ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica

2. Εισαγωγή Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές • DSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο • NSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση

3. Εισαγωγή Και οι δυο εντολές δέχονται • μια ή περισσότερες εξισώσεις για επίλυση • Πρώτης ή ανώτερης τάξης εξισώσεις • Γραμμικές ή μη γραμμικές εξισώσεις • Προβλήματα με αρχικές συνθήκες, συνοριακά προβλήματα.

4. Η εντολή DSolve

5. Συμβολική επίλυση(symbolic solution) Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης • Γενική λύση ΔΕ: • eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕ • DSolve[eqn,y[t],t] όπου eqn η ονομασία που δείνει ο χρήστης y[t] η άγνωστη συνάρτηση της ΔΕ και t η μεταβλητή

6. Οι εξισώσεις 0ρίζονται με διπλό = Παραδείγματα • Έστω η ΔΕ • eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) • DSolve[eqn,y[t],t]

7. Όπου C[1] είναι η σταθερά ολοκλήρωσης c • Η λύση της ΔΕ δόθηκε από το πρόγραμμα :

8. ΔΕ με αρχικές συνθήκες Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕ con=αρχική συνθήκη • DSolve[{eqn,con},y[t],t] Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς y’

9. Παραδείγματα • Να λυθεί το πρόβλημα

10. Πρόβλημα • Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ

11. Λύση • Η λύση είναι με Mathematica

12. Γραφικές παραστάσεις • Πολλές φορές θέλουμε να έχουμε εκτός από τη λύση της ΔΕ και την γραφική παράσταση κάποιας ή κάποιων μερικών λύσεων από τη γενική λύση της διαφορικής

13. Πρόβλημα • Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής Μετά να γίνει η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα -1<χ<1

14. Λύση • Η λύση με Mathematica

15. Γραφική λύση

16. Παράδειγμα • Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ Να γίνει γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ)

17. Λύση • Βρίσκουμε τη γενική λύση, με την εντολή:

18. Γραφική παράσταση Evaluate Η εντολή Evaluate είναι απαραίτητη για να δημιουργηθεί πρώτα η Λίστα των 5 λύσεων και μετά να δουλέψει η Plot

19. Παράδειγμα • Να λυθούν οι ΔΕ • Στη δεύτερη ΔΕ να γίνουν ολοκληρωτικές καμπύλες για 10 αρνητικές τιμές της αυθαίρετης σταθεράς και για τιμές y στο διάστημα -5<y<0

20. Λύση

21. Γραφική λύση PlotRange Η εντολή PlotRange δίνεται για να καθορίσουμε το σύνολο τιμών στον άξονα y

22. Αρκετές ΔΕ που καταλήγουν σε ΔΕ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ μεταβλητών αντιμετωπίζονται αμέσως με την εντολή DSolve χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε επι μέρους ολοκληρώσεις σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο.

23. Παράδειγμα • Να λυθεί η ΔΕ • Να σχεδιαστούν οι ολοκληρωτικές καμπύλες όταν η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τιμές -2,-1,0,1,2

24. Λύση

25. Γραφική παράσταση PlotStyle RGBColor Η εντολή PlotStyle δείνει χρώμα στη κάθε γραφική παράσταση λύσης H εντολή RGBColor δείνει το κατάλληλο χρώμα