חוק גאוס

1. חוק גאוס סערת ברקים בטוסון אריזונה. בכל מכת ברק עוברים 1020 אלקטרונים מהענן לאדמה. מהו רוחב מכת הברק? מכת ברק נראית ממרחק רב. האם רוחבה כרוחב מכונית?

2. כדי למצוא את מרכז המסה של גוף כלשהו, יש צורך לערוך סדרת ניסויים או חישובים מסובכים. לעומת זאת אם הגוף הוא סימטרי ניתן להשתמש בסימטריה ולפשט את מציאת מרכז המסה. חוק קולון הוא החוק היסודי של האלקטרוסטטיקה. אולם הניסוח שלו לא מאפשר לפשט את המצב אם המערכת סימטרית. חוק גאוס מאפשר לנו לפשט את החישובים אם המערכת היא סימטרית. מושג עקרוני בחוק גאוס הוא משטח גאוסי. זהו תמיד משטח סגור בעל צורה כלשהי. אבל הוא שמושי מאוד אם המשטח משקף את הסימטריה של הבעיה. חוק גאוס מקשר את השדה החשמלי על משטח סגור למטען הנמצא בתוך המשטח

3. נתון משטח גאוסי בעל צורת כדור. השדה על פני המשטח רדיאלי בכיוונו ושווה בגודלו. מה ניתן לומר על המטען בתוך המשטח? האינטואיציה שלנו, ללא ידיעת חוק גאוס, אומרת שחייב להיות מקור לשדה החשמלי בתוך המשטח הגאוסי. חוק גאוס יאמר בדיוק כמה מטען צריך להיות בתוך המשטח.

4. שטף נניח שזרם של אוויר נע במהירות אחידה v עובר דרך לולאה ריבועית ששטחה A. השטף Φ=vA נותן את נפח האוויר שעובר כל שנייה את הלולאה. הכיוון היחסי בין מישור הלולאה והמהירות חשוב. אם המהירות מאונכת לכיוון הלולאה אין שטף. בדרך כלל לוקחים את רכיב v המאונך ללולאה.

5. נתון שדה וקטורי v. מגדירים את השטף של השדה הוקטורי v. כאשר מגדירים את הוקטור Aכוקטורשגודלו כגודל השטח וכיוונו מאונך לשטח.

6. שטף של שדה חשמלי חישוב השטף של שדה חשמלי נעשה בצורה דומה. נתון שדה חשמלי לא אחיד ובו משטח גאוסי לא סימטרי. מחלקים את המשטח הגאוסי לטלאים קטנים שגודל כל אחד ΔA. הטלאי ΔAמספיק קטן כך שניתן להסתכל עליו כעל מישור והוקטור ΔAמאונך לו. בטלאי 1 הזווית בינו לבין השדה החשמלי גדולה מ-90º והשטף שלילי. בטלאי 2 הזווית בת 90º והשטף אפס. בטלאי 3 הזווית קטנה מ- 90º השטף חיובי.

7. השטף הכולל דרך המשטח הגאוסי הוא הסכום האלגברי של השטפים דרך הטלאים. הסכום יכול להיות חיובי, שלילי או אפס. החלוקה לטלאים תהיה יותר ויותר מדויקת אם שטח הטלאי ילך ויקטן. בגבול בו שטח הטלאי שואף לאפס אבל מספר הטלאים שואף לאיסוף השטף יהיה משטח גאוסי בצורת גליל נמצא בשדה חשמלי אחיד לאורך ציר הגליל. מהו השטף החשמלי דרך הגליל?

8. המשטח הסגור מורכב משני בסיסים a ו- c ומעטפת b. התאפסות השטף הכולל משמעותה שהשטף הנכנס שווה לשטף היוצא.

9. שדה חשמלי ניתן ע"י הביטוי E=3xi + 4j. הוא חודר משטח גאוסי בצורת קובייה שצלעותיה מקבילים למערכת הצירים. מהו השטף דרך הפאה השמאלית, הימנית והעליונה? פאה שמאלית dA=-dAi פאה ימנית dA=dAi פאה עליונה dA=dAj

10. חוק גאוס חוק גאוס, כמו חוקי ניוטון, הוא חוק אמפירי. זה איננו משפט מתמטי שיש צורך להוכיח אותו. ניסויים איששו אותו. השטף החשמלי דרך משטח גאוסי בעל צורה כלשהי פרופורציוני למטען הכללי בתוך המשטח. המטען הכללי qenc הוא הסכום האלגברי של כל המטענים בתוך המשטח. השדה החשמלי על פני המשטח יכול להיות תוצאה של מטענים אחרים מחוץ למשטח אבל השטף תלוי רק במטען בתוך המשטח הגאוסי. הסיבה לכך ששדה שנוצר ע"י מטענים מחוץ למשטח אינם תורמים לשטף. כל קו שדה חשמלי שנכנס למשטח גם יוצא ממנו ולכן התרומה הנקייה לשטף היא אפס.

11. נתונים שני מטענים שווים ומנוגדים יחד עם קווי השדה החשמלי שלהם. נתונים גם ארבעה משטחים גאוסים. נדון במשטחים אלו. משטח S1 מקיף את המטען החיובי. השדה החשמלי יוצא החוצה מתוכו. השטף חיובי (הזווית בין השדה והשטח חדה), והמטען בתוך המשטח לפי חוק גאוס חיובי. משטח S2מקיף את המטען השלילי. קווי השדה נכנסים למשטח, השטף שלילי וגם המטען בתוך המשטח. S3 אינו מקיף שום מטען. השטף דרכו אפס. ואכן כל קו שדה שנכנס גם יוצא. S4 כולל את שני הטענים. סך כל המטען אפס, ולכן גם השטף אפס. ואכן כל קו שדה שנכנס גם יוצא.

12. חוק גאוס וחוק קולון כיון שחוק גאוס וחוק קולון הם שווי ערך, ניתן לקבל את חוק קולון מחוק גאוס. נתון מטען חיובי q. נבנה מסביבו משטח גאוסי כדורי שרדיוסו r ובמרכזו נמצא המטען. אנו בוחרים משטח כדורי ולא צורה אחרת כיון שלמטען נקודתי יש סימטריה כדורית. סימטריה כדורית משמעותה שסיבוב בזווית כלשהי סביב ציר העובר דרך המטען לא משנה שום דבר. הסימטריה אומרת שקווי השדה החשמלי הם רדיאליים ולכן מאונכים למשטח הגאוסי ועל פניו ערכם קבוע. השדה אינו יכול להשיק למשטח כי השטף שלו אפס וסותר את חוק גאוס. חלוקה לאלמנטי שטח dA של פני המשטח הגאוסי מראה כי E ו- dA מקבילים אחד לשני.

13. בחירה של משטח גאוסי בעל צורה אחרת לא תשנה את השטף העובר דרכו אלא שאיננה מאפשרת חישוב השדה החשמלי. כדי להשתמש בחוק גאוס לחישוב השדה החשמלי בונים משטח גאוסי המקיים לפחות את התנאי הראשון מבין שני התנאים הבאים: 1. השדה החשמלי קבוע על פניו ואז ניתן להוציא את השדה החשמלי מחוץ לאינטגרל ולחשב את האינטגרל. 2. אלמנט השטח של חלק מהמשטח הגאוסי מאונך לשדה החשמלי והתרומה לאינטגרל מתאפסת.

14. האם המשטח הגאוסי צריך להיות סימטרי? נתון משטח גאוסי סימטרי שרדיוסו r ובמרכזו מטען q. נקיף אותן במשטח נוסף בלתי סימטרי. נתבונן בחרוט שקודקודו ב-q. הוא חותך טלאי a של המשטח הסימטרי וטלאי A של המשטח החיצוני. הטלאים הם וקטורים! הטלאי A גדול מ- a בשני גורמים • ריבוע יחסי המרחקים R2/r2. 2. נטיית הטלאי 1/cosθ. השדה החשמלי בטלאי A, לפי חוק קולון, קטן לפי R2/r2. השטף דרך A יהיה השטף דרך a יהיה

15. מוליך מבודד טעון אם טוענים מוליך מבודד במטען, המטען העודף מתפזר על פני שטח המוליך. בתוך המוליך לא יהיה שום מטען. הסיבה לכך שהמטענים דוחים אחד את השני והם מתרחקים למרחק המכסימלי האפשרי שהוא פני המשטח. נתאר משטח גאוסי קרוב לפני השטח. השדה בתוך המשטח חייב להיות אפס. אחרת השדה היה מפעיל כוח על אלקטרוני ההולכה. התוצאה היא זרם חשמלי שיזרום במוליך. אין זרמים נצחיים ולכן השדה החשמלי מתאפס. השטף של השדה הוא מתאפס ולכן המטען בתוך המשטח מתאפס. זוהי תוצאה מאוד משמעותית. השדה החשמלי בתוך מוליך מבודד (טעון או לא) היא אפס. מוליך שהוא חלק ממעגל חשמלי איננו מבודד.

16. גם במוליך מבודד טעון שחלקו המרכזי הוצא ממנו המטען יהיה על המשטח החיצוני. נעביר משטח גאוסי קרוב לפני השטח הפנימיים. השדה עדיין אפס ולכן גם השטף. מסקנה: אין מטען בתוך המשטח. כלומר אין מטען על המשטח הפנימי.

17. שדה חשמלי מחוץ למוליך טעון המטען מתפזר על פני המוליך. התחלקות המטען עליו איננה אחידה אלא תלויה בצורת המוליך. ככלל באזורים חדים יש פחות מטען. נתן לחשב את השדה החשמלי E קרוב לפני המוליך. נדון בקטע קטן של פני המוליך שניתן לראותו כמישור, וניבנה משטח גאוסי בצורת גליל שגובהו שואף לאפס ושבסיס אחד שלו, ששטחו A, בתוך המוליך ובסיס שני באותו שטח מחוץ למוליך. השדה E קרוב לפני המוליך מאונך לפניו. אחרת הרכיב המקביל לפני המוליך יפעיל כוח על המטענים, בניגוד להנחה שהמערכת בשיווי משקל אלקטרוסטטי. בתוך המוליך השדה E אפס.

18. כיון שגובה הגליל שואף לאפס, השטף דרך המעטפת מתאפס. יש רק שטף דרך הבסיס מחוץ למוליך. צפיפות המטען השיטחית על פני המוליך היא σ. המטען בתוך המשטח הגאוסי .σA נתונה קליפה כדורית מתכתית בלתי טעונה שרדיוסה R .בתוכה, במרחק R/2 ממרכזה נמצא מטען -Q. מהו המטען המושרה על הקליפה, מהו מבנה השדה בתוך הקליפה ומיחוצה לה, והאם התחלקות המטען היא אחידה?

19. אם נעביר משטח גאוסי בתוך המוליך השטף דרכו יהיה אפס כיון ששדה בתוך מוליך הוא אפס. כלומר המטען הכללי בתוך המשטח מתאפס. מסקנה על המשטח הפנימי יש מטען מושרה Q כך שסך המטען במשטח הגאוסי הוא אפס. כיון שהקליפה אינה טעונה, על המשטח החיצוני צריך להיות מטען מושרה Q-. קווי השדה החשמלי נכנסים למטען השלילי. קרוב לפני המוליך הם מאונכים לו. בתוך המוליך מתאפסים ובחלק הפנימי הם מתכנסים למטען השלילי. במרחק גדול מאוד מהקליפה הם נראים כמתכנסים לקליפה כיון שכל המערכת נראית כמטען נקודתי Q-. צפיפות המטען על המוליך אינה אחידה כיון שהמטען הנקודתי אינו נמצא במרכז הקליפה. יש מטען גדול יותר באזורים הקרובים אליו.

20. חוק גאוס בסימטריה גלילית מוט פלסטי אינסופי טעון בצפיפות מטען אורכית λ. מהו השדה במרחק r מהמוט. זהו מקרה של סימטריה גלילית ולכן המשטח הגאוסי יהיה גליל. שגובהו h ורדיוס הבסיס r. השדה חייב להיות רדיאלי (מאונך לתיל) בגלל האורך האינסופי שלו. השטף דרך הבסיסים מתאפס כיון שהשדה מאנך לשטח. על פני המעטפת השדה קבוע ומקביל לפני השטח.

21. הברק שלב אחד לפני מכת הברק הוא טור בלתי נראה של אלקטרונים מהענן לאדמה. האלקטרונים מגיעים מהענן או מיינון מולקולות האוויר. הצפיפות האורכית של האלקטרונים בטור הוא -1×10-9 C/m. בתהליך של זרימת האלקטרונים בטור הם מתנגשים במולקולות האוויר ויוצרים ניצוצות אור חזקים. מולקולות האוויר הופכות ליונים בשדה של 3×106 N/C. מהו רדיוס הטור? נתונה הצפיפות של מוט אינסופי ארוך ואנו רוצים לחשב באיזה מרחק ממרכז המוט השדה הוא 1×10-9 C/m.

22. אין זאת אומרת שאדם יכול להיות בטוח אם הוא נמצא במרחק יותר גדול מנקודת הפגיעה. האלקטרונים הפוגעים באדמה נעים לאורך האדמה ומהווים זרם חשמלי העשוי להזיק.

23. חוק גאוס בסימטריה מישורית נתבונן במישור אינסופי מבודד טעון בצפיפות מטען חיובית מישורית σ. מהו השדה החשמלי במרחק r מהמישור? נבחר משטח גאוסי בצורת גליל שבסיסיו מקבילים למישור. אינסופיותו של המישור גורמת לכך שהשדה החשמלי מאונך למישור. כיוונו הוא מהמישור והלאה. כלומר השטף דרך המעטפת מתאפס.

24. מצאנו קודם שהשדה קרוב מאוד לפני מוליך הוא פי שניים מהשדה של מישור אינסופי. מדוע? הסיבה היא שבתוך המוליך השדה אפס ואילו במישור האינסופי יש שדה משני הצדדים. הקפיצה בשדה במעבר מצד אחד לצד שני שווה בשני המקרים.

25. נתונות 2 טבלאות אינסופיות טעונות בצפיפות מטען שטחית 1σ. אחת חיובית והשנייה שלילית. המטען נמצא על פני השטח והשדה החשמלי קרוב לפני המישור ומחוצה לו נתון. נקרב את שתי המישורים. המטען השלילי סוחב את המטען החיובי ולהיפך. המטענים מתרכזים על המישורים הפנימיים והצפיפות גדלה פי 2.

26. חוק גאוס וסימטריה כדורית r קליפה כדורית שרדיוסה R טעונה במטען q. לחישוב השדה נבחר משטח גאוסי כדורי בתוך הקליפה r<R מחוץ לקליפה r>R

27. כדור מבדד שרדיוסו R טעון במטען q. השדה החשמלי מחוץ לכדור ניתן לחישוב כאילו כל המטען מרוכז במרכז. התוצאה: r עבור חישוב השדה בתוך הכדור בונים משטח גאוסי שרדיוסו r בתוך הכדור. המטען q’ בתוך המשטח הגאוסי ניתן ע"י יחס הנפחים

28. הכוח הפועל על שיכבה של מטען העובדה שמטען לא יוצר שדה שפועל בכוח על עצמו תופסת רק אם המטען הוא נקודתי. אם המטען מרוח למשל על פני משטח, בוחרים טלאי קטן ואכן השדה שהטלאי יוצר אינו מפעיל כוח על הטלאי אבל השדה שיוצר שאר המטען במיקומו של הטלאי מפעיל כוח על הטלאי. נתון כדור טעון שרדיוסו r0 שהמטען נמצא על פני השטח וצפיפותו  קולון למ"ר. בתוך הכדור E=0 במרחק r מחוץ לכדור נבחר טלאי קטן dA שיש עליו מטען dq=dA ונחשב את הכוח הפועל עליו. קרוב מאוד לפני הכדור

29. לכוח הפועל על הטלאי יש שני מרכיבים. הראשון נובע מהמטען על הטלאי והשני משאר המטענים שעל הקליפה. התרומה הראשונה היא אפס כי המטען על הטלאי קרוב למטען נקודתי. ניתן להשתמש בשדה החשמלי הכולל של התחלקות המטען. איזה שדה לבחור? שפועל על הצד הפנימי של הטלאי (E=0) או מצידו החיצוני (E=/0). האינטואיציה אומרת (וניתן להוכיח במדויק) לבחור את הממוצע. ז.א הכוח ליחידת שטח יהיה כיוון הכוח הוא תמיד של דחייה. ז.א המטענים יברחו מהגוף הטעון אלא אם כן יהיה כח נוסף שיחזיק אותם במקום. הכוח הנוסף הוא גם חשמלי והוא בין האטומים או המולקולות.

30. נתון בלון שרדיוסו 0.1 מטרים. הבלון טעון במטען של 7x10-9 c . את המטען הזה מספקים בערך 4.5x1010 אלקטרונים, כלומר בערך 36x106 אלקטרונים על כל סנטימטר מרובע. כלומר יש 6000 אלקטרונים לאורך סנטימטר. המרחק בין שני אלקטרונים הוא 1.6x10-4 סנטימטר. זהו מרחק עצום ביחס למימדים הבין -מולקולריים של הבלון. האלקטרונים העודפים נמשכים חשמלית למולקולה.המולקלות נמשכות אחת לשניה ויוצרות את הבלון. משיכת האלקטרון מועברת למשיכת המולקולה. משיכה חזקה מאוד תוציא את האלקטרון מהמולקולה. זה קורה רק בשדות חשמליים עצומים.