经济数学线性代数

经济数学线性代数 第9讲 n维向量及线性相关性教师：边文莉

所组成的有序数组 定义：n 个有次序的数称为一个n 维向量。这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第个数称为第个分量。以后我们用小写希腊字母来代表向量。下一步一、 n 维向量分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.

n维实向量 n维复向量第2个分量第n个分量第1个分量下一步例如：

向量相等：如果 n 维向量 分量全为零的向量称为零向量。的对应分量都相等，即就称这两个向量相等，记为下一步向量通常写成一行：称为行向量。有时也写成一列：称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。向量的运算和性质

数乘向量：设k为数域p中的数，向量 称为向量与数k的数量乘积。记为负向量：向量称为向量的负向量下一步向量加法：向量称为向量的和，记为向量减法：

（1）对任意的向量 存在唯一的零向量使得（2）对任意的向量存在唯一的负向量使得（3）则（4）如果下一步满足运算律：注：

线性组合 向量能由向量组线性表示．下一步二、向量组的线性关系定义１

注意： 1，零向量可以由任何向量组线性表示 2，向量组中的任何一个向量都可以由整个向量组线性表示。 3，维向量空间的向量组下一步

下一步 都能由该向量组线性表示任意向量例：向量能否由向量组线性表示？解：设存在使即整理成关于的方程组

用消元法解方程组 方程组有无穷多解，存在无穷组使成立下一步

判断向量可否由向量组 线性表示向量可由向量组线性表示的充分必要条件是：以为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。下一步

则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．下一步三、线性相关性的概念定义注意

下一步

下一步 例证明维单位坐标向量组线性无关．证: 我们直接利用定义证明．如果存在一组数使得根据向量线性运算，从而的定义可以得到线性无关．

下一步 证

下一步

例: 试讨论向量组及向量组的线性相关性. 使得成立。解：设数即未知量为齐次线性方程组有非零解，所以向量系数行列式线性相关。向量对应分量不成比例，所以线性无关。下一步

下一步 上例中，也可以采用如下解法由得：解方程组知其有非零解，故向量组线性相关。若向量个数与维数不同，适用此法

下一步 定理：n个n维向量线性相关的行列式值为0

定理　向量组（当时）线性相关 的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示. 下一步四、向量线性性的性质证明充分性

设线性相关， 故则有不全为0的数　　　　　　使因这个数不全为0，故线性相关. 下一步必要性

不妨设　　　则有 因中至少有一个不为0，即能由其余向量线性表示. 下一步证毕.

下一步 定理设向量组线性无关，而向量组线性相关，那么向量一定能由向量组线性表示，而且表示式是唯一的．证: 由于向量组线性相关，存在一组不全为零的数，使得，那么向量等式变成如果且线性相关,与不全为零，就得到

下一步 线性无关矛盾．所以从而即能由向量组线性表示．设向量的线性组合表示式：有两个关于向量组及两式相减并整理可得是线性无关的，故得但．所以向量关于向量组从而的线性组合表示式是唯一的．证毕

则有不全为0的数　　　　　　使 则有不全为0的数　　　　　　使下一步定理证：因为线性相关取成立，证毕

下一步

则有不全为0的数　　　　　　使 下一步证：因为线性相关即前r个方程说明的所有分量为0 即所以线性相关，矛盾，所以线性无关

向量组能由向量组线性表示 向量组等价．下一步定义定理若向量组可以由线性表示，且则向量组线性相关。

下一步 上述定理的意思：含有向量个数较多的向量组若能由含有向量个数较少的向量组线性表示，则含有向量个数较多的向量组一定线性相关。引申的意义是：如果方程组含有方程的个数多于未知量的个数，则至少有一个方程可以由其余方程导出，即方程组必含多于方程。推1：若向量组线性无关，且可以由线性表示，则。推2：两个等价的向量组含有相同个数的向量。推2：任意个维向量线性相关。

１．维向量的概念，实向量、复向量； 下一步小结２．向量的表示方法：行向量与列向量；３．向量空间：　　解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；４．向量在生产实践与科学研究中的广泛应用．

　　5. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 6. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用； 7. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．下一步 8．向量线性性的重要性质。

下一步

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