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Advanced Methods for Convolution and Deconvolution: Analyzing Function Characteristics

This document discusses advanced techniques for the convolution and deconvolution of functions from known datasets, focusing on the analysis of instrumental broadening and noise in measurements. It delves into the challenges posed by non-coherent scattering, instrumental distortion, and the impact these have on spectral purity. The text reviews the classical and modified Stokes methods, Fourier transformation, and numerical approaches for smoothing and coefficient calculation. Problems related to data limitations and the implications of deconvolution methods on steep profile functions are thoroughly examined.

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Advanced Methods for Convolution and Deconvolution: Analyzing Function Characteristics

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Presentation Transcript

  1. Faltung Entfaltung Bestimmung der (unbekannten) Funktion f aus den (bekannten) Funktionen h und g. Bezeichnung h(x) … Messdaten f(y) … Physikalisches Profil g(x-y) … Instrumentelle Verbreiterung • Probleme • Messdaten „streuen“ (Rauschen) • Messbereich ist beschränkt • Wie „misst“ man die instrumentelle Verbreiterung

  2. Instrumentelle Verzerrung • Spektrale „Reinheit“ der Röntgenstrahlung • Verzerrung an der Beugungsoptik • Nichtkohärente (Compton, Fluoreszenz) und diffuse Streuung  Hintergrund Wie bekommt man die instrumentelle Verzerrung? • Berechnung (Näherung) • Messung (Näherung)

  3. Faltungdie Grundmerkmale • Fourier Transformation der Faltung • Faltung einer Funktion mit der Dirac Verteilung

  4. Entfaltungsmethodendie Übersicht • Klassische Stokes Methode mit Gaußschem Glätten der Messdaten • Zerlegen der Messdaten in eine Fourier Reihe • Messdaten werden als eine lineare Kombination der instrumentellen Linienverbreiterung behandelt

  5. Die Stokes Methode Klassisch Modifiziert

  6. Die modifizierte Stokes Methode % Back convolution FF=fft([fy zeros(1,length(gy)-1)]); GG = fft([gy zeros(1,length(fy)-1)]); ht = real(ifft(FF.*GG)); % Fourier transformations HH = fft(hyy); GG = fft(gyy); % Smoothing HH and GG sigma = length(HH)/20; x = 1:length(HH); gauss = exp(-(x.^2)/sigma^2); gauss = gauss + fliplr(gauss); HH = gauss.*HH; sigma = length(GG)/20; % ... the same for GG % Inverse Fourier transform ft = real(ifft(HH./GG)); ft = fftshift(ft);

  7. Die modifizierte Stokes Methodedie Ergebnisse

  8. Die Fourier Reihe Berechnung von Koeffizienten C und S mittels der kleinsten Quadrate

  9. Berechnung von Fourier Koeffizienten

  10. Berechnung von Fourier Koeffizienten Least-square refinement % Harmonic functions fc(jj,:) = cos(jj*omega*hx); fs(jj,:) = sin(jj*omega*hx); % Convolution (g*fc) FF = fft([fc(jj,:) ... zeros(1,length(gyy)-1)]); GG = fft([gyy ... zeros(1,length(fc(jj,:))-1)]); phic(:,jj)=(real(ifft(FF.*GG)))'; % Convolution (g*fs) FF = fft([fs(jj,:) ... zeros(1,length(gyy)-1)]); phis(:,jj)=(real(ifft(FF.*GG)))'; % Calculation of the matrix PHI phic(:,jj) = phic(:,jj)./sigma; phis(:,jj) = phis(:,jj)./sigma; % Solution of the normal equations phi=[ones(length(HH),1)./sigma... phic(:,1:jj) phis(:,1:jj)]; M = phi' * phi; A = (HH./sigma' * phi)'; x = M\B; % Back convolution fy = ... ones(1,length(hy))*P(1)/sum(gy); fy=fy +(P(2:(jj+1)))'*fc(1:jj,:); fy =fy + ... (P((jj+2):(2*jj+1)))'*fs(1:jj,:);

  11. Die Fourier Reihedie Ergebnisse

  12. Die lineare Kombination Diskrete Faltung

  13. Die lineare Kombination Voraussetzung: Die Intensitäten weit vom Maximum ist gleich null. Lösung: Die Methode der kleinsten Quadrate % Compose the kernel lh = length(h); for ii = 1:lh , GG(ii,:)=gt((g0-ii+1):(g0-ii+lh)); end % Solve system of linear equations fy = (GG\hy)'*sum(gy);

  14. Lineare Kombinationdie Ergebnisse

  15. Vergleich der Entfaltungsmethoden Kritische Fälle: Entfaltung ähnlicher Funktionen und Funktionen mit steilen Flanken

  16. Zusammenfassung • Ein limitierter Faktor ist immer der Grad der Glättung in experimentellen Daten • Lineare Kombination der instrumentellen Profile • Die beste Übereinstimmung zwischen experimentellen und „rekonvoluierten“ Daten / lange Computerzeit • Die Fourier Reihe • Die beste Glättung in den entfalteten Daten / die Methode eignet sich nicht für Profile mit steilen Flanken (sonst zu viele Fourier Koeffizienten notwendig) • Die modifizierte Stokes Methode • Die kürzeste Rechenzeit (sehr schnell mit FFT) / zusätzliche Glättung der Messdaten notwendig (data preprocessing)

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