Matematika Bisnis

Matematika Bisnis Oleh Ir. Dra. Wartini, M.Pd

1. Definisi Himpunan • Kumpulan objek-objek yang berbeda dan mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. • Setiap objek yang terdapat dalam himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen. • Anggota-anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal.

2. Penyajian Himpunan 4 cara menyajikan himpunan : • Tabulasi atau enumerisasi • Simbol-simbol baku • Notasi pembentuk himpunan (set builder) • Diagram Venn

Tabulasi atau Enumerisasi • Metode tabulasi adalah cara menulis atau menyatakan himpunan dengan jalan menuliskan semua anggotanya. • Jika A adalah himpunan bilangan 1,2,3,4 maka himpunan tersebut ditulis dalam bentuk A = { 1, 2, 3, 4}

Simbol-simbol Baku Simbol baku yang biasa digunakan untuk mendefinisikan himpunan yang sering digunakan antara lain : • P = himpunan bilangan bulat positif • Z = himpunan bilangan bulat. • Q = himpunan bilangan rasional. • R = himpunan bilangan riil.

Notasi Pembentuk Himpunan • Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya. • Notasi:{x | syarat yang harus dipenuhi x } • A adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5. A = { x | x  P, x < 5 } A = { 1, 2, 3, 4 }

Diagram Venn • Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis. • Diagram Venn terdiri dari himpunan atau himpunan-himpunan yang dilambangkan dengan lingkaran dan himpunan semesta dilambangkan dengan persegi panjang.

Contoh : A = {1, 2, 3, 4 } B = {3, 4, 5, 6, 7, 8 } S mempunyai anggota bilangan asli < 10

3. Kardinalitas • Kardinalitas menunjukan jumlah anggota suatu himpunan. • Jika terdapat himpunan A, maka kardinal A ditulis dengan lambang n (A) atau |A |. • Contoh : A={x | x bilangan prima, x  10} A={2, 3, 5, 7 } maka |A | = 4

4. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan  atau { }. Contoh : K={x | x bilangan ril, x2 + 1 = 0} Maka K=  atau { } | K | = 0

5. Himpunan Bagian (subset) • Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. • Anggota yang terkandung pada himpunan tersebut juga terkandung pada himpunan yang lain. • Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. • Notasi : A  B

Diagram Venn Himpunan Bagian B A

Suatu himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri. Jika terdapat suatu himpunan L, maka berlaku L  L. • Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan. Jika terdapat himpunan kosong dan himpunan M, maka berlaku   M.

6. Kesamaan Himpunan • Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika A adalah himpunan bagian B dan B merupakan himpunan bagian A. • Dengan menggunakan lambang matematika. A = B  A  B dan B  A

7. Ekivalensi Himpunan • Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal A = kardinal B. • Dengan menggunakan lambang matematika, A  B  A = B

8. Himpunan Saling Lepas • Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak mempunyai anggota yang sama. • Dalam bentuk lambang dapat ditulis : A // B.

Diagram Venn Himpunan Saling Lepas

9. Himpunan Kuasa • Himpunan kuasa adalah suatu himpunan A yang anggota-anggotanya merupakan suatu himpunan bagian A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. • Himpunan kuasa dari himpunan A dilambangkan dengan : P (A) atau 2A

10. Operasi Himpunan. • Irisan • Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan semua unsur yang termasuk di dalam A dan di dalam B. • Irisan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B.

Diagram Venn Operasi Irisan

Gabungan • Gabungan himpunan A dan himpunan B adalah semua unsur yang termasuk di dalam A atau di dalam B. • Gabungan dari himpunan A dan himpunan B dilambangkan A  B. • A  B ={x | x  A, x  B, atau x  AB }

Diagram Venn Operasi Gabungan

Komplemen • Himpunan komplemen adalah himpunan semua unsur yang tidak termasuk dalam himpunan yang diberikan. • Jika himpunannya A maka himpunan komplemennya dilambangkan A’ atau AC

Diagram Venn Komplemen

Selisih • Selisih himpunan A dan B adalah semua unsur A yang tidak termasuk di dalam B. • Selisih himpunan A dan himpunan B dilambangkan A – B atau A  B’

Diagram Venn Operasi Selisih

Beda Setangkup • Beda setangkup himpunan A dan himpunan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya hanya merupakan anggota himpunan A saja atau B saja.

Diagram Venn Beda Setangkup

Perkalian Kartesian • Jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka perkalian kartesian A x B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan pasangan terurut dengan komponen pertama berasal dari himpunan A dan komponen kedua berasal dari himpunan B. • A x B ={(a,b) | a  A dan b  B }

Contoh Perkalian Kartesian Misal : A = { 1, 2, 3 } B = { a, b } Maka : A x B = {(1,a) ,(1,b) ,(2,a) ,(2,b), (3,a) , (3,b)} • Pasangan berurut (a,b) berbeda dengan (b,a), dengan kata kain (a,b)  (b,a)

Perkalian Kartesian tidak komutatif, yaitu A x B  B x A, dengan syarat A atau B tidak kosong • Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø • Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka : |A x B | = | A | . | B |

Matematika Bisnis