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随机信号分析

随机信号分析. 课程内容及安排. 课程地位: 学习通信原理、移动通信等专业课的先修课程 . 主要内容 随机过程 (10~11 次课 ) 平稳随机过程谱分析 (3~4 次课 ) 随机过程通过线性系统 (3~4 次课 ) 随机过程通过非线性系统 (2~3 次课 ) 学习方法:信号与系统 + 随机过程 考核形式 作业 20% 考试 80%. 预备知识. 概 率 论. 主 要 内 容. 经典概率问题. 概率空间、全概率公式和贝叶斯公式. 一维随机变量. 概率分布函数、概率密度函数和一维随机变量函数分布.

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  1. 随机信号分析

  2. 课程内容及安排 • 课程地位: 学习通信原理、移动通信等专业课的先修课程. • 主要内容 • 随机过程(10~11次课) • 平稳随机过程谱分析(3~4次课) • 随机过程通过线性系统(3~4次课) • 随机过程通过非线性系统(2~3次课) • 学习方法:信号与系统+随机过程 • 考核形式 • 作业 20% • 考试 80%

  3. 预备知识 概 率 论

  4. 主 要 内 容 经典概率问题 概率空间、全概率公式和贝叶斯公式 一维随机变量 概率分布函数、概率密度函数和一维随机变量函数分布 概率分布函数、概率密度函数和二维随机变量函数分布 二维随机变量 随机变量数字特征 数学期望、方差和各阶矩 极限定理 切比雪夫不等式、弱大数定律、中心极限定理等 特征函数 随机过程

  5. 主要内容: • 随机变量的数字特征 • 随机变量函数的分布 • 随机变量的特征函数

  6. 第一节 随机变量数字特征

  7. 离散随机变量 连续随机变量 数 学 期 望 离散随机变量 连续随机变量 随机变量Y=g(X)

  8. 数 学 期 望(续1) 注: Y=aX1+bX2 Y=X1X2 X1和X2相互独立时

  9. 数 学 期 望(续2) 例1 随机变量X服从下表分布,求E[X]和E[X2] E[X]=0.8 Y=X2的概率分布为 E[Y]=7.2

  10. 中心矩 原点矩 k=2 方差 各阶矩(中心矩、原点矩)

  11. 第二节 随机变量函数分布

  12. 一维随机变量函数分布 情况1: 随机变量Y是随机变量X的单调函数,并存在反函数X=h(Y),则 情况2: 随机变量Y是随机变量X的多值函数,假设一个Y值对应两个X值, 且X1=h1(Y)和X2=h2(Y),则

  13. = 一维随机变量函数分布(例) 例2 设随机变量X服从正态分布N(0,1),求随机变量 Y=X2的概率密度。 解: Y=X2

  14. 分布 一维随机变量函数分布(例续)

  15. 二维随机变量函数分布 已知二维随机变量( X1 ,X2)的概率分布, g(x1,x2) 为已知的二元函数,Z = g(X1 ,X2) 求:Z 的概率分布? 当( X1 ,X2 )为连续型随机变量时, 其中

  16. 二维随机变量函数分布(续) 新问题: 已知随机变量X1和X2的联合概率密度为 求随机变量Y1=g1(X1,X2)和Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度? 单值变换函数 X1=h1(Y1,Y2)和X2=h2(Y1,Y2)

  17. 二维随机变量函数分布(例) 例3已知 ( X1 ,X2 )的联合密度函数为 Y = X1 + X2 ,求 f Y (y) 令 解:

  18. y y = 2z z y = z y = z + 1 2 1 1

  19. y 2 y = 2z y= z + 1 z

  20. 二维随机变量函数分布(例) 例4已知 X1和X2是两个独立的正态分布随机变量 求随机变量Z和Φ的联合概率密度。 其中 解:

  21. 二维随机变量函数分布(例) 瑞利分布 均匀分布 平面直角坐标上的两个彼此独立分布的正态随机变量, 经极坐标变换后,其模服从瑞利分布,相位服从均匀分布 且模和相位两个随机变量是相互独立的

  22. 二维随机变量函数分布(例) 例5已知 X1和X2是两个独立的正态分布随机变量 求随机变量Y1和Y2的联合概率密度。 其中

  23. 二维随机变量函数分布(例续)

  24. 二维随机变量函数分布(例续)

  25. 二维随机变量函数分布(例续) 推广至n维高斯随机向量

  26. 第三节 随机变量特征函数

  27. 特征函数的定义 定义: ejuX的数学期望定义为随机变量X的特征函数CX(u) X为离散随机变量时,其特征函数为 X为连续随机变量时,其特征函数为

  28. 特征函数的定义(例) 例6设随机变量X服从正态分布N(0,1),求它的特征函数。

  29. 特征函数性质 (1)随机变量X的特征函数CX(u)满足 (2) 随机变量X的特征函数为CX(u), 则Y=aX+b的特征函数为 (3) 独立随机变量X1和X2的特征函数分别为CX1(u) 和CX2(u), 则Z=X1+X2的特征函数为 给出一种求独立随机变量和的分布新方法。

  30. 特征函数与概率密度之间的关系 一维随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度

  31. 特征函数与概率密度之间的关系(例) 例7设随机变量X在 之间均匀分布 求Y=sin X的概率密度函数

  32. 特征函数与概率密度之间的关系(例)

  33. 特征函数与各阶矩之间的关系

  34. 特征函数与各阶矩之间的关系(续)

  35. 特征函数作用 可以简化各阶矩的运算 单 值 函 数 可以简化一维随机变量函数的运算 可以简化独立随机变量和的分布的计算

  36. 第 1 章 随机过程

  37. 本章主要内容: • 随机过程的基本概念 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的微分和积分计算 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 随机过程的相关函数及其性质 • 复随机过程 • 正态过程 • 马尔可夫链 • 泊松过程

  38. 1.1 随机过程的基本概念及统计特性 基本要求: 深入理解随机过程的定义 了解随机过程的几种分类 理解随机过程的概率分布 掌握随机过程的数字特征计算方法 了解随机过程的特征函数

  39. 一、 定义 对接收机的噪声电压作观察

  40. 1 样本函数: , , ,…, ,都是时间的函数,称为样本函数。 2 随机性:一次试验,随机过程必取一个样本函数,但所取的样本函数带有随机性。因此,随机过程不仅是时间t 的函数,还是可能结果的函数,记为 ,简写成 。

  41. 定义1:设随机试验E的样本空间 ,若对于每个元素 ,总有一个确知的时间函数 与它对应, 。 对于所有的 ,就可以得到一簇时间t的函数,称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。 定义2:若对于每个特定的时间 , 都是随机变量,则称 为随机过程, 称为随机过程 在 时刻的状态。 3. 随机过程的定义:

  42. 4.定义的理解 : 上面两种随机过程的定义,从两个角度描述了随机过程。 作观测时,常用定义1,通过观测的试验样本可得到随机过程的统计特性; 理论分析时,常用定义2,可把随机过程看成为n 维随机变量,n越大,采样时间越小,所得到的统计特性越准确。

  43. 1 和 都是变量 2 是变量而 固定 3固定而 是变量 4 和 都固定 理解: 一个时间函数族 一个确知的时间函数 一个随机变量 一个确定值

  44. 随机变量 与时间无关 随机过程 与时间相关的一族随机变量

  45. 例1设具有随机初始相位的正弦波 在 其中A与w0是正常数, 之间服从均匀分布。 判断X(t)是否为一随机过程。 是一族随机变量 是随时间变化的函数,即样本函数。 解: (1) 固定时间t,X(t)是随机变量, (2) 对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ, X(t)是一随机过程。

  46. (2) 离散型随机过程:时间t取值连续,且对随机过程任一时刻 的取值 都是离散型随机变量。 二、 随机过程分类 1. 按随机过程的时间和状态来分类 (1) 连续型随机过程:时间t取值连续,且对随机过程任一时刻 的取值 都是连续型随机变量。

  47. (4) 离散随机序列:随机过程的时间t只能取某些时刻,如 , 2 ,…..,n ,且这时得到的随机变量 是离散型随机变量,即时间和状态是离散的。相当于采样后再量化 。 (3) 连续随机序列:随机过程的时间t只能取某些时刻,如 , 2 ,…..,n ,且这时得到的随机变量 是连续型随机变量,即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。

  48. 2. 按样本函数的形式来分类 • 不确定的随机过程:随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。 • 确定的随机过程:随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如,样本函数为正弦信号。

  49. 例2设随机过程定义为: 其中A与-A等概出现,T为一正常数, (1) 画出典型的样本函数图形。 (2) 将此过程归类。 (3) 该过程是确定性过程吗? 离散型随机过程 不是确定性随机过程

  50. 例3离散型随机过程的样本函数皆为常数, 即X(t)=C=可变常数,其中C为随机变量,其可能值 为C1=1,C2=2和C3=3,它们分别已概率0.6、0.3及0.1 出现。X(t)是确定性过程吗? X(t)是确定性随机过程

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