นายสุรชัย สุขรี

1. อัตราส่วนตรีโกณ และการนำไปใช้ นายสุรชัย สุขรี (Trigonometry Ratio) พัฒนาโดย โรงเรียนเมืองพลพิทยาคม อ.พล จ.ขอนแก่น องค์การบริหารส่วนจังหวัดขอนแก่น

2. โครงสร้าง พัฒนาการของตรีโกณมิติ รู้จักสามเหลี่ยมมุมฉาก รู้จักค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ เนื้อหา อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม ตรีโกณมิติ...กับความยาวด้าน ตรีโกณมิติ...กับการนำไปใช้ menu

3. Episode1 พัฒนาการของตรีโกณมิติ ตรีโกณมิติ หรือที่ภาษาอังกฤษเรียกว่า “trigonometry” มาจากภาษากรีก 2 คำ คือ “trigono : three angles” และ “metron : measure” (Anon., 2009c) ตรีโกณมิติเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม สามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติต่าง ๆ เช่น ฟังก์ชันไซน์ ฟังก์ชันโคไซน์ และฟังก์ชันแทนเจนต์ ตรีโกณมิติมีความสัมพันธ์บางอย่างกับเรขาคณิต ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเป็นที่รู้จักและใช้กันมาตั้งแต่สมัยชาวอียิปต์โบราณและชาวบาบิโลเนียนเมื่อประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ตรีโกณมิติในสมัยต่อมามีความสำคัญในการศึกษาทางด้านภูมิศาสตร์ การสร้างแผนที่ การสำรวจ และสาขาอื่น ๆ อีกมาก menu

4. 1 พีทาโกรัสแห่งซามอส...และผลงานชิ้นเอก Pythagoras of Samos(ประมาณ 580 – 496 ปีก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดที่เมืองอีเจียน เกาะซามอส พีทาโกรัสเป็นผู้ก่อตั้งสำนักพีทาโกเรียน ที่เมืองโครโทนา เป็นที่รู้จักในฐานะผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส พีทาโกรัสแห่งซามอส และผลงานชิ้นโดดเด่น คือ “ ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ” menu

5. 9 เงาก็ใช้...คำนวณความสูงของวัตถุได้จริงหรือ.. ทาเลสแห่งมิเลตุส (Thales of Miletus, 640-546 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ทาเลสแห่งมิเลตุส นักปราชญ์ชาวกรีก จากเมืองมิเลตุส ซึ่งปัจจุบันอยู่ในประเทศตุรกี ทาเลสได้รับการยอมรับว่าเป็นบุคคลแรกที่คำนวณความสูงของพีรามิดโดยใช้แสงเงา เขายังมีผลงานด้านเรขาคณิต ดาราศาสตร์ การเดินเรือ นอกจากนี้ทั้งอริสโตเติลและเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ ต่างยกย่องให้ทาเลสเป็นบุคคลคนสำคัญด้านปรัชญา menu

6. 16 Episode2 รู้จักสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมเท่ากับ 90 องศา ส่วนประกอบของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดังนี้ B ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม A A C ด้านประชิดมุม A menu

7. 20 ทำความรู้จักสามเหลี่ยมมุมฉาก การเรียกชื่อมุม และด้านกรณีเขียน มุม และด้านต่างกัน มุม B เป็นด้านตรงข้ามมุม Aหรือด้านประชิดมุม B B a ด้านตรงข้ามมุมฉาก มุมฉาก A b มุม A ด้านประชิดมุม Aหรือด้านตรงข้ามมุม B menu

8. 21 สรุปการเรียกชื่อมุม และด้านในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก B เมื่อยึดมุมA เป็นหลัก เรียกAB ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากให้ยาวc หน่วย เรียกBC ว่าด้านตรงข้ามมุมA ให้ยาวa หน่วย เรียกACว่าด้านประชิดมุม A ให้ยาวb หน่วย c a A C b • เมื่อยึดมุมB เป็นหลัก B เรียกAB ว่าด้านตรงข้ามมุมฉากให้ยาวc หน่วย เรียกAC ว่าด้านตรงข้ามมุมB ให้ยาวb หน่วย เรียก BCว่าด้านประชิดมุม B ให้ยาวa หน่วย c a menu A C b

9. 28 Episode3 รู้จักค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ • ค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ คือ อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งจะมีดังนี้ tanA= cosA= sin A= ด้านประชิดมุม  ด้านตรงข้ามมุม  ด้านตรงข้ามมุม  ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านประชิดมุม  ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม  ด้านประชิดมุม  ด้านตรงข้ามมุม ด้านประชิดมุม  cot A = secA = cosec A= menu

10. 30 ทำความรู้จัก...อัตราส่วนตรีโกณมิติ Cosine (โคไซน์) เขียนย่อ cos (คอส) cosine • cotangent tangent sine • cosecant secant ค่าต่างๆ...ก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) หมายถึง อัตราส่วนของความยาวด้านสองด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งจะมีชื่อเรียกดังนี้ • Cosecant(โคเซแคนท์) ย่อcosec (โคเซค) • Tangent(แทนเจนท์)เขียนย่อtan (แทน) • Secant(เซแคนท์) เขียนย่อsec (เซค) • Sine (ไซน์) เขียนย่อsin (ไซน์) • Cotangent(โคแทนเจนท์) เขียนย่อcot (คอท)

11. 33 สรุป...อัตราส่วนตรีโกณมิติ...ง่ายๆๆ... โดยที่sinA = ข้ามดังนั้น cosecA = ฉาก ฉากข้าม cosA = ชิดดังนั้นsecA = ฉาก ฉากชิด tanA = ข้ามดังนั้น cot A = ชิด ชิดข้าม • ข้อตกลงข้ามในที่นี้หมายถึงด้านตรงข้ามมุม A • ฉาก ในที่นี้หมายถึง ด้านตรงข้ามมุมฉาก • ชิดในที่นี้หมายถึง ด้านประชิดมุม A

12. 37 เมื่อยึดมุมหลักต่างกัน... สังเกตค่าตรีโกณกันดีๆๆ.. เมื่อยึดมุมA เป็นหลัก B sin A= cos A= tan A= 13 12 cosec A= sec A= cot A= A C 5 B • เมื่อยึดมุมB เป็นหลัก sin B= cos B= tan B= 12 13 cosec B= sec B= cot B= A C 5

13. 49 Episode4 ค่าตรีโกณมิติของมุม มุม () 1 1  2  3 = 2 2 2  2 1  2  3 1 = 2 2 2  2 1  3 = 1  3 3  3 1  3 = 1  3  3 3 2 2  3 =  2 2  3 3 2 menu 2  3 = 2  2 3  3

14. 58 ค่าตรีโกณมิติของมุม 1 • ยึดมุม A = 30oค่าตรีโกณ มุม 30o • ยึดมุม C = 60oค่าตรีโกณ มุม 60o sin 30o =  3 sin 60o = 2 2 1 cos 60o =  3 cos 30o = 2 A 2  3 tan 60o = 1  3  3 tan 30o= = 30o 2 3  3  3 cot 30o = 1  3 = cot 60o = 60o D C  3 3  3 2 2 sec 30o = = sec 60o = 2 3  3 1 2 2  3 csc 60o = csc 30o = 2 = 3  3

15. 67 ตรีโกณของมุม 45 ได้ค่าตรีโกณมิติใน ABC คือ 1  2 sin A = sin C = sin 45o = = 2  2 A  2 1 cos A = cos C = cos 45o = = 45o  2  2 2 1 tan A = tan C = tan 45o = 1 45o B C cot 45o = cot A = cot C = 1 1 sec 45o = sec A = sec C =  2 csc A = csc C = csc 45o =  2

16. สรุปค่าตรีโกณมิติ....จำให้แม่นสรุปค่าตรีโกณมิติ....จำให้แม่น 69 มุม () ธนาคารความรู้ 1 1  2  3 = 2 2 2  2 1  2  3 1 = 2 2 2  2 1  3 = 1  3 3  3 1  3 = 1  3  3 3 2 2  3 =  2 2  3 3 2 2  3 = 2  2 3  3

17. 72 ฝึกใช้ฝ่ามืออรหันต์ ฐานความช่วยเหลือ 30oหักนิ้วชี้ cos30o sin30o        ขวา ซ้าย ซ้าย 3 1 3 1 1 1 = = = = = = = = = 3 2 2 2 2 2 3 3 ขวา "sin- ดูฝั่งซ้าย “cos- ดูฝั่งขวา tan30o   

18. 73 ฝึกใช้ฝ่ามืออรหันต์ ฐานความช่วยเหลือ cos30o 45o sin30o       ซ้าย ขวา ซ้าย 2 2 1 2 1 = = = = = = = = 2 2 2 2 2 ขวา 2  2  1 = tan30o  

19. 74 ฝึกใช้ฝ่ามืออรหันต์ ฐานความช่วยเหลือ cos30o 60o sin30o       ขวา ซ้าย ซ้าย 3 1 3 3 1 = = = = = = = = =  3 2 2 2 2 2 1 ขวา 1 "sin- ดูฝั่งซ้าย “cos- ดูฝั่งขวา  tan30o  

20. Episode5 ตรีโกณมิติกับความยาวด้าน เราสามารถหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติในกรณีที่ความยาวด้านหายไป 1ด้าน ตามขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 ใช้ความรู้เรื่องทฤษฎีพีทาโกรัสหาความยาวด้าน ที่เหลือของสามเหลี่ยมมุมฉาก ขั้นที่ 2 หาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติโดยใช้บทนิยาม ขั้นที่ 3 แทนค่าความยาวด้านที่ได้จากขั้นที่ 1 ลงใน อัตราส่วนที่ได้ในขั้นที่ 2 ขั้นที่ 4 หากอัตราส่วนที่ได้ในขั้นที่ 3 มีตัวส่วนติดกรณฑ์ ให้ทำส่วนไม่ติดกรณฑ์ menu menu

21. 77 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็น มุมฉาก ด้าน AB ยาว 24 หน่วย มุมA เท่ากับ 60 องศา จงหาความยาวของด้าน AC วิธีทำ โจทย์ถามหา ความยาวของด้าน AC B ต่อด้วยด้านที่ รู้ค่าแล้ว เริ่มด้วย เขียนอัตราส่วนที่มีด้าน AC 24 AC ชิดมุมA A ฉาก = เทียบ ชื่ออัตราส่วนตรีโกณมิติ AB ข้ามฉาก A C 60๐ AC แทนค่า cos 60๐ = แทนค่า cos 60๐ ชิด 24 AC 1 = 24 2 12 1 × 24 1 AC = ชิดมุม = 2 2 ข้ามฉาก 1 AC 12 = ด้าน AC ยาว 12 หน่วย

22. 78 มีมุม C เป็น มุมฉาก ด้าน AB ยาว 8 หน่วย จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมA เท่ากับ 60 องศา จงหาความยาวของด้าน BC วิธีทำ โจทย์ถามหา ความยาวของด้าน BC B ต่อด้วยด้านที่ รู้ค่าแล้ว เริ่มด้วย เขียนอัตราส่วนที่มีด้าน BC ฉาก 8 ข้ามมุม BC ข้ามA = เทียบ ชื่ออัตราส่วนตรีโกณมิติ AB ฉาก A C 60๐ BC แทนค่า sin 60๐ แทนค่า sin 60๐ = 8 BC 3 = 8 2 4 3 × 8 3 BC = ข้ามมุม = 2 2 ข้ามฉาก 1 BC 43 = ด้าน BC ยาว 43 หน่วย

23. 79 จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เป็น มุมฉาก ด้าน AC ยาว 12 หน่วย มุมA เท่ากับ 60 องศา จงหาความยาวของด้าน BC วิธีทำ โจทย์ถามหา ความยาวของด้าน BC B ต่อด้วยด้านที่ รู้ค่าแล้ว เริ่มด้วย เขียนอัตราส่วนที่มีด้าน BC ข้าม BC ข้ามมุมA = เทียบ ชื่ออัตราส่วนตรีโกณมิติ AC ชิดมุม A 60๐ A C BC แทนค่า tan 60๐ 12 = แทนค่า tan 60๐ ชิด 12 BC 3 = 12 1 3 × 12 3 BC = ข้ามมุม = 1 1 ชิดมุม BC 123 = ด้าน BC ยาว 123 หน่วย ตอบ

24. 82 Episode6 ตรีโกณมิติกับการนำไปใช้ menu

25. 83

26. 84