Chapter 9

1. Chapter 9 통계역학(Statistical Mechanics)

2. 9.1 통계적 분포 9.2 Maxwell-Boltzmann 통계 9.3 이상 기체에서의 분자의 에너지 9.4 양자 통계 9.5 레일리-진스 공식 9.6 플랑크의 복사 법칙 9.7 아인슈타인의 접근법 9.8 고체의 비열 9.9 금속내의 자유전자 9.10 전자-에너지 분포 게 성운 (Crab Nebula)은 AD 1054년에 관측되었던 초신성의 폭발 결과이다. 이 폭발은 완전히 중성자만으로 이루어진 별을 남겨 놓았다고 믿어지고 있다. 중성자별을 이해하기 위해서는 통계역학이 필요하다.

3. 9.1 통계적 분포 세 가지의 다른 종류가 있다. 통계 역학 절대온도T에서 열적 평형을 이루고 있는N의 입자들로 구성된 계의 총 에너지E가 이들 구성 입자들에 어떻게 배분되어지는지에 대한 배분 방법들 중 가장 그 확률이 높은 배분 방법을 결정해내는 일이다. 통계 역학의 기본적인 전제는 허용되는 모든 가능한 상태들에 입자들이 배분되어서 한 특정한 에너지 분포를 이룰 수 있는 배분 방법들의 수인W가 크면 클수록 이런 분포가 될 가능성이 높아진다는 것이다. 입자들이에너지가 같은 상태들 사이에는 똑같은 확률로 존재할 수 있다고 가정한다. 통계 역학에서의 첫 번째 단계는 고려하는 입자들의 종류의 각각에 따라서W의 일반적인 표현 방법을 찾아내는 단계이다. 계가 열적 평형에 있다는 것에 상당하는 가장 확률이 높은 분포는 계를 이루는 입자의 수N이 고정되고(광자나 음파의 양자화인 포논(phonon) 은 제외), 또 계의 총 에너지E가 고정되어 있다는 조건 하에서W가 최대화하는 분포이다.

4. 9.1 통계적 분포 세 가지의 다른 종류가 있다. (9.1) 에너지 ε을 가지는 입자의 수 여기서 g(ε) = 에너지 ε을 가지는 상태들의 수 = 에너지 ε에 해당하는 통계적 가중치 f(ε)= 에너지 ε을 가지는 상태에 존재하는 입자들의 평균 개수 = 에너지 ε을 가지는 상태에의 점유 (occupancy) 확률 에너지의 분포가 불연속적이지 않고 연속적이라면g(ε)은g(ε)dε 으로 바뀌어진다. g(ε)dε은 에너지를 ε과 ε+dε 사이를 가지는 상태들의 수를 나타낸다.

5. 9.1 통계적 분포 세 가지의 다른 종류가 있다. 세 가지 다른 종류의 입자들의 계를 고려하겠다. 1. 충분히 멀리 떨어져 있어서 구별 가능한 동일 입자들, 예를 들어 기체내의 분자들이다. 양자 역학적 용어로 말하면 입자들의 파동함수의 중첩이 무시될 수 있을 만큼 적은 경우이다. 이런 입자들에는 막스웰-볼츠말 분포함수(Maxwell-Boltzmann distribution function)가 적용된다. 2. 파동함수가 중첩되어 구별이 불가능하고 스핀이0 이거나 정수인 동일 입자들이다. 제7장에서 보존(boson)이라 불렀던 이러한 입자들은 배타 원리를 따르지 않으며, 보즈-아인슈타인 분포함수(Bose-Einstein distribution function)를 따른다. 광자가 이러한 유형에 해당되며, 흑체 복사의 스펙트럼을 설명하기 위해 보즈-아인슈타인 통계를 사용할 것이다. 3. 구별 불가능하고 스핀이 1/2의 홀수배( 1/2, 3/2, 5/2, ……) 인 동일 입자들이다. 페르미온(fermion)이라 불리는 이러한 입자들은 배타 원리를 지켜야 하며 페르미-디락 분포함수(Fermi-Dirac distribution function)를 따른다. 전자가 이러한 유형에 속하며, 전기 전도도를 설명해주는 금속내의 자유전자들의 행동을 공부하기 위해 페르미-디락 통계를 이용하겠다.

6. 9.2 막스웰-볼츠만 (Maxwell-Boltzmann) 통계 기체 분자와 같은 고전적 입자들이 여기에 따른다. 절대 온도T에 있는 입자계에서, 에너지 ε인 상태에 들어갈 수 있는 평균 입자수 fMB(ε) 은 막스웰-볼츠만 분포함수로부터 알 수 있다. 막스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzmann) 분포함수 (9.2) A의 값은 계 안에 있는 입자의 수와 관계되며 파동함수의 규격화 상수와 비슷한 역할을 한다. 아는 바와 같이, k는Boltzmann 상수이며, 그 값은 Boltzmann 상수 식(9.1)과(9.2)를 결합하면, 온도T를 갖는 구별 가능한 동일한 입자들의 집합에서 에너지 ε을 가지는 입자의 수n(ε) 은 다음과 같이 된다. 막스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzmann) (9.3)

7. [예제 9.1] 0℃, 1기압, 수소원자가 개 들어 있다. 첫 번째 들뜬 상태 (n=2)에 있는 원자들의 수를 0℃ 와 10000℃에서 각각 구하라. (a) 10188개의 원자당 1개의 원자가 들뜬상태로 감 즉 모두 바닥상태에 있음 (b) 들뜬원자의 수가 1021개이므로 아주 작지만 그래도 상당히 큰 수임. 9.2 막스웰-볼츠만 (Maxwell-Boltzmann) 통계 기체 분자와 같은 고전적 입자들이 여기에 따른다.

8. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 평균값 3/2kT를 중심으로 변한다. 이제 이상기체 분자들 사이의 에너지 분포를 알아내는데 막스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzmann) 통계를 적용해 보기로 하자. 기체 분자의 병진 운동에서는 에너지의 양자화가 뚜렷하지 않고, 시료내의 분자의 총 수N은 일반적으로 매우 크다. 그러므로 분자의 에너지가 ε1, ε2, ε3, ……와 같이 불연속이지 않고 연속적인 분포를 갖는다고 생각하는 것이 타당하다. 에너지가 ε과 ε+dε 사이에 있는 분자의 수를n(ε)dε 이라 하면 식(9.1)을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. ε과 ε+dε 사이 에너지를 갖는 분자 개수 먼저 ε과 ε+dε 사이의 에너지를 갖는 상태들의 수g(ε)dε 을 알아보자. 이것은 간접적인 방법이기는 하지만 다음과 같은 방법으로 얻는 것이 가장 쉽다. 에너지가 ε인 분자가 크기 р인 선운동량 р를 가지고 있으면

9. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 평균값 3/2kT를 중심으로 변한다. (같은 운동량의 크기 р를 주는) рx, рy, рz의 모든 조합은(같은 에너지 ε에서의) 각각 다른 운동 상태들을 나타낸다. 그림9.1과 같이 좌표축이 рx, рy, рz 인 운동량 공간(momentum space) 을 생각하자. 운동량의 크기가 р와 р+dр 사이에 있는 상태들의 수g(р)dр는 운동량 공간에서 반지름이p이고 두께가dр인 공 껍질(spherical shell)의 체적 에 비례한다. 그러므로 운동량 상태 수는 (B는 상수이다.) 각각의 운동량의 크기 р는 하나의 에너지 ε에 각각 대응하므로, ε과 ε+dε 사이의 에너지 상태들의 수는 р+dр 사이에서의 운동량 상태들의 수g(р)dр와 같다. 따라서,

10. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 평균값 3/2kT를 중심으로 변한다. 이므로 규격화 분자 에너지 분포

11. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자의 평균 에너지 기체 분자 N개의 총 에너지 분자 평균 에너지 실온에서 e의 값은 약 0.004eV, 즉 1/25 eV이다.

12. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포 분자의 속도분포 RMS 속도

13. [예제 9.3] 이상기체 분자의 rms 속력이 평균 속력 보다 9퍼센트 정도더 큰 것을 증명하라. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포

14. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포 최빈 속력 기체에서 분자의 속력은 vp의 양쪽에서 비교적 크게 변한다. 최빈 속력은 온도가 높아짐에 따라 커지고 분자량이 늘어남에 따라 감소한다. 따라서, 73K의 산소의 속력은 273K의 산소보다 전체적으로 작으며, 273K에서 수소의 속력은 산소보다 전체적으로 크다. 물론, 273K에서의 평균 분자 에너지는 수소와 산소에서 동일하다.

15. [예제 9.4] 0℃ 산소 분자의 rms 속력을 구하라. 9.3 이상기체에서의 분자의 에너지 분자 속력분포

16. 9.4 양자 통계 보존(boson)과 페르미온(fermion)은 각각 다른 분포함수를 갖는다. • 막스웰-볼츠만(Maxwell-Boltzmann)분포는 입자들의 파동함수가 중첩되지 않아, 서로를 구별할 수 있는 동일 입자들로 이루어져 있는 계에 적용된다. • 파동함수가 중첩되는 입자들의 계는 다음의 두 개의 범주로 나뉘어진다. • 스핀을 0 이나 정수로 가지는 입자들인 보존(boson)은 배타 원리를 따르지 않고임의의 입자들 쌍에서 서로를 바꾸어도 계의 파동함수에 영향을 미치지 않는다. • 대칭적(symmetric)계의 특정한 한 양자 상태에 여러 개의 보존 존재. • 스핀이 ½의 홀수 배인 입자들인 페르미온(fermion)은 배타 원리를 따르며,어느 한 쌍의 입자를 서로 바꾸었을 때 파동함수의 부호가 변한다. => 비대칭적(antisymmetric)계의 특정한 한 양자 상태에 단 한 개의 페르미온 존재.

17. 9.4 양자 통계 보존(boson)과 페르미온(fermion)은 각각 다른 분포함수를 갖는다. 상태 a,b와 입자 1,2로 이루어진 두 입자계에서 입자들이 구별 가능하다면, 상태가 점유되는 가능성은 두 가지가 있으며, 이를 파동함수로 나타내면 입자들이 구별 불가능하다면, 어느 입자가 어느 상태에 들어가 있는지 알 수 없으므로 파동함수는 와 의 결합으로 쓰여져야만 하고, 두 점유 가능성은 같다. 보존(boson)대칭 파동 함수 페르미온(fermion)반대칭 파동 함수

18. 9.4 양자 통계 보존(boson)과 페르미온(fermion)은 각각 다른 분포함수를 갖는다. • 구별할 수 있는 입자의 경우 과 는 모두 이며, 확률밀도는 • 구별 가능한 입자 • 보존의 파동함수 확률밀도 • 페르미온의 파동함수 • 즉, 두 개의 페르미온은 같은 상태를 점유할 수 없다. • 보존으로 이루어진 계에서, 어떤 양자 상태에 한 입자가 존재하면 같은 상태에서 다른 입자를 찾을 확률을 높힌다. • 페르미온으로 이루어진 계에서, 어떤 양자 상태에 한 입자가 존재하면 같은 상태에 다른 입자가 존재할 수 없게 한다.

19. 9.4 양자 통계 보즈-아인슈타인과 페르미-디락 분포함수 에너지 인 상태를 점유할 확률 은 보즈-아인슈타인(Bose- Einstein) 분포함수 페르미-디락(Fermi- Dirac) 분포함수 의 극한의 경우, 두 경우 모두에서 함수 은 막스웰-볼츠만 통계 식에 접근한다. 주어진 비율 에서, 보존의 은 분자에 대한 보다 항상 크며, 페르미온에 대한 은 보다 항상 작다.

20. 9.4 양자 통계 보즈-아인슈타인과 페르미-디락 분포함수 표9.1세 가지 통계분포함수

21. 9.5 레일리-진스(Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근 레일리(Rayleigh)와 진스(Jeans)는 흑체복사를 온도 에서 복사가 채워진 공동(cavity)로 생각하고 공동의 벽을 완전 반사체로 가정하였으므로, 복사는 전자기파의 정상파로 되어 있어야만 한다. 각 벽 위에서 정상파의 마디가 형성되기 위해서는, 벽과 벽 사이의 경로가 반 파장의 정수( ) 배가 되어야 할 것이다. 공동이 각 변의 길이가 인 정육면체일 떄, 정상파의 x,y,z 방향에 대한 가능한 파장들은 = x방향으로의 반파장의 수 = y방향으로의 반파장의 수 = z방향으로의 반파장의 수

22. 9.5 레일리-진스(Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근 임의의 방향을 가지는 정상파가 벽에서 마디를 가지기 위해서는 정육면체 공동내의 정상파 파장이 와 사이에 있는 공동 내에서의 정상파 개수 를 세기 위해서는, 그 구간의 파장을 주는 가능한 값들의 조합의 수를 세어야 한다. 를 원점으로부터 임의의 점 에 이르는 벡터라 하면, 그 크기는

23. 9.5 레일리-진스(Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근 λ와 λ+dλ 사이의 파장을 가진 정상파의 총 개수는원점으로부터의 거리가j와j+dj 사이에 있는j공간 상에서의 점들의 개수와 같다. 반지름이j이고 두께가dj인 공 껍질(spherical shell)의 부피는 이다. 그러나, j공간에서 관심이 있는 부분은jx, jy, jz가 모두 양의 값을 가지는 공의 부분뿐이다. 또한, 이렇게 세어 가는 각 정상파에는 서로 수직인 두 개의 편광 방향이 존재한다. 그러므로, 공동 내에 있는 서로 독립적인 정상파의 총 개수는 아래와 같다. 정상파의 개수 정상파의 개수

24. 9.5 레일리-진스(Rayleigh-Jeans) 공식 흑체복사의 고전적 접근 공동의 부피가 L³ 이므로 서로 독립적인 정상파의 단위 부피 당 개수는 아래와 같다. 공동내의 정상파의 밀도 각 정상파 당 평균 에너지를 구하는데 양자물리와 고전물리 사이에 차이가 벌어진다. 이미 언급했던 고전적인에너지의 등분배 법칙을 따르면 온도T에서 열적 평형을 이루고 있는 어떤 개체(entity)로 이루어진 계에서 각 개체의 각 자유도에 배당되는 평균 에너지는 (½)kT이다. 복사로 가득 찬 공동 내에서의 각정상파는 두 개의 자유도를 가지며 평균 총 에너지(e) = kT를 가진다. 이러한 진동자는 두 개의 자유도를 가지는데, 하나는 진동자의 운동에너지에, 나머지 하나는 진동자의 위치 에너지에 해당된다. 그러므로, 진동수 ν와 ν+dν사이인 정상파가 공동 내에서 가지는 단위 부피 당 에너지u(ν)dν는 고전 물리를 따르면 다음과 같다. 레일리-진스공식 윗식은 에너지 밀도가 진동수(v2)에 따라 무한히 증가  WRONG  고전역학의 실패

25. 9.6 플랑크의 복사 법칙 광자 가스는 어떻게 행동하는가? 플랑크는 막스웰-볼츠만 분포 법칙을 적용하여 에너지 을 가지는 진동자 수가 온도 T 에서 에 비례함을 발견하였다. 진동자 당 평균에너지 (공동내의 정상파 당 평균 에너지)는 레일리-진스의 에너지-등분배 평균인 대신, 플랑크(Planck)의 복사 공식 Planck는 올바른 공식을 얻었지만 유도과정에 심각한 오류 공동벽에 있는 조화진동자의 에너지는 nhv가 아니라 (n+1/2)hv 이며 Zero point E=1/2hv를 포함해야 한다. 올바른 방법은 전자기파를 B-E 통계를 따르는 광자 기체로 생각함 (photon의 spin 1) 즉 Boson 이며 B-E 분포를 따름

26. 9.6 플랑크의 복사 법칙 광자 가스는 어떻게 행동하는가? 각 에너지 상태에 있는 평균 광자 수 는 보즈-아인슈타인 분포 함수에 의해 주어진다. 보즈-아인슈타인 분포 함수의 값은 고려하는 계의 총 입자 수에 관계되는 양이다. 기체 분자나 전자와는 달리 광자는 항상 생성되거나 소멸될 수 있으므로 공동내의 수가 보존될 필요가 없다. 광자의 수가 보존되지 않는다는 것은 을 의미한다. 광자의 분포함수 공동내의 광자의 에너지밀도

27. 9.6 플랑크의 복사 법칙 빈의 변위 법칙 (Wien’s displacement law) 를 로 바꾸고, 이 되는 을 찾으면, 를 얻을 수 있다. 좀 더 이용하기 쉬운 형태로 바꿔 쓰면, 빈(Wien)의 변위 법칙 흑체 스펙트럼의 봉우리는 온도가 증가함에 따라 점점 짧은 파장(높은 진동수)쪽으로 이동한다는 현상적인 사실을 정량적으로 설명해준다.(온도가 증가함에 따라 복사되는 빛의 색이 달라짐 즉 파장과 진동수가 달라져서 높은 온도에서 더 파장이 짧은 빛이 나옴)

28. 9.6 플랑크의 복사 법칙 슈테판-볼츠만 (Stefan-Boltzmann) 의 법칙 로 부터 얻을 수 있는 또 다른 결과는 공동내의 총 에너 지 밀도 이다. 는 에너지 밀도를 모든 진동수에 대해 적분하여 얻을 수 있다. 여기서 는 보편적인 상수이며, 총 에너지 밀도는 공동 벽의 절대온도의 4제곱에 비례한다. 그러므로, 어떤 물체가 단위 시간당, 단위 면적당 복사하는 에너지 역시 에 비례한다고 기대할 수 있다. 슈테판-볼츠만(Stefan-Boltzmann)의 법칙 슈테판의 상수

29. 9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입 복사의 유도방출은 레이저의기본이 되는 개념이다.유도방출은 1917년에 아인슈타인이 도입하였고, 이를 사용하여 간단한 방법으로 플랑크의 복사 법칙을 이끌어 내었다. 상태의 원자는 진동수가 인 광자를 흡수하여 상태로 올라감. 상태 에 있는 하나의 원자가 광자를 흡수하는 확률은 에너지 밀도 에, 그리고 각 상태의 특성에 따르는 상수 에 비례한다. 그림 9.9 원자 에너지 상태Ei 와 Ej 사이에서 전이가 일어나는 세 가지 방법. 단위 시간 동안 각각의 전이가 일어나는 원자의 수를 그림에 표시하였다.

30. 9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입 i 상태에 Ni개의 원자가 있고 j 상태에 Nj개의 원자가 있다고 가정 (온도 T, 빛의 진동수 v, 에너지 밀도 u(v) 에서 thermal equilibrium) i 상태에 있는 원자가 photon를 흡수할 확률은 energy density u(v) 와 i와 j상태의 성질 Bij에 비례한다. 광자를 흡수하는 원자의 수 높은 상태에 있는 원자들은 광자를 자발적으로 방출하면서 낮은 상태로 내려오는 어떤 확률 을 가지고 있다. 광자를 방출하는 원자의 수

31. 9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입 계가 평형상태에 있으므로, 단위 시간당 상태 에서 로 올라가는 원자의 수는 에서 로 떨어지는 원자의 수와 같다. 양변을 로 나누고 에 대해 풀면,

32. 9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입 온도 의 원자계 안에 있는 에너지 와 를 가진 원자의 수를 구하면, 따라서, 가 된다.

33. 9.7 아인슈타인의 접근법 유도방출의 도입 이 식은 가능한 에너지가 와 인 원자와 온도 에서 열적 평형을 이루고 있는 진동수 인 광자의 에너지 밀도를 주는 식이다. 와 이면, 플랑크의 복사 법칙의 식과 일치한다. 결론 1. 유도 방출은 실제로 일어나며, 두 상태 사이의 유도 방출 확률은 그 두 상태 사이의 흡수 확률과 같다. 2. 자발방출 확률과 유도방출 확률 사이의 비가 에 비례하므로, 두 상태 사이의 에너지 차이가 벌어지면 벌어질수록 자발 방출의 가능성이 상대적으로 급격하게 증가한다. 3. , , 를 알기 위해서는 그 중 하나만 알면 된다.

34. 9.8 고체의 비열 고전 물리는 다시 실패한다. 고체의 내부 에너지는 구성 입자들인 원자, 이온, 혹은 분자들의 진동 에너지로 존재한다. 이들 진동은 수직인 세 개의 축에 대한 성분들로 분해할 수 있으므로, 원자를 세 개의 조화 진동자라고 생각할 수 있을 것이다. 고전물리를 따르면 온도 에서 열적 평형을 이루고 있는 계의 한 조화 진동자는 평균 에너지 를 가지므로, 고체내의 각 분자는 의 에너지를 가져야 한다. 1킬로 몰(kilomole)의 고체에는 아보가드로(Avogadro)의 수 만큼의 원자를 가지고 있으므로, 온도 에서 총 내부 에너지 는, 고체의 고전적인 내부 에너지 기체상수

35. 9.8 고체의 비열 고전 물리는 다시 실패한다. 정적 비열 뒬롱-프티(Dulong-Petit)의 법칙 1세기 전에 뒬롱(Dulong)과 프티(Petit)는 실온이 나 그 이상 온도에서 대부분의 고체의 가 실제 로 임을 발견하였다. 그러나 가벼운 원소에서 잘 맞지 않고 또 0K로 갈수록 0에 접근하는 것을 설명할 수 없게 되었다. 안 맞음 그림 9.10 몇 가지 원소에 대한 몰 정적비열 Cv의 온도에 따른 변화

36. 9.8 고체의 비열 아인슈타인의 공식 1907년 아인슈타인은 뒬롱-프티의 법칙을 유도해내는 과정에서의 근본적인 결점은 고체 내의 진동자당 평균 에너지를 로 놓음에 있음을 알아내었다. 진동자 당 평균 에너지 고체의 내부 에너지 아인슈타인의 비열 공식

37. 9.8 고체의 비열 아인슈타인의 공식 높은 온도에서, 즉 일 때는 이다. 뒬롱-프티의 값과 일치 높은 온도에서는 에너지들 사이의 간격 가 에 비해 훨씬 작으므로 은 실제적으로 연속적인 것처럼 되고, 따라서 고전 물리가 잘 맞게 된다. 온도가 낮아질수록 의 값은 점점 작아진다. 이와 같이 고전적인 결과에서 벗어나는 이유는 이제 가능한 에너지들 사이의 간격 (hv)이kT에 비해 상대적으로 커져서 영점(zero-point)에너지 위로 채워지지 않기 때문. 비열 분석에서 harmonic oscillator의 zero point E는 포함이 안되는 이유는? 조화진동자의 허용된 E는 (n+1/2)hv이다 따라서 고체의 ground state의 E는 ½hv이다. 그러나 영점에너지는 고체의 몰에너지의 상수항에 더해질 뿐이며 이것은 미분시(CV=dE/dT)없어진다.

38. Debye 이론 Einstein 이론은 T0로 갈때 Cv0으로 가는것을 예측했지만 정확히 맞지 않는다. 1912는 Debye는 다른 방법으로 고찰 Einstein은 원자는 주변의 원자와 관계없이 고정된 진동수로 진동한다고 가정 Debye는 고체를 연속적인 탄성체로 보고 고체의 내부에너지는 elastic standing wave 와 관련 있다고 생각 2 가지의 Elastic wave in solid longitudinal and transverse 그리고 파동의 frequency가 0 부터 최대치 (vm)까지 range를 가짐. Debye는1 kmol의 고체속에 전체 정상파의 수가 3N0개 있다고 가정 이 탄성파는 전자기파와 같이hv의 에너지로 양자화 되어있고 phonon이라고 부르며 소리의 속도로 진행한다. 또한 Debye는 phonon gas는 photon gas와 같은 통계적 성질을 갖으며 정상파의 평균에너지는 를 갖는다. 이식은 모든 온도 구역에서 잘 맞는다.

39. 3 kT 2 9.9 금속내의 자유전자 각 양자 상태에는 한 개 이상의 전자가 들어갈 수 없다. 고체의 비열은 금속 비금속에 똑같이 적용이 되는데 금속의 경우 자유전자의 존재를 무시했음 전형적인 금속에서는 각 원자가 각각 한 개씩의 전자를 자유전자로 내놓아서 공통의 “전자 가스”를 만들므로 금속 1kmole에는 개의 자유전자가 존재한다. 이들 자유전자가 이상기체에서의 분자들과 같은 행동을 한다면 각 전자는 평균적으로 의 운동에너지를 가질 것이다. 그러면, 이 전자들에 의한 금속의 kmole당 내부 에너지는 이 된다. 그러므로 전자에 의한 몰 비열은 가 되고, 금속의 총 비열은 (고전적 분석이 맞을 정도로 높은 온도에서) 가 된다.

40. 9.9 금속내의 자유전자 각 양자 상태에는 한 개 이상의 전자가 들어갈 수 없다. 금속의 비열을 주는 개체들의 특성을 잘 생각하면, 대답에 대한 단서를 얻을 수 있다. 아인슈타인 모델에서의 조화 진동자나 데바이 모델에서의 포논은 모두 보존(boson)이므로 보즈-아인슈타인 통계를 따르며, 특정한 양자 상태의 점유도에 상한 값이 존재하지 않는다. 그러나 전자는 페르미온(feromion)이므로 페르미-디락 통계를 따르며, 각 양자 상태에 하나 이상의 전자가 점유될 수 없다. “높은” 온도에서는, 보존계나 페르미온 계 모두 각 자유도당 평균 에너지가가 되는 막스웰-볼츠만 통계에 접근해간다.페르미온 계에서 에너지 인 양자 상태의 평균 점유도를 나타내는 분포함수는, 상태 당 평균 점유도 또, 에너지가 과 사이에 있는 양자 상태의 수 를 알 필요가 있다.

41. 9.9 금속내의 자유전자 각 양자 상태에는 한 개 이상의 전자가 들어갈 수 없다. 을 구하기 위해서는 공동 내에서 파장이 인 정상파의 개수를 구하기 위한 방법과 똑같은 방법을 사용할 수 있다. 동일한 정상파에 대해 서로 무관한 두 개의 편광상태가 있듯이 전자의 경우에도 (up과 down)의 두 개의 가능한 스핀 상태가 있으므로 정확히 똑같은 방법을 쓸 수 있다. 한 변의 길이가 인 정육면체 공동에 있는 정상파의 총 개수는, 이다. 금속내의 전자는 비상대론적인 속도를 가지므로, 위 두 식을 대입하고, 대신 를 넣으면 전자 상태의 개수

42. 9.9 금속내의 자유전자 페르미 (Fermi) 에너지 는 금속이 가질 수 있는 에너지 상태들에 개의 자유전자를 에너지 에서부터 점점 증가시켜 가며 채워 넣음으로써 얻을 수 있다. 페르미 에너지의 정의에 의해서, 채워지는 에너지 중 가장 높은 에너지 가 된다. 각 상태는 전자 한 개로 제한되므로, 같은 에너지 을 가질 수 있는 전자의 수는 이 에너지를 가지는 상태들의 수와 같다. 그러므로, 페르미 에너지(Fermi energy) 는 자유전자의 밀도

43. 9.10 전자-에너지 분포 매우 높은 온도와 매우 낮은 온도를 제외하고 금속내의 전자는 왜 금속의 비열에 기여하지 못하는가? 전자 가스에서 와 사이의 에너지를 가지는 전자의 개수는, 전자 에너지 분포 일 때의 결과 그림 9.11 몇 온도에서 금속에 있는 전자들의 에너지 분포.

44. 9.10 전자-에너지 분포 매우 높은 온도와 매우 낮은 온도를 제외하고 금속내의 전자는 왜 금속의 비열에 기여하지 못하는가? 에서의 총 에너지 는, 평균전자에너지는 총에너지(E0)를 전자의 수 N으로 나눈 것 T=0 에서 평균 전자 에너지 금속들의 페르미 에너지는 대체적으로 수 eV이므로(표9.2), 0K에서 이들 금속 내에 있는 전자의 평균 에너지도 그 정도의 크기를 갖는다.

45. 9.10 전자-에너지 분포 매우 높은 온도와 매우 낮은 온도를 제외하고 금속내의 전자는 왜 금속의 비열에 기여하지 못하는가? 금속내의 자유전자가 금속의 비열에 어느 정도로도 기여하지 못하는 이유는 전자의 에너지 분포 특성 때문이다.금속이 가열 되면, 에너지 분포의 제일 위쪽에 있는 전자들만이, 즉, 페르미 에너지로부터 약 k 내의 에너지를 가지는 전자들만이 더 높은 상태로 들뜰 수 있다. 이보다 더 낮은 에너지를 갖는 전자들은 더 이상 에너지를 흡수할 수 없는데, 왜냐하면 이들 전자 상태보다 더 높은 에너지 상태가 이미 채워져 있기 때문이다. 전자 비열 넓은 온도 범위에서 원자에 의한 비열 가 전자에 의한 비열 보다 금속의 비열에 훨씬 크게 기여한다. 그러나, 매우 낮은 온도에서는 가 대략 에 비례하는 반면 는 에 비례하므로 는 에 비례하므로 에 의한 기여가 매우 중요해진다. 매우 높은 온도에서 는 약 에서 거의 변하지 않지만 는 점점 증가하므로 총 비열에 대한 의 기여가 관측 가능해진다.