Download
1 / 31
360 likes | 507 Views
Probabilitati. Pica Madalina-Alexandra Clasa aXa A.
E N D
Probabilitati Pica Madalina-Alexandra Clasa aXa A
Inceputurile teoriei probabilitatilor sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal (1623-1662) si Pierre Fermat (1601-1665). Ei au ajuns la probleme legate de probabilitate datorita jocurilor de noroc. Doi jucatori vor sa joace un numar un numar de partide pana ce castigatorul castiga m partide.Jocul, insa se intrerupe la n<m partide si celalalt la p<m partide. Pascal si-a dat seama care este raspunsul la provocare si I l-a comunicat lui Fermat, amandoi reusind sa rezolve enigma . La noi, teoria probabilitatii are vechi traditii si a fost ilustrat de matematicienii Octav Onicescu, Gheorghe Mihoc, C.T. Ionescu Tulcea, George Ciucu, Ioan Cuculescu, Marius Iosifescu , etc.
Multimi = multime finita O multime nevida = { 1, 2,......,n} Un element 1, i=1,n se afla in ,il notam i ( ii apartine multimii ) Daca (n+1) nu se afla in , atunci notam (n+1) A este o submultime a daca ( ) x A implica x A ( A este inclusa in ) P( ) reprezinta toate submultimile lui , adica P()={A A} Pentru P(), card (P())= 2 (card()) Daca AP() , atunci A=C A= -A (fig. 5)
Daca A,B P() , atunci AB={A si B} • (intersectia multimilor) (fig 6) • Daca A,B P() , atunci AB={A sauB} • (reuniunea multimilor) (fig 7) • Daca A,B P() , atunci AB= • ( multimi disjuncte) AxB={(a,b)a A si b B} Ex: Pentru A={1,2,3,4} si B{ a,b,c} AxB= {(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)} Diagrama (fig8) Arbore(fig 9)
Clasificarea evenimentelor: • sigur - evenimentul apariţiei una din feţele 1,2,3,4,5,6 la un zar; • imposibil- evenimentul apariţiei feţei 7 la un zar;c) aleator - evenimentul apariţiei feţei 3 la un zar. Frecvenţa unui eveniment = , unde m reprezintă numărul de apariţii E în cazul a n încercări. Probabilitatea unor evenimente aleatoare În cazul unui număr n suficient de mare de experimente în care evenimentul E apare de m ori, frecvenţa relativă m/n poate fi socotită ca valoarea probabilităţilor. Această valoare se numeşte probabilitatea (statistică a) evenimentului E şi se notează P(E); P(E) =m n
Evenimente incompatibile, contrare Evenimente incompatibile - evenimentele nu se produc simultan. Evenimente contrare - producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte. Regula de adunare şi cea de înmulţire Regula de adunare Probabilitatea reuniunii unui număr de evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităţilor acestor evenimente • Regula de înmulţire • pentru evenimente independente • pentru evenimente condiţionate
Multimea vidã se noteazã cu simbolul si reprezintã multimea fãrã nici un element. O multime poate fi reprezentata: enumerându-se elementele sale, între acolade: Ex: A = {0, 2, 4, 6, 8} cu ajutorul unei proprietãti caracteristice, comune tuturor elementelor multimii: Ex: B = {x: xNsi x este par} print-o diagramã Venn-Euler:
Reuniunea Există mai multe moduri de a construi o mulţime nouă din alta sau altele deja existente. Două mulţimi pot fi "adunate". Operaţia, numită "reuniunea" lui A cu B şi notată A U B, este muţimea tuturor entităţilor care sunt membri fie ai lui A, fie ai lui B. Exemple: Unele proprietăţi de bază ale reuniunii:
Intersectia O nouă mulţime poate fi construită şi prin determinarea membrilor pe care două mulţimi date îi au în comun. "Intersecţia" dintre A şi B, notată A ∩ B, este mulţimea tuturor entităţilor (membrilor) care aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B. Dacă A ∩ B = ø, atunci A şi B se numesc mulţimi disjuncte (fără membri comuni). Exemple: Proprietăţi de bază ale intersecţiilor:
Complementarea Două mulţimi pot fi "scăzute". Complementul relativ al lui A în B (numit şi diferenţa dintre mulţimile B şi A), notat B − A (sau şi B \ A), este mulţimea tuturor elementelor care fac parte din B, dar nu şi din A. De notat că nu este greşit să se "scoată" dintr-o mulţime elemente care nu îi aparţin, cum ar fi eliminarea elementului verde din mulţimea {1,2,3}; doar că această operaţie nu are nici un efect. În anumite cazuri, toate mulţimile despre care se discută sunt considerate submulţimi ale unei mulţimi universale U. În astfel de cazuri U − A se numeşte complementul absolut (faţă de U), sau pur şi simplu complementul lui A, şi este notat cu A′. Exemple:
Dacă U este mulţimea numerelor întregi, E este multimea întregilor pari, şi O este mulţimea întregilor impari, atunci complementul lui E faţă de U este O: Proprietăţi de bază ale complementelor:
Teorema probabilitatii totale Definiţie: Mulţimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile două câte două, care pot avea loc în cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeşte universul probelor (sau spaţiul probelor).Exemplu. La aruncarea unei monede omogene avem Ω={b,s}, unde b este banul, iar s este stema. Definiţie: Fie Ω un univers. Se numeşte eveniment orice submulţime a lui Ω.Exemplu: La aruncarea monedei Ω={s,b} si P(Ω={Ø,{s},{b},{s,b}}.Deci în acest caz avem patru evenimente: Ø numit eveniment imposibil (care nu se realizează în nici o probă), A={s} (constă în apariţia stemei într-o probă), B={b} (constă în apariţia banului într-o probă), C={s,b}=Ω numit evenimentul sigur (constă în apariţia banului sau a stemei într-o aruncare) care se realizează întotdeauna
Camp de probabilitate Mulţimea tuturor evenimentelor legate de o experienţă împreună cu probabilităţile respective formeaya un câmp de probabilitate. Probabilităţile calculate se referă la evenimente legate de experienţe având un număr finit de cazuri posibile(evenimente elementare). Formule pentru calcularea unor probabilităţi 1. P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 2. P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)
Scheme clasice de probabilitate 1.Schema lui Poisson Se dau n urne U1, U2, U3, ..., Un care contin bile albe si negre in proportii date. Cunoastem, deci, probabilităţile pi (i=1, 2, ..., n) cu care este extrasa o bila albă din urna Ui. Se cere probabilitatea de a extrage k bile albe si n-k bile negre, atunci cand din fiecare urna se extrage cate o bilă. Probabilitatea căutată va fi coeficientul lui xk in polinomul P(x)=(p1x+q1)(p2x+q2)…(pnx+qn).
2. Schema lui Bernoulli In schema lui Poisson peresupunem ca avem urnele identice. Atunci putem lua p1 = p2 = ... pn = p si q1 = q2 = ... qn = q = 1 - p . In acest caz, probabilitatea extragerii a k bile albe, va fi coeficientul lui xk din polinomul P(x)=(px+q)n adica va fi egala cu :
Evenimente elementare echiprobabile Definitie: Fie Ω={ω1, ω2,…, ωn}. Evenimentele elementare { ω1}, { ω2},…,{ ωn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate. Teorema: Daca Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci: PA=kn=n(A)n(Ω).
