对数学教学及其价值 的认识与思考

1. 对数学教学及其价值 的认识与思考 舟山南海实验学校 张宏政 e-mail :nhxx_zhz@126.com T:(0580)2091115, 13867218365

2. 对数学教学及其价值的认识与思考 一、为什么而教？ 二、教什么？ 三、怎么教？

3. 对数学教学的价值认识与思考 一.为什么而教—局外人的困惑 1. 90年代北京一位高官视察学校时发表的言论… 平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b) 价值何在？ • 数学本身发展需要—分式运算，解方程等； 2. 字母的可变性，结构的不变性——整体观念； 3. 逆向思维的培养；具体与抽象的结合。

4. 对数学教学的价值认识与思考 看得见，摸得着，有用 2. 自身的困惑？ 语文、英语——语言交流与书面表达； 自然科学——科学的眼光，科学的方法； 社会——了解历史、以史为镜； 数学——计算与证明，数据处理… 日常生活中用到了多少，价值何在？

5. 为什么而教——价值何在？ 爱因斯坦：“为什么数学比其他的一切科学受到尊重，一个理由是，它的命题是绝对可靠的和无可争辨的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于被新发现推翻的危险之中。数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”

6. 为什么而教——价值何在？ • （美）M.克莱因：“在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，使得人类的思维运用到最完善的程度．亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵．”

7. 为什么而教——价值何在？ • 米山国藏指出: 在学校学的数学知识,毕业后若没什么机会去用,一两年后,很快就忘掉了.然而,不管他们从事什么工作,唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等,却随时随地发生作用,使他们终生受益. • M·劳厄尔也指出：教育的真谛是“所有学会的东西都忘却了以后仍然留下来的那些东西”．

8. 为什么而教——价值何在？ （北大张龙燕）数学的精神、方法与应用 给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式； 给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望； 给你一个睿智的头脑，帮你理性思维； 给你一个研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望远镜和显微镜； 给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻找乐土，利用你的勤奋和智慧去做出发明和创造。

9. 二、教什么？ 基础 + 方法 = 能力 基础知识与基本技能+基本数学思想与基本数学经验 1.张奠宙教授的比喻…… 2.顾泠沅教授的比喻…… 中国数学界落实双基的有效经验： 记忆通向理解；速度赢得效率； 严谨形成理性；重复依靠变式；

10. 二、教什么？ 关于方法： 教学的三重境界：授人以业，授人以法，授人以道。 不拘泥于一招一式,应该讲“一般有用的方法” 著名数学家和数学教育家项武义先生说，教数学要教给学生“大巧”，要教学生“运用之妙，存乎一心”，以不变应万变，不讲或少讲只能对付一个或几个题目的“小巧”. 小巧固不足取，大巧也确实太难. 对于大多数学子，还要重视有章可循的招式，由小到大，以小御大，小题做大，小中见大.

11. 二、教什么？ 思维 能力 知识 方法 案例1：袁隆平为什么不喜欢数学？ 为什么这样做? 做什么 怎样做 案例2：怎样验证在有理数范围运算律仍然成立？ 案例3:有关相似及比与比例的数学活动(经典情境) 情感与态度结合,知识与方法融合,结果与过程并重！

12. 合理把握“过程性目标” 1.约定性的知识：例如数学名词来历，符号规定，表述习惯； 2.技能性的运算规则，要展示其形成过程，但必不长期记得该过程。如分式相除的“颠倒相乘” 3.一些结论重要但过程缺乏普遍性价值的知识，经历。如证明圆周角定理需分直角、锐角、钝角讨论，定理很重要，但这类证明缺乏普遍的教育价值。 4.重要数学思想方法的运用过程，如几何命题的演绎证明，代数方程求解过程，函数概念的发生过程，就必须反复、重点展示其发生、发展的过程。

13. 一个可以借鉴的例子! • “四边形内角和”的教学 A班讨论“一题多解”的背后，有什么共同的地方。 B班没有这个环节

14. D A E B C 25天后的测试 A班 正确率89% B班 正确率25% 结果分析： A班进行了数学本质——“化归思想”的显化提炼； B班仅停留在“一题多解”的操作层面和“化归”的渗透阶段。

15. D D D A A A E E E B C B C B C 更深层次的思考! 图1 图2 图3 前25%的学生摆脱了对三角形情境的依赖，对化归思想的灵魂——把未知问题转化成已知问题有了更深的认识（内隐学习）；但65%的学生对当初“化归为三角形的内角和” 有直接的依赖，停留在原来的水平上，没有表现出认知水平的提升（外显学习）. 后10%的情况表明思想方法的提炼需要知识基础. 结论:思想方法的提炼可以提高中等生的数学能力.关键在于教师要设计“从内隐到外显”的逻辑通道，提供机会。

16. 现状及其思考 目前国内数学教育教学的三种常见模式： （1）讲练方式:以教师讲解为主,反复举例说明,学生在教师指导下,进行习题和考题的操练； （2）探练方式:在教师指导下进行变式训练,以探索数学问题的解答为主要目标,教师点拨,学生练习,题目的探索度不高,小步求变,巩固提高； （3）自练方式:学生自学练习,教师适当辅导,以小步走的数学问题演练为主要活动内容,通过模仿和记忆行为,获得解决数学常规问题的基本能力. 共同特征：大量机械性练习,模仿性练习 优点：有助与掌握基本运算能力、逻辑演练能力，提高常规解题能力； 弊端：模仿练习不利于求异思维发现，教学缺乏创新精神。

17. 三、怎么教？ 数学教学的研究成果表明，数学学习是再创造的过程。数学是“做”出来的，学生通过做题，找到知识之间的内部联系，能整体看待数学，并提炼其中的数学思想方法，形成数学思维品质，并服务于社会现实需要。 解释应用 拓展提高 问题情境 建立模型 具体例子（感知）+抽象概括+拓展应用=教育形态 形式化的演绎(定理)+具体例子(应用)=学术形态 数学教学应遵循学生的认知规律，教学要把知识从“学术形态”转变成“教育形态”，从而把数学学习从“冰冷的美丽”转变为“火热的思考”。

18. 数学教学的若干原则 1.学习数学化原则——与其说学习数学，倒不如说学习数学化（荷.弗赖登塔尔） 案例：方程是这样来的！ 2.适度形式化原则——符号化,逻辑化和公理化 案例: 一次函数的概念如何生成? 3.问题驱动原则——设计一个好的初始问题 案例1：合并同类项的教学设计 案例2：锐角三角函数的教学片断比较

19. 列方程解应用题的教学设计 (鸡兔同笼问题):笼子里有鸡和兔，数头有35个，数脚有94只，问鸡和兔各几只？ 解法1：有兔 解法2：有兔 解法3：猜，①鸡21，兔14，不对；②鸡22，兔13，还不对；③鸡23，兔12，对了！ 猜鸡x，x是什么？x是鸡！兔（35-x） 那么怎么办？……鸡脚+兔脚=94 2x+4（35-x）=94 ——方程 x=12

20. 合并同类项的设计比较 设计1：活动方式——找朋友 基于学生基本活动经验的设计理念 设计二：问题驱动 基于揭示数学知识发生、发展的设计理念

21. 合并同类项的设计比较 初始问题： 当a=1/3,b=-2时，求代数式-4a2b+2a2b-7a2b的值。 提问：能否使解题过程简捷些？ 再问：当a=1/3,b=-3时，本题又等于多少？能否使上面的解法再简化些？ -4 +2 -7 =-9 ——学生已经发现了“合并同类型”法则

22. 合并同类项的设计比较 当a=-1/2时，求代数式3x3-5x+9x3-4x3+1的值。 并围绕下列问题讨论： 1.怎样得到简捷的解法,能使用先合并,再代入的方法吗？2.为什么能把3x3,9x3,-4x3合并;为什么不能把x与x3合并处理？ 3.什么样的项才能合并? 4.什么叫字母部分完全相同? 5.为什么要求字母部分完全相同?

23. 学生：能，Rt△BMC中, ∠BMC=60°, 则∠MBC=30°, 因此,BC= MC=23.04米,故塔高BD=BC+MN=24.74米 锐角三角函数的教学片断比较 教学片断1： B 问题：为测量某旅游景点一塔的高度，可以在于塔基同一水平面上架一测角仪，测得MN=1.7米,ND=13.3米,∠BMC=60°，能求出塔高吗？ A M C E N D 教师：很好。为验证这个结果，测量者向后退到E点位置，再搭好测角仪，这时测得ED=19米， ∠BAC=50°,你还能验证上述结果吗？ 学生沉默.一会儿…,教师:大家是否感到困难了,通过这堂课学习,我们就能解决这个问题了.

24. 锐角三角函数的设计比较 活动1:作一个30°的∠A,在角的两边上任取一点,作BC⊥AC,垂足为C,计算BC/AB,AC/AB,BC/AC的值,并将结果与你的同伴比较. 活动2:作一个50°的∠A,在角的两边上任取一点,作BC⊥AC,垂足为C,计算BC/AB,AC/AB,BC/AC的值(结果保留两位有效数字）,并将结果与你的同伴比较. B A C B A C 一段时间后,汇报开始。 （活动1）学生1：我们小组每个学生的结果都相同… （活动2）学生2：我们小组关于BC/AB的结果基本相同，分别是0.76,0.77,0.77,0.78. 教师:其他组呢? 学生(稀疏的声音):相同.教师:为什么会相同?

25. 锐角三角函数的设计比较 B1 教师出示图形,如图4,B,B1分别是∠α上的任意两点,作BC⊥AC, B1C⊥AC1,垂足分别为C,C1,判断BC/AB与B1C1/AB1,…是否相等,并说明理由. B A C C1 图4 学生：用相似三角形的性质证明…… 接着教师板书证明过程，引出三角函数概念和表示法，讲解注意事项。 最后通过例题归纳互余角的三角函数关系。 讨论：这样的问题设置能否引发学生思维？这样的活动（小组合作）开展是否有效果？

26. 学生: Rt△ABC中, ∠BAC=30°, AB=3, 因此,BC= 1/2AB=1.5米,AC= BC≈2.6米. 教师:理由. 学生:在30°的直角三角形中,三边关系有1: :2. 教师板书:BC/AB=1/2,AC/AB= /2,BC/AC= /3. 教师:可见当∠BAC=30°时,直角三角形三边关系是确定的.大家再看屏幕,你们又有什么发现? 锐角三角函数的设计比较 教学片断2：如图5，一根3米长的竹杆AB斜靠在墙上。现测得竹竿AB与地面所成的角∠BAC=30°，大家能求出竹竿的端点A,B到墙角C的高度(BC)和水平距离(AC)吗? B B A C A 图5 学生1:竹竿越来越陡;学生2:∠BAC越来越大;学生3:竹竿长度不变,AC变得越来越短,BC越来越长,因此,BC/AB变大,AC/AB变小,BC/AC变大.

27. 锐角三角函数的设计比较 教学片断2：如图5，一根3米长的竹杆AB斜靠在墙上。现测得竹竿AB与地面所成的角∠BAC=30°，大家能求出竹竿的端点A,B到墙角C的高度(BC)和水平距离(AC)吗? B B A C 板书:∠BAC越来越大，BC/AB变大, AC/AB变小,BC/AC变大. 教师：也就是说，随着∠BAC的变化， BC/AB，AC/AB,BC/AC都在变化.但是当∠BAC确定,比如它等于70°时,直角三角形各边的比值会不会变呢? 要求学生把理由写在讲义上. A 图5

28. 锐角三角函数的设计比较 教学片断2：如图5，一根3米长的竹杆AB斜靠在墙上。现测得竹竿AB与地面所成的角∠BAC=30°，大家能求出竹竿的端点A,B到墙角C的高度(BC)和水平距离(AC)吗? B B 课件显示大小不一,形状各异的包含70°的直角三角形(如图6)(学生讲义上也印有) A C A 图5 70° 70° 70° 70° 70° 很快有学生举手。在爆出一声：相似三角形哇！教室里有了轻松的欢笑声。……

29. 锐角三角函数设计的比较分析 两节课都是从含30°的直角三角形开始，但片断1的背景材料稍显复杂，问题又是着眼于三角函数的应用，因此，后续问题就远离了学生原有的认知基础。而从问题设置的初衷看，教师是想造成学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣，但反过来，由于学生对研究的内容一无所知，因此，后面的操作就完全流于形式，只是机械的完成任务，学习是被动的，因此,这样的探究因为缺少学生的内在需求一定意义上说是无效的。片断2同样从特殊直角三角形引入，但它从学生回答中敏锐地揭示出了研究目标，再通过移动竹竿使学生体验了目标(比值)与角度之间的函数变化关系，特殊到一般的思想昭然若揭,有助于学生深刻的认识三角函数的本质,再通过相似三角形性质帮助学生明确了角度(自变量)确定,函数值确定的道理.这样的设计遵循了学生原有的认知基础与生活经验出发,问题驱动连贯一致,因此,更合理,也更有效.

30. 数学教学的若干原则 4.渗透数学思想方法原则 案例1. 深刻理解教材编写者的意图 案例2. 二次函数y=ax2的图像教学设计及评析

31. 二次函数 的图象 教学目标： （1）掌握 图象的画法和性质，理解对图象的影响； （2）通过画图象，培养并提高学生的操作能力，渗透基本的数学方法；指导学生观察图象分析特征发展数学直觉能力及归纳抽象能力； （3）通过对图象研究，让学生体会数学的对称美；通过指导学生画图，培养学生认真、严谨的学习态度。

32. 二次函数 的图象 教学过程： 1．绘制 的图象 （1）分析x与y的取值范围，为取点做好铺垫； （2）根据解析式的特征，启发学生对称地取点。 （3）指导学生描点连线，纠正学生用线段连接相邻点的做法。并通过计算机演示和理性分析，使学生初步认识到二次函数 的图象是平滑的曲线，而不是折线。 2．探究 a 对图象 的影响 （1）观察的图象，归纳a＞0时图象的形状；

33. 二次函数 的图象 （2）启发学生根据对称的思想，分别由上述图象得到 的图象，进一步归纳 时图象的形状。（3）综合上述两种情况，归纳 探究a对图象的影响；3．小结（1）二次函数 图象是关于y轴对称的抛物线，顶点坐标是（0，0）；（2）a对图象的影响：开口方向,开口大小,越大,开口越小.

34. 二次函数 的图象设计 [设计意图]对于画图象的“列表”这一步骤，通常的做法是……这样做很省事，但却错失了发展学生逻辑思维能力的契机。对于学生来说,第一次画一个新函数的图象是一个试探、摸索的过程,这个过程不应该是盲目的,而应该有一定的理性分析.这个分析必须从解析式入手,要剖析解析式 的特征.本节课关于对称取点的设计,就是基于这样的思考.函数的性质、图象既然是由解析式决定的，那么在图象教学中就应该抓住解析式这个“灵魂”。因此这里改“包办代替”为“适当点拨”，使学生体会如何根据解析式的特征有规律地取点。

35. 二次函数 的图象 [评析] 画图象不仅仅是一个操作层面的问题，在画图象的过程中充满了分析和思考。教师充分利用画图象这个平台，既重视对学生操作能力的培养，更着力培养学生的思维能力，这正是每个教师应该追求的目标。数学教师应该有一种对素材的教育价值的敏感，“画图象”这个素材，可深入研究的东西很多，对于素材教育价值敏感程度好的教师，常常就能抓住那些最基本、最简单、最“不起眼”的东西，深入研究其潜在的教育功能的。 （教育价值是教学设计的灵魂——裴光亚）

36. 数学教育的若干原则 拓展提高 问题情境 建立模型 解释应用 问题驱动 适当形式化 学习数学化 变式强化 适时渗透数学思想方法 案例1：分式（第1课时）教学设计 案例2：同底数幂的除法教学简录

37. 再谈谈教师的语言智慧 启发的三大原则（美.波利亚） 1.简单谨慎原则:问句要简明,帮助要谨慎,只指示一个大致的方向; 2.普遍有用原则:问句与提示的一般有用性； 3.强化原则:相似情境下总是一再启问相同的问句. 案例:一则教学片断及其分析

38. 让数学学习变得有趣些！ 奥苏贝尔：“如果我不得不将所有的教育心理学原理还原成一句话，我将会说，影响学生最重要因素是学生知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。” 学会——兴趣——学会——兴趣… 在数学中玩游戏；让数学背景成为故事；让数学成为过程；让数学更加直观；让数学展现魅力 一般而言，激发兴趣，靠应用价值，靠历史的起源，靠游戏；发展兴趣，靠智性，靠不断产生的适合学生最近发展区的问题；保持兴趣，靠成功与失败的交错作用，靠问题的挑战，靠你对数学的体验，靠数学本身的魅力。

39. 应试环境中的自由意志 ——张奠宙，赵小平.编后漫笔.数学教学，08（12） ……当前，我们处在“应试教育”的环境下，考试制度改革步履维艰。于是教育功利盛行，升学率关联到你的收入，直接影响家庭日常生活。这样的环境我们无法选择。因此，我们只能思考另一面，如何在自己的一亩三分田作出一些改变。你可以是应试教育的狂热追随者，也可以是它的被动执行者，当然也可以成为不出声的批评者。让我们尽最大的努力，把应试教育的负面影响降到最低。人生能够获得的，也许就是这样的自由。

40. 谢谢各位同仁,欢迎批评指正!