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§7.6 二重积分

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§7.6 二重积分. 二重积分的概念. 二重积分的性质. 二重积分的计算. 小结. 思考与练习. 二重积分的概念. 在这一节,我们将把一元函数定积分的概念及基本性. 质推广到二元函数的定积分,即二重积分,为引出二重积. 分的概念,我们先来讨论两个实际问题。. 1. 曲顶柱体的体积. 体积公式来计算,但可采用这样的思想方法. ( 1 )分割. ( 2 )近似. 即. (3) 求和. 就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值,. 即. ( 4 )取极限. 即. 2 . 平面薄板的质量. 上面两个问题所要求的,都归结为同一形式的和的极限。.

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Presentation Transcript
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§7.6 二重积分
  • 二重积分的概念
  • 二重积分的性质
  • 二重积分的计算
  • 小结
  • 思考与练习
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二重积分的概念

在这一节,我们将把一元函数定积分的概念及基本性

质推广到二元函数的定积分,即二重积分,为引出二重积

分的概念,我们先来讨论两个实际问题。

1.曲顶柱体的体积

体积公式来计算,但可采用这样的思想方法

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(1)分割

(2)近似

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(3)求和

就得到所求的曲顶柱体的体积的近似值,

(4)取极限

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上面两个问题所要求的,都归结为同一形式的和的极限。

在其他学科中,由许多物理量和几何量也可归结为这一形式的

和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限,并抽象出下

述二重积分的定义。

定义

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如果当个小闭区域的直径中的最大值

趋于零时,

最后附带指出,在二重积分的定义

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边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭

区域。任取一小区域

也就是说,在直角坐标系下,有

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二重积分的性质

二重积分与一元函数定积分有类似的性质。下面所涉及

性质1

被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面,

性质2

函数的和(或差)的二重积分等于各个函数的二重

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性质3

此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

性质4

此性质的几何意义很明显,因为高为1的平顶柱体的体积在

数值上就等于柱体的底面积。

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性质5

特殊地,由于

又有不等式

性质6

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二重积分的计算

按照二重积分的定义来计算二重积分,对少数特别简单的

被积函数和积分区域来说是可行的,但对一般的函数和积分区

域来说,这不是一种切实可行的方法。

1.在直角坐标系下二重积分的计算

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由于整个曲顶柱体的体积为

由此,可得

或者写成

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定理7.9

记作

因此,等式7.6也写成

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上式表明,这两个不同次序的二次积分相等,因为它们

二重积分化为二次积分时,确定积分限是一个关键。而

积分限是根据积分区域D的类型来确定的。

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对于较复杂的积分区域,在化二重积分为二次积分时,

为了计算简便,需要选择恰当的二次积分次序。这时,既要

考虑积分区域D的形状,又要考虑被积函数

下面举例说明如何利用公式(7.6)计算二重积分。

例1

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(2)定限

(3)计算

例2

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(3)计算

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2.在极坐标系下二重积分的计算

按二重积分的定义有

下面将推导出这个和的极限在极坐标系中的形式.

曲线相交不多于两点,我们用以极点为中心的一族同心圆:

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由于在直角坐标系中

也常记作

所以,上式又可写成

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换

公式(7.8)表明,要把二重积分中的变量从直角坐标变

变换为极坐标,只要把被积函数中的

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例3

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作业

P142 习题22

习题24

习题26(2)

习题31

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