§7.1系统函数与系统特性

1. §7.1系统函数与系统特性 第七章 系统函数 §7.2 系统的稳定性 §7.3 信号流图 1

2. LTI: 连续系统 离散系统 时域分析: 冲激响应h(t) 单位响应h(k) 复频域分析:H(s) H(z)….系统函数 频域分析:H(j) H( )…频率响应 =H(s) ︱s=j =H(z) ︱z= 2

3. 1.系统函数------时域响应，频率响应. 2.系统的因果性和稳定性，判据. 3.信号流图. 4.系统的模拟. 3

4. §7.1系统函数与系统特性 一.系统函数的极点和零点. 1.连续系统: H(s)=B(s)/A(s)= 极点:A(s)=0的根，p1,p2,…,pn. H(pi) →∞ 零点:B(s)=0的根, z1, z2,…, zm. H(zi)=0 4

5. H(s)=B(s)/A(s) = = 极点类型: 一阶:实数,虚数,复数. 多阶:实数,虚数,复数. 5

6. 2.离散系统: H(z)=B(z)/A(z) = 6

7. ①极点在左半开平面. ＞0 在实轴上: 一阶极点:p=-, H(s)=b/(s+),h(t)=be- t(t) 二阶极点:p=-(二阶), H(s)= k/(s+)2, h(t)=kt e- t(t) ,limh(t)=0 t→∞ 多阶极点: p=-(高阶), H(s)= k/(s+)r h(t)=k’ t r-1e- t limh(t)=0 t→∞ 二、极点零点与时域响应的关系: 7

8. 不在实轴上: 一阶共轭复数:p1,2=-±j, h(t)=k e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t→∞ 二阶共轭复数:p1,2=-±j(二阶), h(t)=kt e- t cos(t+) (t) limh(t)=0 t→∞ 8

9. ②在虚轴上: 一阶极点:p=0, H(s)=k/s,h(t)=k(t), limh(t)=有限值 t→∞ 一阶共轭:p=±j, h(t)=kcos(t+) (t), limh(t)=有限值 t→∞ 9

10. 虚轴上二阶极点: p=0(二阶), H(s)=k/s2, h(t)=kt(t), limh(t) →∞ t→∞ p=±j(二阶), h(t)=ktcos(t+), limh(t) →∞ t→∞ 10

11. ③右半开平面 : 实数: p=, h(t)= e t limh(t) →∞ t→∞ 复数: p=±j, h(t)= e tcos(t+) limh(t) →∞ t→∞ 11

12. 几种典型情况 2014/9/10 12

13. 2.离散系统: Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)= (-1/3)k(k) →0 单位圆上:p=1,h(k)= (1)k(k),有限值. 单位圆外:p=2,h(k)= (2)k(k) →∞ Im[z] Z平面 1 -1/3 Re[z] 2 13

14. 极点位置与h(k)形状的关系 14

15. s平面(单极点) z平面(单极点) 极点位置 h(t)特点 极点位置 h(k)特点 虚轴上 等幅 单位圆上 等幅 原点时 左半平面 衰减 单位圆内 减幅 右半平面 增幅 单位圆外 增幅 利用z～s平面的映射关系 15

16. 三、极点零点与频域响应的关系: 定义 所谓“频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响 应随频率的变化情况。 16

17. 前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 时域： 频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 • 　　　其收敛域包括虚轴： • 拉氏变换 存在 • 傅里叶变换 存在 17

18. 1.H(s)和频响特性的关系 系统的稳态响应 频响特性 ——幅频特性 ——相频特性（相移特性） 18

19. 2．几种常见的滤波器 19

20. 3.极点零点与频率响应: 1.连续系统: 20

21. i 矢量分析法: Ai j  pi ︱pi︱ i 0  令j-pi= Ai j-zj=Bj Bj |zj| 21

22. 幅频: 相位:()=(1+…+m)-(1+…+n) 分析: 从0~∞ 22

23. 例: R u1(s) + - 1/sc u2(s) H(s)=u2(s)/ u1(s) = = 23

24. 极点:p=-1/Rc,左半开平面. 定量: ()=0-arctg 24

25. 定性: 从0~∞变化.︱H(j) ︱= ()=0- j A j  -1/Rc 0  25

26. ︱H(j) ︱ 1  ()  -π/2 26

27. 例: 全通函数. ︱H(j) ︱=常数 设二阶系统H(s).左半开平面,有一对极点, p1,2=-±j, 右半开平面,有一对零点, z1,2=±j 27

28. A1 B1 p1 z1 A2 B2 p2 z2 A1=B1, A2 =B2, ︱H(j) ︱=B1 B2/ A1 A2=1 28

29. 结论: • 凡极点位于左半开平面,零点位于右半开平面,且所有的零点与极点对于j轴为一镜像对称的系统函数即为全通函数. 29

30. 例 研究下图所示RC低通滤波网络的频响特性。 解: 写出网络转移函数表达式 30

31. 频响特性 31

32. 低通滤波器 高通滤波器 例 解： 其转移函数为 相当于低通与高通级联构成的带通系统。 32

33. 频响特性 π/2 -π/2 33

34. 最小相移函数 零、极点均位于s平面左半开平面 极点位于s平面左半开平面，零点位于s平面右半开平面 幅频特性一致

35. jω jω 1b 1 σ 2b σ 2 对于相同的幅频特性的系统函数，零点位于左半开平面的系统函数，其相频特性最小 1b= π - 1， 2b= π -2 a(ω)= 1 + 2-1- 2 b(ω)= 1b + 2b-1- 2 b(ω) -a(ω)= 2π- 2(1 + 2) ≥0

36. 结论 • 考虑到网络函数的零点可能在虚轴上 • 定义： • 右半开平面上没有零点的系统函数为最小相移函数 • 相应的网络称为最小相移网络

37. 对于非最小相移函数 可表示为最小相移函数 与全通函数的乘积 最小相移函数 全通函数

38. 2.离散系统: • 因果离散系统，若极点均在单位圆内，则在单位圆上(|z|=1)也收敛 幅频响应: 相频响应:  38

39. Z平面 Bj 1 Ai j  I 0 1 39

40. 正弦稳态（正弦序列作用下系统的稳态响应） 系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性。 40

41. 由系统函数得到频响特性 离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性: ：幅频特性 输出与输入序列的幅度之比 ：相频特性 输出对输入序列的相移 41

42. 单位圆上 为输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 是 在单位圆上的动态， 取决于系统的特性。 通过本征函数透视系统的频响特性 42

43. 离散系统（数字滤波器）的分类 43

44. 二．频响特性的几何确定法 44

45. 几点说明 45

46. §7.2 系统的稳定性 一.系统的因果性(物理可实现性) 1.连续系统: 定义:若f(t)=0,t＜0,则yzs(t)=0, t＜0 →因果系统 ①时域条件:(充要) 当h(t)=0, t＜0←→因果系统 因果系统,(t)=0, t＜0 yzs(t)= h(t)=0, t＜0 f(t) ←→因果系统 yzs(t) t0 46

47. 当h(t)=0, t＜0 ;f(t)=0, t＜0 yzs(t)=h(t)*f(t)= t＞0, yzs(t) 存在 = = t＜0 ,yzs(t)=0 理想 ︱H(j) ︱ - c 0 - c  47

48. ②s域充要条件: H(s)的收敛域Re[s] ＞0 ←→因果性 j 0  其收敛域为收敛坐标0以右的半平面,即H(s) 的极点都在收敛轴Re[s] =0 的左边. 48

49. 2.离散系统: 定义:若f(k)=0,k＜0,则yzs(k)=0,k＜0 ①时域充要条件:h(k)=0, k＜0 ←→因果系统 ②z域充要条件:H(z)的收敛域︱z︱ ＞0 z平面 ←→因果系统 0 其收敛域为半径等于0的圆外区域,即H(z)的 极点都在收敛圆︱z︱ =0的内部. 49

50. 二.系统的稳定性(可用性) f(t)有界 系统 yzs(t)有界 1.连续系统: 定义:若︱f(t)︱＜Mf,则︱ yzs(t) ︱＜My ←→稳定系统 ①时域充要条件: 绝对可积 ＜M←→稳定系统 只能保证衰减函数可积 50