统计物理学

1. 统计物理学 宏观物质系统由大量微观粒子组成 物质的宏观特性是由大量微观粒子行为的集体表现 宏观物理量是相应微观物理量的统计平均值 粒子运动 遵从经典力学 经典描述 遵从量子力学 量子描述

2. 平均值及其运算法则 1 平均值 ●统计分布的最直接的应用是求平均值。 ●以求平均年龄为例，N 个人的年龄平均值就是 N 个人的年龄之和除以总人数 N。 ●求年龄之和可以将人按年龄分组，设ui为随机变量（例如年龄），其中出现（年龄）u1值的次（或人）数为N1，u2值的次（或人）数为N2……，则该随机变量（年龄）的平均值为 2

3. 通过随机变量的和求平均值的 因为Ni / N是出现 ui 值的百分比，当N时该百分比就是出现 ui 值的概率 Pi ，故 利用概率分布来求平均值 ●利用下式可把求平均值的方法推广到较为复杂的情况，从而得到如下的平均值的运算公式 3

4. 讨论 个粒子在空间的分布问题 最概然分布法求平均值 平衡态——W最多——无序、混乱——S最大——概率最大(6/16) W总=16 4

5. 第六章近独立粒子的最概然分布 量子描述 §2 系统微观运动状态的描述 §1 粒子运动状态的 经典描述 §3 等概率原理 §4 分布和微观状态 §5 玻尔兹曼分布 玻色和费米分布 三种分布的关系

6. 1860年，麦克斯韦发表了《气体动力论的说明》，第一次用概率的思想，建立了麦克斯韦分子速度分布律。1860年，麦克斯韦发表了《气体动力论的说明》，第一次用概率的思想，建立了麦克斯韦分子速度分布律。 经过推导，得到著名的麦克斯韦速度分布律为：

7. 玻尔兹曼(L. Boltzmann, 1844-1906)在麦氏速度分布律的基础上，第一次考虑了重力对分子运动的影响，建立了更全面的玻尔兹曼分布律，建立了玻尔兹曼熵公式。 玻尔兹曼 1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释，玻尔兹曼写道：“（热力学）第二定律是关于几率的定律，”在讨论热力学第二定律与几率的关系中，他证明熵与几率W 的对数成正比。后来普朗克把这个关系写成 S=klnW 并且称k 为玻尔兹曼常数。

8. 一、粒子运动状态的经典描述 在经典力学里， 某一时刻N 个粒子的运动状态可以通过 3N 个坐标和 3N个动量同时决定。 (q,p)被称为相格（ phase space）也被称为系统的微观状态，是时间的函数。 例：三维空间一个粒子。 为形象地描述粒子的力学运动状态，需用（x,y,z,px,py,pz）六个变量。

9. 以六个变量为直角坐标，构成一个6维空间，称为µ空间。粒子在某时刻的力学运动状态（ xi,yi,zi,pxi,pyi,pzi）可以用空间中的一点表示。 例如：描述一维自由粒子的运动状态，以x和px为直角坐标，可构成二维的µ空间， （一）自由粒子 当粒子在三维空间中运动时，它的自由度为3。粒子在任意时刻的位置可由坐标x,y,z确定。与之共轭的动量为 px µ空间的轨道 m是粒子的质量。自由粒子的能量就是它的动能： L x 当粒子以一定的动量px在长为L的容器中运动时，粒子运动状态代表点在µ空间的轨道是平行于x轴的一条直线。

10. （二）线性谐振子 m，F=-kx 对于自由度为1的一维线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x确定，与之共轭的动量为 它的能量是动能和势能之和。

11. 以x和p为直角坐标，可构成二维的µ空间。 如果给定振子的能量ε p x

12. 二、粒子运动状态的量子描述 1．粒子的波动性（particals’ wave quality） 2．线性谐振子（Linear harmonic oscillators） 3．电子的自旋（Spins of electrons） 4．自由粒子（Free particles） 5．自由粒子的微观状态数（states number）

13. 1．粒子的波动性 x 屏 电子束 缝 幕 衍射图样 19、20世纪交替时，建立新的力学框架——量子力学，其基本原理如下： 对实物粒子同样适用 1） 从粒子性方面解释 单个粒子在何处出现具有偶然性;大量粒子在某处出现的多少具有规律性. 粒子在各处出现的概率不同.

14. x 屏 电子束 缝 幕 衍射图样 2） 从波动性方面解释 电子密集处，波的强度大；电子稀疏处，波的强度小.在某处德布罗意波的强度与粒子在该处附近出现的概率成正比 . 通过狭缝后的每个电子到底会射在屏幕的什么位置上——电子的运动具有不确定性！ 在量子理论里，无法确定粒子的确切位置，在二维µ（相）空间中只能最多准确到 h.

15. 粒子运动状态的量子描述： 在量子力学中粒子的微观状态——量子态：由一组量子数描述，量子数之数目等于粒子的自由度数。比如:氢原子内的电子（n,l,ml,ms) 2．线性谐振子：双原子分子的相对振动，晶格振动 一维： 由一个能量量子数 n描述状态，能量可能值 能级间距： 等间距，无简并。 特点：

16. 重点 3．自由粒子：理想气体分子，金属中的电子 由周期性边界条件 立方体容器中，长度为L： 其中描述状态，则 对于非相对论粒子 ?能量是多少 特点： 能级分立， 能级间距 若一个能级的状态不止一个时，称为Degeneracy， 状态数为简并度，上述能级为二度简并。

17. 状态由 三个量子数描述，能级简并较复杂，如： 能级，简并度为6。 三维： 动量 能级

18. 4．自由粒子的微观状态数（states number） 现在我们考虑三维空间给定宏观状态的条件下，共有多少个微观状态数 。(V=L3) The change of the quantum number dnx,dny,dnz

19. 空间体积元中微观状态数 为： Another solution:(semi-classical) -相空间- 空间 一个微观状态 μ空间中一个相格

20. 一个三维自由粒子在动量间隔 ，坐标间隔 内的微观状态数为： 在体积V中， 内可能的微观状态数为:

21. 在V内范围内可能 的微观状态数为: 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对上面各式乘2。

22. 例求一个二维自由粒子在动量间隔 面积A 内的微观状态数。 在面积A中， 内可能的微观状态数为: 解

23. 范围内可能的微观状态数为: 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对上面各式乘2。 在A内

24. Real orbit points N S H Expected orbit Z S 5．粒子（电子）的自旋：通过Stern-Gerlach实验验证。 如图z向磁场，s态H的轨道分为二条。 原子的磁矩在磁场方向上的分量μz只能取以下数值： 总角动量量子数=轨道角动量量子数+自旋角动量量子数

25. 问题讨论： 1．量子力学对粒子运动状态描写的特点？ 2．边界条件的选定对粒子物理的影响？ 3．什么是“半经典”近似？

26. 复习：自由粒子的描述及微观状态数（states number） 现在我们考虑三维空间给定宏观状态的条件下，共有多少个微观状态数 。(V=L3) The change of the quantum number dnx,dny,dnz

27. 空间体积元中微观状态数 为： Another solution:(semi-classical) -相空间- 空间 一个微观状态 μ空间中一个相格

28. 一个三维自由粒子在动量间隔 ，坐标间隔 内的微观状态数为： 在体积V中， 内可能的微观状态数为:

29. 在V内范围内可能 的微观状态数为: 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对上面各式乘2。

30. 补充：粒子（电子）的自旋：通过Stern-Gerlach实验验证。补充：粒子（电子）的自旋：通过Stern-Gerlach实验验证。 Real orbit points N S H Expected orbit Z S 如图z向磁场，s态H的轨道分为二条。 原子的磁矩在磁场方向上的分量μz只能取以下数值： 总角动量量子数=轨道角动量量子数+自旋角动量量子数

31. 例求一个二维自由粒子在动量间隔 面积A 内的微观状态数。 在面积A中， 内可能的微观状态数为: 一个自由粒子微观状态数 解

32. 范围内可能的微观状态数为: 称为态密度，对于自由电子，考虑自旋，状态数需对上面各式乘2。 在A内

33. §6.3 系统微观状态的描述（Description of Microscopic States of Systems） 1．全同粒子组成的系统。 Systems consisting of identical particles 2．量子情形。 Quantum Case 3．经典情形。 Classical case

34. 1．全同粒子组成的系统 2、讨论近独立粒子组成的系统，即 强调相互作 用弱 1、全同粒子组成的系统遵从全同性原理，即粒子不可分辨。全同粒子：相同质量、自旋、电荷等

35. 2．量子情形： 玻色子（Boson）情形（系统）：自旋量子数为整数，如光子（量子数为1），遵从全同性原理，交换任何两粒子的微观状态不变，任一量子态填充的粒子数无限制。

36. 费米子（Fermion）自旋为半整数，如电子，遵从全同性原理和泡利不相容原理；任一量子态最多只能被一个粒子占据。费米子（Fermion）自旋为半整数，如电子，遵从全同性原理和泡利不相容原理；任一量子态最多只能被一个粒子占据。 定域子系统（Localized particle）为Boltzmann系统，粒子可分辨，即经典情形。 不遵从全同性原理，交换任何两粒子的微观状态改变； 任一量子态填充的粒子数无限制。(A,B,C,……)

37. 例1：一个二粒子系统，单粒子态有三个，0， 和 就粒子属于如下的几种分别，写出可能的填充状态 ①服从经典分布,粒子可分辨;（定域子） ②服从Fermi-Dirac统计;（费米子） ③服从Bose-Einstein统计.（玻色子）

38. ①服从经典分布,粒子可分辨定域子系统 系统状态Ω9个 a b Boltzmann Distri. 粒子

39. ②服从Fermi-Dirac统计 Ω=3个 Fermi Distribution

40. ③服从Bose-Einstein统计 Ω=6个 Bose Distribution

41. 3．经典情形：N个粒子组成的系统的微观状态数，可分辨。 r个 , r 个 N 个 ,N r 个 2r维 空间 空间N个点表示 N 粒子系统,每粒子自由度为r 2N 维Γ空间 系统的一个微观态 Γ空间的一个点

42. 采用半经典近似： 粒子一个态在 空间占体积 系统一个态在Γ 空间占体积 若已知代表点允许的空间体积，可计算出微观态数。

43. §6.4 等概率原理 在统计物理学中，我们研究系统在给定宏观条件下的宏观性质。 一般，如果我们研究的是一个孤立系，给定的宏观条件是系统具有 确定的粒子数N，体积V和能量E。 由于自然界中实际上不存在与外界完全没有任何相互作用的严格 的孤立系统， 应当认为系统的能量是在 我们知道，给定了这样的宏观条件,系统可能的微观状态是大量的。

44. 玻耳兹曼(Boltzmann)在十九世纪70’s提出了著名的等几率原理玻耳兹曼(Boltzmann)在十九世纪70’s提出了著名的等几率原理 等概率原理 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的几率是相等的。 等几率原理在统计物理学中是一个基本假设。 它的正确性是由它的种种推论都与客现实际相符而得到肯定的。 等几率原理是平衡态统计物理的基础。

45. §6-5 分布和微观状态（Distribution & Microscopic States) 1. Bose Systems 2. Fermi Systems 3. Boltzmann Systems 4. Classical limit

46. 孤立系（Isolated Systems）： 粒子能级为 ，简并度为 ； 粒子数为， 称为分布 与外界既无能量又无粒子交换的系统 考虑近独立粒子组成的系统 设给定的宏观条件为:

47. 1. Fermi Systems For ,the degeneracy is ,and the particle number is • 2 3 • A A • A A • A A

48. 粒子能级为 ，简并度为 ； 可能的占据方式数为 微观状态数 W

49. 2. Boltzmann Systems For ,the degeneracy is ,and the particle number is • 2 3 • AB • A B • A B • B A • AB • A B • B A • B A • BA

50. Boltzmann系统 定域子可以分辨，对其编号 个编了号的粒子占据能级 上的 个量子态 第一个粒子可以占据 个量子态中的任一态 种 个量子态中的任一态 第n个粒子可以占据 种 共有 种可能