《 高等数学 》 教学课件

1. 《高等数学》教学课件 山东信息职业技术学院基础部

2. 第六节 微分及其应用 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、微分公式与法则 四、微分在近似计算中的应用

3. 一、微分的定义 时为 的高阶无穷小 称为函数在 处的微分 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其 引例: 边长由 变到 问此薄片面积改变了多少? 设正方形面积为 A , 则 关于△x的线性主部 故 时,

4. 而 称为 在点 x 处的增量可表示为 定义: 若函数 则称函数 在点 处可微, 处的微分, 记作 即 定理:函数 在点 x处可微的充要条件是 即

5. 必要性 充分性 若 则 则 若 在点 x处可微， 故 即 在点 x处可微的充要条件是 定理:函数 即 则有 已知导数求微分 从而 已知微分求导数 导数也叫作微商

6. 例1求函数 当x由1改变到1.01时的微分. 解函数的微分为 例2求下列函数的微分： 解

7. 二、微分的几何意义 切线纵坐标的增量 P T 故 时, M N 实例 设 , 则 x =2时切线方程为

8. 三、 微分公式与法则 （一）基本初等函数的微分公式 (见 P61表) （二）设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C为常数) 例证：

9. 例3设 ，求 . 应用微分和导数的关系 解法一 方程两边同时求关于 x 的导数得 解得 所以

10. 例3设 ，求 . 应用微分法则 解法二 方程两边分别求微分得 即 所以

11. （三）复合函数的微分 分别可微 , 则复合函数 的微分为 微分形式不变性 ，求 例4设 例5求

12. ，求 例4设 解法一 解法二

13. 例5求 解法一 解法二

14. 四、 微分在近似计算中的应用 当 很小时, 得近似等式: 使用原则:

15. 很小) 特别当 很小时, 常用近似公式: 证明: 令 得

16. 例6求 的近似值． 解:设 取 则

17. 例7计算 的近似值． 解:

18. 例8有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每 度，要镀上一层铜 , 只球需用铜多少克 ． 解:已知球体体积为 时体积的增量 镀铜体积为 V在 因此每只球需用铜约为 ( g )

19. 内容小结 1． 微分概念 • 微分的定义及几何意义 可微 • 可导 2． 微分运算法则 微分形式不变性 ： ( u是自变量或中间变量 ) 3． 微分的应用 近似计算

20. 思考与练习 1. 设函数 的图形如下, 试在图中标出的点 及 处的 并说明其正负 .

21. 2.

22. 5. 设 由方程 确定, 求 得 解: 方程两边求微分, 时 当 由上式得 且 则 6. 设

23. 谢谢！ 作业 P66 4 (1)，(3 )，(5 )，(7 )，(9)