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概率论与数理统计

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  1. 概率论与数理统计 第3章 连续型随机变量

  2. 本章主要内容: • 随机变量及分布函数 • 连续型随机变量 • 多维随机变量及其分布 • 随机变量函数的分布 • 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 • 条件分布与条件期望、回归与第二类回归 • 特征函数

  3. 教学目的与要求 • 1.掌握分布函数的定义和性质; • 2.掌握连续型随机变量的概率密度,特别是均匀分布、指数分布、正态分布的概率密度;二维连续型随机变量的联合概率密度和边际密度。 • 3.掌握连续型随机变量的数学期望、方差。 • 4.掌握表示随机变量相互关系的数字特征:协方差、相关系数,随机变量的不相关与独立的异同。 • 5.掌握连续型随机变量函数的分布密度的求法,掌握卷积公式。 • 6.掌握特征函数及其应用

  4. 教学重点与难点 • 教学重点是分布函数与连续型随机变量的密度函数,期望、方差的有关概念。 • 教学难点是协方差、相关系数的有关计算,及卷积公式的应用。

  5. 一、随机变量 定义3.1 设( )是一个概率空间,对于 是 一个取实值的单值函数,对任意的x∈R,有{ }∈F, 则称 为( )上的一个(实)随机变量。 3.1 随机变量及分布函数 【注】事件{ }简记为{ }。 假设 ,{ }∈ ∵{ }={ }-{ } ∴{ } ∈ 又∵{ }∈ ,(n=1,2,3, …) ∴ ∈ 又∵ =

  6. 二、分布函数及其性质 下面总是假设给定概率空间 ,所讨论的R.V.是同一概率空间上的R.V. 【定义】

  7. 【例1】掷一枚均匀的硬币 = 求R.V. 的d.f.F(x) 【解】不难求得:

  8. y=F(x) . ○ 1 ○ x 0 1

  9. 【定理】(分布函数性质定理) • F ( x ) 单调不减,即 • 0≤F(x)≤1,且 • F ( x ) 左连续,即 反之,具有上述三个性质的实函数,必是 某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分 布函数的充分必要条件。

  10. 推论:在分布函数的性质定理的条件下,对任意实数a<b,有:推论:在分布函数的性质定理的条件下,对任意实数a<b,有: P( )=F(b)-F(a) P( )=F(a+0)-F(a) P( )=1-F(a+0) 其中F(a+0)=

  11. 【例2】设R.V. 为: 求(1)P(2≤ <4) (2)P( ≤ 3) (3)P( =1) (4)P( ≥ )

  12. 【例3】设 ,求R.V. 的d.f 【解】

  13. 【例4】设母鸡在任意的 的时间间隔内下蛋个数 服从泊松分布 问两次下蛋之间的“等候时间” 服从什么样的分布函数? 【解】设前一次下蛋时刻为0,因为 不可能为负值,所以当t≤0时, 而当t>0时,因为在等候的时间内鸡不下蛋,所以 故有:

  14. 于是: ∵ 由概率的连续性即得: F(t)= = =

  15. 于是: 这是指数分布的分布函数。

  16. 【例5】测量时的舍入误差 是R.V,求其d.f.F(x) 【解】