说明 : 1. 由于 R 2 , R 3 中的点与向量一一对应 . 因此

3. 说明: 1.由于R2, R3中的点与向量一一对应. 因此 以后在表述时不再区分这两个概念. 在无特别声明时,总用X, Y等表R2, R3中的点(向量). 用x, y, z, a, b, c 等表实数. 2.由于有多种乘积使用记号" ·", 因此, 阅读教材时, 应注意区别 " ·a", "A ·P", "X B" 的含意. 对" +" 也类似.

4. §1－1 多元函数的概念 一、多元函数的概念 　　以前我们接触到的函数 y = f (x)有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数 y是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如 y = sinx, y = x2 + 3cosx等.

5. 所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化. 圆柱体体积 V =  r 2 h 　　体积 V 随 r, h的变化而变化. 或者说,任给 一对数(r, h),就有唯一的一个V与之对应.

6. 长方体体积V = xyz 或者说, 任给 V 随 x, y, z 的变化而变化. 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应. 这些都是多元函数的例子. 有一个自变量的称为一元函数, 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, …,有 n 个自变量的称为 n元函数. 二元以上的函数统称为多元函数. 与一元函数类似, 我们有

7. 二元函数定义 设D是xy平面上的一个点集,即 D R2, 若对任意的点 X = (x, y)D  R2, 按照某个对应规则f ,总有唯一确定的实数z与之对应, 则称 f是定义在D上的二元实值函数,记作 f : D R,X = (x, y)  z .

8. 　　称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值. 　　称 D为函数f的定义域.D在f 下的像集 f (D)={ f (X )| XD }称为 f的值域. 习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y为自变量, z 为因变量. 比如 z = sinx +cosy, z = 3x2 + ey .

9. 　　注1一般说来, 自变量x , y都是独立变化的.它们只受到(x, y)D 的限制. 另外, 若给出了 f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似. 如 f (X) = f (x, y) = 3x+y2, X0 = (1, 1) 则 f (X0) = f (1, 1) = 3 ·1+12= 4 f (x+y, siny) = 3(x+y) + sin2y

10. g f 事实上, x D上的点f (x, g(x)) = (x, y)z . 注2特别,若定义域 D是xy面上一条曲线. D: y = g(x). 则二元函数 z=f (x, y) =f (x, g(x))成为一元函数.

11. 注3任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数. 事实上,z = f (x) = f (x) + 0 ·y 只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为R2 中点集即可.

12. 　　注2,注3说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形. 二元函数是定义在 xy 平面某点集上的函数,而一元函数是定义在 xy面上一条直线(x 轴)上的二元函数. 类似的,有n元函数定义.

13. 定 义 　　设D Rn, 若对任意的 X = (x1, x2, …, xn) D Rn, 按某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n元实值函数. 记作 f : D R , X = (x1, x2, …, xn) z . 并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, …, xn).

14. 例1　求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形. 解：与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义 　　的平面上的点的集合. x + y > 0. 故 定义域 D = {(x, y)| x + y > 0} 为画 D 的图形, 由x + y > 0, 得 y > –x = (y1). 画直线 y1 = – x. 由于 D中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y1 = – x上点的纵坐标 y1, 故D表示直线 y1 = – x上方点的集合. (不包括边界y1 = –x上的点)

15. y 如图 D x + y = 0 y > –x (不包括直线x + y = 0) o x

16. 例2 解: 故 故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括边界).

17. y (包括圆周) o x D x2 + y2 = 1

18. y y2 =x o x 1 例3 解: D = { (x, y) | y2 < x < 1} 由 x > y2 ( = x1)知, D在曲线 x1= y2的右侧. 由 x < 1 ( = x1)知, D在直线 x1= 1 的左侧. 如图

19. 二、平面区域 1. 邻域: 　　以点 X0 = (x0, y0)为中心, 以  为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域. 即 记 Û (X0,  ) = U (X0,  )  { X0}, 称为X0 的去心  邻域. 如图

20.   X0 X0 U (X0,  ) Û (X0,  ) 当不关心邻域半径时, 简记为U (X0)和Û (X0).

21. 2.内点: 　　设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)E, 若存在邻域 U(X0 ,  )  E , 则称 X0 为 E的内点. E 的全体内点所成集合称为 E 的内部, 记为E0. 记EC= R2  E 称为E 的余集. 若X0是 EC的内点, 则称X0为E的外点. 如图 D = {(x, y)| x2 + y21 }

22. y 1 x2 + y2 = 1 o 1 x D 　　易知,圆内部的每一点都是D的内点. 圆外的每一点都是D 的外点. 但圆周上的点不是D 的内点,也不是D的外点.

23. 如图 y x + y = 0 D 0 x 又如 z = ln (x+y)的定义域 D = {(x, y)| x+y > 0} 易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D, 但直线上的点不是D的内点.

24. 3. 边界点: 设 E 是一平面点集, X0 = (x0, y0)是平面上一个点. 若 X0的任何邻域 U(X0 ,  )内既有属于 E 的点, 又有不属于E的点, 则称 X0 为 E的边界点. E的全体边界点所成集合称为 E的边界. 记作 E. 　　如, 例1中定义域 D的边界是直线 x +y = 0 上点的全体. 例2中定义域 D的边界是单位圆周 x2 + y2 = 1上的点的全体. 如图

25. y y 1 D o x 1 o x x2 + y2 = 1 x + y = 0 D E 的边界点可以是 E 中的点,也可以不是E中的点.

26. 可以证明: E中的点 X0E只可能有两种情形. (1)X0为E的内点. (2)X0为E的边界点. 两者必居其一. R2中的点X只可能有三种情形. (2)X为E的边界点. (1)X为E的内点. (3)X为E的外点.

27. 4. 开集 设 E 是一平面点集, 若 E中每一点都是 E 的内点. 规定, , R2为开集. 即 E E0, 则称 E是一个开集. 由于总有 E0 E, 因此, E E0  E= E0 若E= E0 , 则称 E 是一个开集. 故也可说, 比如, 例1中 D 是开集, (D= D0 ), 而例2中 D 不是开集.

28. y E o x 又比如, E 如图 若 E 不包含边界, 则 E 为开集. 若 E 包含边界, 则 E 不是开集.

29. 　　结论:非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点. 即 E 不含有 E 的边界点. 证: 必要性.设 E为开集, X E, 由开集定义知 X 为 E 的内点. 故 X 不是 E的边界点.

30. 充分性：若 E 中每一点都不是 E 的边界点. 要证 E 为开集. X E, 由于 X 不是 E 的边界点. 而 E 中的点或者为 E 的边界点,或者为E的内点, 两者必居其一, 故 X 为E的内点, 因此E为开集.

31. X Y E 不连通 5. 连通集 　　设E是一非空平面点集, 若X ,YE. 都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集. 如图 X Y E 连通

32. y y 1 o x 1 o x x2 + y2 = 1 x + y = 0 　　从几何上看, 所谓 E 是连通集, 是指 E 是连成一片的. E 中的点都可用折线连接. 如图 例1, 2中的 D 都是连通集.

33. E 6.开区域(开域) 设 E 是一平面点集. 若 E 是连通的非空开集, 则称 E 是开区域. 　　比如, 例1中D是开区域. 如图. 从几何上看, 开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.

34. E 7.闭区域(闭域) 若 E 是开域, 记 称为闭区域. 　　易见,例2中的D是闭区域. 从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集. 如图. (本书把)开区域和闭区域都叫作区域.

35. 8.设 E  R2,若存在r > 0,使 E  U(O, r),则称E为有界集. 否则称E为无界集. 　　易见, 例1中 D 是无界集, 它是无界开区域, 而例2中 D 是有界集, 它是有界闭区域.

36. 9.聚点 　　设 E 是平面点集, X0 是平面上一个点. 若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E . 则称 X0 是E的一个聚点. 从几何上看, 所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即, 在 X0 的任意近傍都有无限多个 E 中的点.

37.  X0 如图

38. 1.聚点定义也可叙述为: 若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于X0 的点. 则称 X0 为 E 的 一个聚点. (自证). 2.E 的聚点 X0可能属于 E , 也可能不属于E . 3.E 的内点一定是 E 的聚点.

39. 一般, 集合 E 的边界点不一定是 E 的聚点. 但若 E 是开集, 则 E 的边界点一定是 E 的聚点, 自证. 4.若 E 是开区域. 则 E 中每一点都是 E 的聚点. 即,区域中的任一点都是该区域 的聚点.

40. X0 10.孤立点 若点X0E,且存在>0,使得邻域U(X0, )内除X0外, 所有点均不属于E, 即Û (X0, )∩E = , 则称 X0为 E的孤立点. 如图. 显然, E的孤立点X0总是E的边界点, 但不是聚点.

41. 　　邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.

42. 三、二元函数的几何意义 设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D . 按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y, z).

43. 当X 在D中变动时, 点M (x, y, z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中"织"出一片曲面. 　　即, 二元函数表示空间中一片曲面, D是该曲面在 xy 面上的投影区域.

44. z o y x X D M (x, y, z)

45. 如 z = ax +by + c , 表平面. 注意, 三元函数 u = f (x, y, z)的定义域是 R3 的一个子集. 三元函数无几何意义.

46. §1－2 多元函数的极限与连续 一、二元函数的极限

47. y y = f (x) A f (x) f (x) 0 x x0 x x x  x0 回忆一元函数的极限. 设 y = f (x), 表示 当 x不论是从 x0的左边 还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 如图 就是 >0, >0. 当0<|x – x0|<  时, 有|f (x) – A|< .

48. z A M y o x X0 设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D. 如图 　　如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A z = f (x, y) f (X) 为当X趋近于X0时f (X)的极限. X X D

49. 　　类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X)– A | <  刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离

50. 定 义１ 　　设二元函数 z = f (X) = f(x, y). 定义域为D. X0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数. 若  > 0,  > 0, 当 对应的函数值满足 | f (X)– A | <  则称 A为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限. 记作 或 也可记作 f (X)  A(X  X0), 或, f(x, y)  A (x  x0, y  y0 )