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三角形的內心

三角形的內心. 忠孝國中 劉淑萍. A. I. B. C. 三角形內心的定義. 三角形三內角的角平分線 ( 分角線 ) 交點稱為「內心」。. 複習. 補充複習：角平分線 ( 超連結至補充複習 .doc) 一、角平分線、圓和線相切 ( 補充 ) 1. 基本作圖：畫角 A 的平分線 2. 角平分線基本性質：. 求作：∠ A 的角平分線 1. 以 A 為圓心，適當長為半徑畫 弧， 與兩邊相交於 B 、 C 兩點。 2. 分別以 B 、 C 為圓心，相同長度 　為半徑畫弧，兩弧相交於 D 點。

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Presentation Transcript

  1. 三角形的內心 忠孝國中 劉淑萍

  2. A I B C 三角形內心的定義 • 三角形三內角的角平分線(分角線)交點稱為「內心」。

  3. 複習 • 補充複習：角平分線 (超連結至補充複習.doc) 一、角平分線、圓和線相切(補充) 1.基本作圖：畫角A的平分線 2. 角平分線基本性質：

  4. 求作：∠A 的角平分線 1.以 A 為圓心，適當長為半徑畫 弧， 與兩邊相交於 B、C兩點。 2. 分別以 B、C為圓心，相同長度 　為半徑畫弧，兩弧相交於 D點。 3. 連接直線 AD，即為∠A 之角平 分線。 B D C 角平分線的尺規作圖 A

  5. 角平分線基本性質： • 判別性質：若一點到一角的兩邊垂直的距離相等，則此點必在這線段的角平分線上 • 若要找一點到「兩線段」等距離，則此點必在這線段的角平分線上。 • 圓和線相切：一圓和一線相切，則圓心 O 到此圓與此線的切點連線必： 1.此連線為圓的半徑 R ； 2.此連線必與切線垂直。

  6. 以三角形的內心為圓心 ，內心到邊的距離為半徑 畫一圓 A F E I C B D 內切圓的圓心 與三角形三邊均相切於一點 的圓稱為此三角形的內切圓，圓心稱為此三角形的內心，而三角形稱為此圓的外切三角形。

  7. 內心至三邊等距離

  8. 1. 銳角三角形 2. 直角三角形 3. 鈍角三角形 內心在三角形內部 內心在三角形內部 內心在三角形內部 內心的位置 • 馬上利用尺規作圖畫畫看。 • 超連結補充複習學習單.doc

  9. A I為△ABC的內心，則 F E I 1 3 1 Ð = ° + Ð BIC 90 A 2 4 2 B C 內心的角度 【證明】 在△ABC中，∵I為內心 ∴ 為角平分線 ∠1=∠2∠3=∠4 ∠BIC＝180°－∠2－∠4 =180°- =180°- =180°- =180°- 90°+ =90°+

  10. A 如圖：I為△ABC的內心， F E 為內切圓半徑r I △ABC周長s 則△ABC面積= B C D 【證明】 連 △ABC面積= △AIB面積+ △BIC面積+ △CIA面積 + + + + 外切三角形面積

  11. A 如圖：I為△ABC的內心， F 為內切圓半徑r E I △AIB面積: △BIC面積: △CIA面積 = : : B C D 1 ´ ´ AB IF 2 【證明】 △AIB面積 : △BIC面積 : △CIA面積 = : : = : :

  12. 直角△ABC中，∠C=90°， 內切圓O切三邊於D、E、F三點，令r為其半徑。 因為AD、AF為過圓外一點的切線長，所以AD=AF， 同理BD=BE，CE=CF。 因為E、F為切點，所以OE=OF=r A D O F 故AC+BC=(AF+CF)+(BE+CE) =(AF+BE)+(CF+CE) =(AD+BD)+2r =AB+2r C B E 直角三角形的兩股和 直角三角形的兩股和=斜邊長+內切圓半徑的兩倍。

  13. 內心總整理

  14. 例題1 ∵ I 為△ABC 內心 ∴ BI 為∠ABC 的角平分線 則∠1＝ ∠ABC ＝ 35 ° 解 同理，∠2＝ ∠ACB ＝20° 如圖，I 為△ABC 內心，且∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，試求∠BIC。 A I 1 B 2 ∠BIC ＝180°－∠1－∠2＝180°－35°－20° ＝125° C

  15. 例題2 解 如圖，△ABC 中，I 為內心，∠B＝50°，試求∠AIC。 A ∠B＝180°－∠BAC－∠BCA 50°＝180°－2∠1－2∠2 ∠1＋∠2＝65° 1 I ∠AIC ＝180°－（∠1＋∠2） ＝180°－65° ＝115° 2 B C

  16. 例題3 如圖，△ABC 中，I 為內切圓的圓心，△ABI 的面積為 24，△ACI 的面積為 15，△BCI 的面積為21 ，試求 AB： AC： BC。 解 AB： AC： BC ＝△ABI：△ACI：△BCI ＝ 24：15：21 ＝ 8：5：7 A 三個三角形的高相等(皆為半徑) I B C

  17. 例題4 設內切圓半徑為r，連接IA、IB 、IC ∵ I 為內心， ∴ I 到三邊的距離均為 r 解 84＝7r＋ r＋ r 如圖，I 為△ABC 內心，△ABC 的面積為 84，若 AC＝15，BC＝13， AB＝14，試求△ABC 的內切圓半徑。 C 15 △ABC＝△IAB＋△IBC＋△IAC 13 I 84 ＝ 21r r ＝ 4 B A 14 △ABC 的內切圓半徑為 4

  18. 例題5 △ABC＝ ．r．△ABC的周長 24＝ ．3．△ABC的周長 △ABC 的周長＝16 解 △ABC的面積為24，其內切圓半徑為3，試求△ABC 的周長。

  19. 例題6 若△ABC為正三角形，且面積為 ，試求△ABC的 內切圓半徑。 設△ABC 的邊長為a ∴ ＝ a2，a＝4 故周長＝12 △ABC＝ ．內切圓半徑．周長 ＝ ．內切圓半徑．12 內切圓半徑＝ 解

  20. 例題7 ＝｜5－1｜＝4 ＝｜4－1｜＝3 ＝ 設內切圓半徑為r ＋ ＝ ＋2r r＝1 故內心I（2,2） 解 坐標平面上，A（1 , 1）、B（5 , 1）、C（1 , 4）， 試求△ABC 內心的坐標。

  21. 例題8 △ABC 中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，試求△ABC 的內切圓半徑。 AB＋AC ＝BC＋2r 解 設內切圓半徑為 r 5＋12＝13＋2r r＝2 故內切圓半徑＝2

  22. 例題9 ∵ 圓A 與圓B 外切， ∴ AB ＝2＋4＝6 同理，AC ＝2＋6＝8 同理，BC ＝4＋6＝10 ∵AB 2＋AC 2＝62＋82＝102＝BC 2 ∴△ABC 為直角三角形，且∠BAC＝90° 解 設內切圓半徑為 r AB ＋AC ＝BC＋2r 6＋8＝10＋2r r＝2 如圖，圓 A、圓 B、圓 C 兩兩外切，若圓 A、圓 B、圓 C 的半徑分別為 2、4、6，試求△ABC 的內切圓半徑。 故內切圓半徑＝2

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