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Approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique Y.Yakoubi et M. Lenczner Laboratoire M3M Université de Technologie de Belfort et Monbéliard, Belfort, France. Plan. Introduction Modélisation par homogénéisation Contrôle LQG Application : Plaque vibrante

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Approximation d’un contrôle optimal par un circuit électronique

Y.Yakoubi et M. Lenczner

Laboratoire M3M

Université de Technologie de Belfort et Monbéliard, Belfort, France

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide2
Plan
  • Introduction
  • Modélisation par homogénéisation
  • Contrôle LQG
  • Application : Plaque vibrante
  • Approximation asymptotique de la solution de Riccati
  • Approximation par un circuit électronique
  • Résultats numériques
  • Conclusion
  • Extensions, applications.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide3

Introduction

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

introduction
Introduction

Contrôle optimal LQG

Approximation au sens des hautes fréquences

Construction du contrôle optimal par un circuit électronique : Calculateur distribué quasi-local

Les actionneurs et les capteurs sont nombreux et distribués périodiquement : Homogénéisation

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide5

Modélisation par homogénéisation

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

exemple de mod lisation asymptotique par homog n isation
Exemple de modélisation asymptotique par homogénéisation

Plaque élastique encastrée avec distribution périodique

d’actionneurs et de capteurs piézo-électriques

Homogénéisation : il en résulte un milieu continu homogène

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

bibliographie
Bibliographie
  • Homogénéisation des équations aux dérivées partielles :

Bensousan A., Lions J.L. and Papanicol., 1978; Sanchez

Palencia E., 1980; Allaire G., 1992; Lenczner M, 1997;

Cioranescu D., Dalamian A., Griso G., 2002.

  • Homogénéisation des circuits électroniques :

Vogelius M, 1991; Lenczner M. et Mercier D., 2004.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

probl mes mod les
Problèmes modèles
  • Equation du premier ordre (type chaleur)
  • Equation du second ordre (type ondes ou plaques vibrantes)

avec conditions aux limites.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide9

Contrôle LQG

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

contr le lqg
Contrôle LQG

Y, U et X espaces de Hilbert; A :

Equation d’état et observation :

générateur infinitésimal d’un semi-groupe sur X;

Fonctionnelle à minimiser :

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

contr le lqg1

Estimateur:

Contrôle LQG

Si les couples (A,B) et (C,A*) sont respectivement stabilisable et détectable alors il existe un contrôle optimal qui vaut

défini par

et X=X* est l’unique solution de l’équation de Riccati

défini par

et

est l’unique solution de l’équation de Riccati

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide12

Application : Plaque vibrante

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

application plaque vibrante
Application : Plaque vibrante

Modèle de plaque vibrante homogénéisé :

où a et b sont des constantes positives.

Soit cette dernière équation sous forme d’un système d’état :

et

Ici

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

application plaque vibrante1
Application : Plaque vibrante

Les opérateurs adjoints de A, B et C sont définis de la façon

suivante :

  • Remarques :
  • Nous avons choisi d’observer le déplacement, la vitesse sera estimée.
  • Le choix des espaces U et Y a pour conséquence que BB*=b²I et C*C=c²Isont des opérateurs qui ne contiennent pas des ODP.
  • Les solutions des deux équations de Riccati sont en fonction uniquement de l’opérateur A0. Ces solutions sont calculées exactement.
  • L’approximation est déduite de la solution exacte.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide15

Approximation asymptotique de la solution de Riccati

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

approximation asymptotique de la solution de riccati
Approximation asymptotique de la solution de Riccati

Rappel : Soit A0 un opérateur linéaire auto-adjoint positif compact sur un espace de Hilbert X. Alors : L’ensemble des valeurs propres de A0 est fini ou dénombrable. Les valeurs propres sont réelles positives et ordonnées en une suite décroissante convergeant vers 0. Les vecteurs propres associés forment une base orthogonale complète de X.

Les solutions de Riccati sont en fonction d’un opérateur linéaire

auto-adjoint positif compact

:

L’approximation est basée sur le développement de Taylor.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

approximation asymptotique de la solution de riccati1
Approximation asymptotique de la solution de Riccati

Les solutions approchées sont en fonction de :

C’est une approximation au sens des hautes fréquences. Cette approximation se fait en dimension infinie, sans passage en dimension finie.

Cette approximation conduit à un système exponentiellement stable.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

approximation asymptotique de la solution de riccati2
Approximation asymptotique de la solution de Riccati

Les solutions approchées nous permettront par la suite de tirer les

équations du contrôle de l’état et de l’estimateur :

dans

Avec conditions initiales et aux limites.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide19

Approximation par un circuit électronique

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

approximation par un circuit lectronique
Approximation par un circuit électronique

La cascade d’équations précédentes peut être

discrétisée par un schéma de différences finies.

où h est le pas, sont les coordonnées.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

approximation par un circuit lectronique1

+

+

+

-

-

-

1.u

Construction du contrôle optimal u

u

ic

ic

ic

vtt

Dérivateurs électroniques

capteur

capteur

capteur

1.vt

L=1

Plaque élastique

vt

L=1

1.v

actionneur

actionneur

actionneur

v

Construction de l’opérateur A0 : Bilaplacien

Conditions

Limites

w

Intégrateursélectroniques

C=1

1. wt

R0

wt

R

R

R

R

R

k.i

k°.i

k°.i

Approximation par un circuit électronique

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

slide22

Résultats numériques

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

r sultats num riques
Résultats numériques

Problème 1D, plaque

16 actionneurs/16 capteurs

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

r sultats num riques1
Résultats numériques

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

r sultats num riques2
Résultats numériques

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

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Conclusion

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

conclusion
Conclusion
  • La méthode d’approximation au sens des hautes fréquences d’un problème de contrôle optimal permet une implantation dans un calculateur distribué quasi-local.
  • La méthode ne nécessite ni la connaissance des modes propres ni la projection sur la base modale, contrairement aux approches usuelles basées sur les décompositions modales.
  • L’approximation est globale.
  • Cette méthode nous permet de faire des calculs en temps réel.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

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Extensions, applications

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005

extensions applications
Extensions, applications
  • Cadre théorique beaucoup plus général pour l’approximation au sens des hautes fréquences de la solution d’une équation de Riccati.
  • Autres types de contrôle.

Troyes , 17ième Congrès Français de Mécanique du 29 août au 2 septembre 2005