥的侧棱长都相等C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点

8. 【解析】根据棱锥的几何特征，可以判断选项B错误．【解析】根据棱锥的几何特征，可以判断选项B错误． 【答案】B

9. 　画几何体的三视图画出如图所示几何体的三视图．　画几何体的三视图画出如图所示几何体的三视图．

10. 分析　图(1)为正六棱柱，可按棱柱画法画出；图(2)为一个圆锥和圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．解三视图如下：分析　图(1)为正六棱柱，可按棱柱画法画出；图(2)为一个圆锥和圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．解三视图如下：

11. 规律总结正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影，它们都是平面图形．同一个几何体，若放置的方法不同，所观察到的形状也会不同．一般地，侧视图放在正视图的右边，俯视图放在正视图的下边．规律总结正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观察到的几何体的正投影，它们都是平面图形．同一个几何体，若放置的方法不同，所观察到的形状也会不同．一般地，侧视图放在正视图的右边，俯视图放在正视图的下边．

12. 变式训练2(2010·广东高考)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC­A′B′C′的正视图(也称主视图)是()变式训练2(2010·广东高考)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC­A′B′C′的正视图(也称主视图)是()

13. 【解析】由题意知AA′<BB′<CC′，正视图为选项D所示的图形．【解析】由题意知AA′<BB′<CC′，正视图为选项D所示的图形． 【答案】 D

14. 三视图的应用用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？三视图的应用用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？

15. 分析由于正视图每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示．而搭建这样的几何体用方块最少的情况是每列只要有一个最大数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示．分析由于正视图每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示．而搭建这样的几何体用方块最少的情况是每列只要有一个最大数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示．

16. 解如图①，②所示，每个小正方形内所标数字为该列所放小立方体的个数．①为用立方体最多的搭建法，共用小立方体17块．②为用立方体最少的搭建法，这样的摆法只需要立方体11块．解如图①，②所示，每个小正方形内所标数字为该列所放小立方体的个数．①为用立方体最多的搭建法，共用小立方体17块．②为用立方体最少的搭建法，这样的摆法只需要立方体11块．

17. 规律总结由三视图推测几何图形的形状，需要依据三视图的画法原理和空间想象能力．正视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图和正视图共同反映物体的长，要相等．侧视图和俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难得出该几何体的形状．由正视图和俯视图只能决定几何体的部分特征．规律总结由三视图推测几何图形的形状，需要依据三视图的画法原理和空间想象能力．正视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图和正视图共同反映物体的长，要相等．侧视图和俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难得出该几何体的形状．由正视图和俯视图只能决定几何体的部分特征．

18. 变式训练3 (2010·天津高考)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

19. 【解析】由三视图可知，本题的几何体是：下面是一个正四棱柱，上面是一个正四棱锥．于是可以得到体积是.【解析】由三视图可知，本题的几何体是：下面是一个正四棱柱，上面是一个正四棱锥．于是可以得到体积是. 【答案】

20. 几何体的直观图 (12分) 用斜二测画法作出长为4 cm、宽为3 cm的矩形的直观图． 　几何体的直观图

21. 分析按斜二测画法的规则，在已知图形所在的平面中作平面直角坐标系，再作斜坐标系，设两坐标轴为x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，然后依据规则逐一作图．分析按斜二测画法的规则，在已知图形所在的平面中作平面直角坐标系，再作斜坐标系，设两坐标轴为x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°，然后依据规则逐一作图．

22. 解(1)在已知矩形ABCD中，取AB、AD所在边为x轴与y轴，相交于O点(O与A重合)，画对应的x′轴与y′轴，使∠x′O′y′＝45°. ………………4分(2)在x′轴上取 A′，B′，使A′B′＝AB，在y′ 轴上取D′，使A′D′＝AD，过D′作平行于x′轴的线段D′C′，且D′C′＝A′B′. …………8分(3)连接C′B′，所得四边形A′B′C′D′ 就是矩形ABCD的直观图．

23. ………………………………12分

24. 规律总结斜二测画法规则中，直观图中在横轴方向上的线段长度不变；在纵轴方向上的线段长度变为原来的一半．在有些平面图形中，没有在坐标轴上和与坐标轴平行的线段，需要过一些特殊点作两轴的平行线．规律总结斜二测画法规则中，直观图中在横轴方向上的线段长度不变；在纵轴方向上的线段长度变为原来的一半．在有些平面图形中，没有在坐标轴上和与坐标轴平行的线段，需要过一些特殊点作两轴的平行线．

25. 　变式训练4如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是________．

26. 【解析】∵直观图中，平行于x轴的边的长度不变，平行于y轴的边的长度变为原来的1/2，∴原图中，OA＝6 cm，OD＝4 cm，∴OC＝6 cm，BC＝AB＝6 cm，∴原图形为菱形． 【答案】菱形

27. 1．几种特殊四棱柱的特殊性质

28. 2.三视图画法规则高平齐：正视图与侧视图的高要保持平齐．长对正：正视图与俯视图的长应对正．宽相等：俯视图与侧视图的宽应相等．2.三视图画法规则高平齐：正视图与侧视图的高要保持平齐．长对正：正视图与俯视图的长应对正．宽相等：俯视图与侧视图的宽应相等．

29. 3．关于直观图的画法画水平放置的多边形的直观图的一般方法是斜二测画法，其关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来．3．关于直观图的画法画水平放置的多边形的直观图的一般方法是斜二测画法，其关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来．

30. 4．关于投影(1)在中心投影下，投影线交于一点；在平行投影下，投影线是互相平行的．(2)在中心投影下，平行于投影面的物体的大小与原物体大小不同．在平行投影下，平行于投影面的平面图形的形状和大小完全相同．4．关于投影(1)在中心投影下，投影线交于一点；在平行投影下，投影线是互相平行的．(2)在中心投影下，平行于投影面的物体的大小与原物体大小不同．在平行投影下，平行于投影面的平面图形的形状和大小完全相同．

31. 已知四棱锥P－ABCD水平放置如图，且底面ABCD是边长为2 cm的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝AB.试画出该几何体的三视图．

32. 错解错解分析本题错在忽略了三视图的形成过程．虽然三个图的形状画对了，但是侧视图的直角顶点画错了．正解该几何体的三视图如下：错解错解分析本题错在忽略了三视图的形成过程．虽然三个图的形状画对了，但是侧视图的直角顶点画错了．正解该几何体的三视图如下：

33. 正解　如图所示，过正方体的对角面作球的大圆截面，正解　如图所示，过正方体的对角面作球的大圆截面， 设正方体的棱长为x，球半径为R，则有