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让抽象变得自然 线性代数精彩案例

让抽象变得自然 线性代数精彩案例. 李尚志 北京航空航天大学. 润物细无声：应用案例 子空间概念的应用. 4 阶幻方构造法. 4 x +  同加 1. 随风潜入夜 : 概念的引入. 方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3 个 ? 2 个 ?. 某个方程是其余方程的线性组合  线性相关. 极大线性无关组，秩. 方程组线性相关  有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 ---- 打假

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Presentation Transcript

  1. 让抽象变得自然 线性代数精彩案例 李尚志 北京航空航天大学

  2. 润物细无声：应用案例子空间概念的应用

  3. 4 阶幻方构造法 4 x + 同加1

  4. 随风潜入夜:概念的引入 方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个? 某个方程是其余方程的线性组合  线性相关

  5. 极大线性无关组，秩 • 方程组线性相关  • 有多余的方程（是其余方程的线性组合） • 删去多余的方程 ---- 打假 • 将打假进行到底 • 极大线性无关组 • 剩下的方程的个数---- 秩rank

  6. 行列式的定义 二元一次方程组的几何意义 方程组 可写成向量形式 即

  7. (1.1) 1. 有唯一解的条件 不共线 即 2. 消元: 方程(1.1)两边与 作内积消去y, 得 其中

  8. 因此, 就是 于是 同理得 3. 二阶行列式 — 平行四边形面积 图2

  9. 是平行四边形 OAPB 的有向面积, 的函数, 是两个向量 称为二阶行列式, 记作 或 或 计算公式: 图2

  10. 4. 代数算法

  11. 三阶行列式与体积 1. 三元一次方程组的几何意义 可写成 其中

  12. 方程 两边同时与 作内积消去 y, z , 得到 当 时得 类似地可以得到 y, z 的表达式。

  13. 2. 三阶行列式 — 平行六面体体积 从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使 则 就是以OA,OB,OC为棱的平行六面 体的有向体积。称为三阶行列式，记作

  14. 利用基本性质计算 n 阶行列式 (3.1) 当i1,i2,…,in中有两个相等时， 这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和，成为：

  15. (3.2) 以下只须对每个排列 求 将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。 进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列 变成标准排列 (12…n), 相应地将 变成

  16. 于是得 (3.3) 可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则 sgn 代入(3.3) 得到 (3.4) 这可以作为n 阶行列式的定义。

  17. 线性代数 空间为体, 矩阵为用 • 研究对象----几何：线性空间(向量) • 研究工具----代数：矩阵运算 • 向量 (问题) 矩阵语言描述  矩阵运算解决  向量(解答) • 与微积分的关系: 非线性 --微积分 线性 --线性代数

  18. 微积分中的代数模型 • 物理: 以匀速代变速 • 几何: 以直代曲 • 代数: 以线性代非线性

  19. 线性化--微分与导数 • y = f(x)在a的微分： • Dy= f(x)-f(a) ≈线性函数 dy = kDx • 误差 q = Dy-dy 是 Dx = x-a 的高阶无穷小. • 导数 f ’(a) = 一次项系数 k . • 一次函数逼近 f(x)≈ f(a) +f’(a)(x-a) • 误差集合o(Dx) ：Dx 的高阶无穷小 • 非零作零貌似零: q+q = q, q-q = q, aq= q. • 同余式f(x) ≡f(a) +f’(a)(x-a) （mod o(Dx) ）

  20. 同余式: • 极限: f(x)  A, f(x) ≡ A（mod O(Dx) ） • 微分: f(x) ≡f(a) +f’(a)(x-a) (mod o(Dx)) • Taylor逼近: f(x) ≡ k0+k1(x-a)+…+kn(x-a)n (mod o(Dx)n)

  21. 多项式的导数 • . • 多项式 f(x) 的导数: x为常量，t 为变量, 则D f(x) = f(x+ t ) – f(x) 是 t 的多项式，其中的一次项系数为 f ’(x).

  22. 和差积商的导数公式 • f(x) ≡f(a) + f’(a) Dx • g(x) ≡g(a) +g’(a) Dx • 两式相加减 和差的导数 • 相乘乘积的导数 • f(x)g(x) ≡ f(a)g(a) +(f(a)g’(a)+g(a)f’(a)) Dx • 倒数的导数:

  23. 微积分基本定理 • 数学聊斋：飞檐走壁之电影 实现 • 导数： 位置 f(t) 速度 v(t) = f’(t) • 积分：速度 v(t)  路程 Df(t) • “倒过来放映”: 求 f(t) 使 f’(t) = v(t) • . • 例： .

  24. 隐函数存在定理 • F(x,y) 在某点P0可微 • 何时由F(x,y)=0 确定y=f(x)? • 线性化: aDx+bDy ≈ 0, • y=f(x) 在x0 可微, 导数为

  25. 隐映射定理 • 可微函数 • n 个方程 =0 , • 线性化 即 • 当 det B 时有唯一解

  26. 线性变换前后的图形

  27. 向量方向的变化

  28. 选取特征向量为基

  29. 计算案例: 若当标准形

  30. 网上资源 http://www.teach.ustc.edu.cn 精品课程国家级 数学实验(2003),线性代数(2004) http://jpk.buaa.edu.cn 2006申报精品课程 国家级 联系办法: lisz@buaa.edu.cn

  31. 已出版教材李尚志, 线性代数(数学专业用),高等教育出版社,2006.5

  32. 精品课程网页http://jpk.buaa.edu.cn

  33. 博 客 http://math.cncourse.com/ 随笔: 比梦更美好 比梦更美好之二 --- 名师培养了我 数学聊斋二则 数学诗选

  34. 矩阵与变换 星移斗转落银河, 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换, 能伸能屈是几何。

  35. 我的数学聊斋 • 之一 • 峨嵋山的佛光

  36. 数学聊斋 • 之二 • 指鹿为马之幼儿版

  37. 博比: 长颈鹿  马马 老虎  猫咪 狮子 狗狗 黑猩猩  爸爸 纠错码: 合法码两两之间差异大 (至少3位) 原码: 010011101011传输  错码: 010010101011纠错 最接近的合法码

  38. 数学聊斋 • 之三 • 人与照片之维数 • 之四 • 飞檐走壁之电影 实现

  39. 数学聊斋(之五) • 足球的方与圆--- 概率 • 沙场百胜古来稀 • 九密一疏已足奇 • 祸福偶然存概率 • 风云多变泄天机

  40. 数学聊斋 • 之六 • 没收非法所得是惩罚吗 • --- 数学期望 • 之七 • 邯郸农行案

  41. 谢谢 ！

  42. 代数与几何 代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书 图形百态方程绘 变换有规矩阵筹

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