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菱形的判定

菱形的判定. 1 . 如图, AB 、 CD 是⊙ O 的两条直径,四边形 ACBD 是矩形吗?证明你的结论.. ∵ AO=BO,CO=DO (圆的相等半径) ∴四边形 ABCD 是平行四边形( ① ) ∵ AB=CD( 圆的直径相等) ∴四边形 ABCD 是矩形 ( ② ). ABCD. 2 . 如图,  ABCD 中,∠ 1=∠2. 此时四边形 ABCD 是矩形吗?为什么? zxxk. ∵ ∴ AO=CO,BO=DO

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菱形的判定

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Presentation Transcript


  1. 菱形的判定

  2. 1. 如图,AB、CD是⊙O的两条直径,四边形ACBD是矩形吗?证明你的结论. ∵AO=BO,CO=DO (圆的相等半径) ∴四边形ABCD是平行四边形( ① ) ∵AB=CD(圆的直径相等) ∴四边形ABCD是矩形 ( ② )

  3. ABCD 2. 如图,ABCD中,∠1=∠2.此时四边形ABCD是矩形吗?为什么? zxxk ∵ ∴AO=CO,BO=DO ( ① ) ∵ ∠1=∠2 ∴AO=BO( ② ) ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 ( ③ )

  4. ABCD 1. 如图,ABCD中,AB=6, BC=8, AC=10.求证四边形ABCD是矩形. ∵ AB=6,BC=8,AC=10 且62+82=102 ∴AB2+BC2=AC2 ∴ ∠B=900( ① ) ∵ ∴四边形ABCD是矩形 ( ② )

  5. 2. 如图,△ABC中,AB=AC, AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线,BE⊥AE.求证: AB=DE. ∵AB=AC,AD平分∠BAC ∴AD⊥BC, ∠1= ∠BAC /2 (等腰三角形三线合一) ∵ AE平分∠BAF ∴ ∠2= ∠BAF/2 ∵ ∠BAC + ∠BAF=1800 ∴ ∠1+ ∠2=(∠BAC + ∠BAF)/2=900 ∵ BE⊥AE ∴ ∠BDA= ∠DAE= ∠BEA=900 ∴四边形BDAE是矩形( ① ) 1 2 F

  6. 已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于O,简述平行四边形的性质:z.x.x.k已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于O,简述平行四边形的性质:z.x.x.k 复习: 两组对边分别平行 边 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 角: 两组对角分别相等 对角线互相平分 对角线:

  7. 复习:菱形的特殊性 四边相等 • 边: • 角: • 对角线: 对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分 菱形的性质有: 1.两条对角线互相平分 2.四条边都相等 3.每条对角线平分一组对角

  8. A D B C 判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 O ∵ ABCD AB=BC ∴四边形ABCD是菱形 判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ ABCD AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形 判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形 ∵AC平分∠BAD和 ∠ BCD,BD平分∠ABC和∠ADC ∴四边形ABCD是菱形 问:如何证明判定定理2和判定定理3呢?

  9. ABCD 判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知 ABCD中,对角线AC、BD互相垂直, 求证:四边形ABCD是菱形. 证明:在 中,OA=OC ( ①). 又∵AC⊥BD, ∴ BD所在直线是线段AC的垂直平分线, ∴ AB=BC, ∴ 四边形ABCD是菱形 ( ②).

  10. A D B C 判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形 已知:AB=BC=CD=DA 求证:四边形ABCD是菱形 ∵AB=CD,BC=AD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB=CD ∴四边形ABCD是菱形 (有一组邻边相等的平行四边形是菱形)

  11. A D B C 判断对错: (1)对角线互相垂直的四边形是菱形。 ( ) (2)对角线垂直且平分的四边形是菱形。 ( ) (3)对角线垂直的矩形是菱形。 ( ) (4)对角线垂直且相等的四边形是菱形。 ( ) (5)有一条对角线平分一组对角的四边形 是菱形。 ( ) 课后练习2、3

  12. 1. 如图,AD是△ABC的一条角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形. 2. 如图,△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AC于E,DG⊥AB于G,EK⊥AB于K,GH⊥AC于H,EK和GH相交于点F.求证: 四边形DEFG是菱形.

  13. 如图,AE平行BF,AC平分角BAD,交BF于C,BD平分角ABC,交AE于D,连接CD。求证:四边形ABCD是菱形。 课本102页6、11、10、12

  14. 已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F, 求证:四边形AFCE是菱形 证明 ∵ 四边形ABCD是矩形, ∴ AE∥FC( ① ) ∴ ∠1=∠2.( ② ) ∵ EF平分AC, ∴ AO=OC. 又∵ ∠AOE=∠COF=90°, ∴ △AOE≌△COF( ③ ), ∴ EO=FO, ∴ 四边形AFCE是平行四边形( ④ ) 又∵EF⊥AC, ∴ 四边形AFCE是菱形( ⑤ )

  15. 3. 如图,菱形ABCD的周长为2p,对角线AC、BD交于O,AC+BD=q,求菱形ABCD的面积. (提示: 利用两数和的平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理)

  16. 小结: 判定定理1:有一组邻边相等的平行四边形是菱形 • 菱形的证明方法 判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 判定定理3:四条边都相等的四边形是菱形 判定定理4:每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

  17. 作业: • 课本P116

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