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第十五章

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第十五章. 选考内容. 第 78 讲. 圆中的有关定理及其应用. 2. 如图,设△ ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E ,∠ BAC 的平分线与 BC 交于点 D . 已知 BC =5 , EC =4 ,求 ED 的长.. 解析: 由切割线定理得 AE 2 = EC × EB =4 × (4+5)=36 , 所以 AE =6. 因为 AE 为切线,所以∠ EAC =∠ B . 又∠ EAD =∠ EAC +∠ CAD ,∠ EDA =∠ B +∠ BAD .

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Presentation Transcript
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第十五章

选考内容

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第78讲

圆中的有关定理及其应用

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2.如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5,EC=4,求ED的长.2.如图,设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E,∠BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5,EC=4,求ED的长.

slide5

解析:由切割线定理得AE2= EC×EB=4× (4+5)=36,

所以AE=6.

因为AE为切线,所以∠EAC=∠B.

又∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠EDA=∠B+∠BAD.

且∠CAD=∠BAD,所以∠EAD=∠EDA,所以DE=AE=6.

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3.(2011·江苏省扬州中学模拟)如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.求证:3.(2011·江苏省扬州中学模拟)如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.求证:

(1)l是⊙O的切线;

(2)PB平分∠ABD.

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解析:

(1)连接OP,因为AC⊥l,BD⊥l,所以AC∥BD.

又OA=OB,PC=PD,所以OP∥BD,从而OP⊥l.

因为P在⊙O上,所以l是⊙O的切线.

(2)连接AP,因为l是⊙O的切线,所以∠BPD=∠BAP.

又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°,

所以∠PBA=∠PBD,即PB平分∠ABD.

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4.已知圆O的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD).若CD=6,求AD的长.4.已知圆O的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD).若CD=6,求AD的长.

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5.如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点.求证:∠DPB=∠DCP.5.如图,PA切⊙O于点A,D为PA的中点,过点D引⊙O的割线交⊙O于B、C两点.求证:∠DPB=∠DCP.

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【解析】 (1)连结OC.

因为AC∥OP,

所以∠ACO=∠COP,

∠CAO=∠POB.

由OA=OC,得

∠OAC=∠OCA,所以

∠COP=∠POB.

在△COP和△BOP中, ,

slide14
所以△COP≌△BOP, 所以∠PBO=∠PCO=90°,

所以PC是⊙的切线.

(2)由△COP≌△BOP,得 ∠DPO=∠OPB,所以 .

因为DA=OA=OB,所以

又因为AD等于⊙O的半径,AC∥OP,

所以 , 所以 .

slide15

点评

本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明,考查平面几何的推理论证能力. 要证直线PC是⊙O的切线,只要证OC⊥PC即可;要求比例线段,可通过中间比来过渡,结合图形,利用条件即可获证.

slide17
【解析】连结OC,

则∠OAC=∠OCA.

又因为CA是∠BAF

的角平分线,

所以∠OAC=∠FAC,

所以∠FAC=∠OCA,

所以OC∥AD.

因为CD⊥AD,所以CD⊥OC,即CD是⊙O的切线.

slide18
(2)连结BC.

在Rt△ACB中,CM2=AM · MB.

因为CD是⊙O的切线,

所以CD2=DF · DA.

又Rt△AMC≌Rt△ADC,所以

CM=CD,

所以AM · MB=DF · DA.

slide20
【解析】连结AE,AF.

因为AB是圆O的直径,

所以∠AEB=∠AFB=90°.

又∠CDB=90°,

∠ABC=∠DBF,

所以△DBC∽△FBA,

所以 ,

即AB · BD=BC · BF.

slide21
因为∠AEB=90°,CD⊥AB,

所以BE2=BD · AB(直角三角形射影定理).

因为CT是切线,CB是割线,

所以CT2=CF · CB.

所以BC2 - CT2=BC2 – CF · CB

=BC · (BC - CF)

=BC · BF,

所以 BE2=BC2 - CT2,即BE2+CT2=BC2.

slide22

点评

有切线有割线,考虑利用切割线定理;有直径,莫忘直角;有平方形式,考虑直角三角形射影定理.

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【解析】连结OF.因为DF切⊙O于F,

所以∠OFD=90°.

所以∠OFC+∠CFD=90°.

因为OC=OF,

所以∠OCF=∠OFC.

slide25
【解析】因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.【解析】因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°.

所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE.

因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.

所以DE2=DB·DA.

slide26

四点共圆及其应用

【例3】如图,已知△ABC

的两条角平分线AD和CE相

交于H,∠B=60°,

F在AC上,且AE=AF.

证明:(1)B,D,H,E四点共圆;

(2)CE平分∠DEF.

slide27
【解析】(1)在△ABC中,因为∠B=60°,

所以∠BAC+∠BCA=120°.

因为AD、CE是角平分线,

所以∠HAC+∠HCA=60°,所以

∠AHC=120°,

所以∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EBD+∠EHD=180°,

所以B,D,H,E四点共圆.

slide28
(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线.

由(1)知,B,D,H,E四点共圆,∠CED=∠HBD=30°.

又∠EBD=∠AHE=60°,

由已知可得EF⊥AD, ∠CEF=30°,

所以CE平分∠DEF.

slide29

点评

本题是对考生几何推理论证能力的综合考查,所用到的知识较多,证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件,通过等量代换将角集中到一个四边形中,达到使用条件的目的.

slide34

2.(2011·南通三模卷)如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC.2.(2011·南通三模卷)如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为⊙O上一点,AE=AC,求证:∠PDE=∠POC.

slide35

解析:因为AE=AC,AB为直径,

故∠OAC=∠OAE.

所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC.

又∠EAC=∠PDE,所以∠PDE=∠POC.

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【解析】根据相交弦定理,得PD · PC=PA · PB,所以PD · 6=4×3, 所以PD=2(cm).

因为EA是⊙O的切线,所以EA2=ED · EC,

所以 20=ED · (ED+8),所以ED=2(cm),

则PE=4(cm).

slide39
4.已知⊙O1和⊙O2都经过A、B两点,经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D . 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F. 求证:CE∥DF.
slide40
【解析】如图,连结AB.

因为四边形ABEC

是⊙O1的内接四边形,

所以∠BAD=∠E.

因为四边形ADFB

是⊙O2的内接四边形,

所以∠BAD+∠F=180°.

所以∠E+∠F=180°, 所以CE∥DF.

slide44
3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法:

(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论;

(2)找相似三角形,当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时,通常是由“三点定形法”证三角形相似,其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形.

slide45
4.与圆有关的常用辅助线

(1)有弦,可作弦心距;

(2)有直径,可作直径所对的圆周角;

(3)有切点,可作过切点的半径;

(4)两圆相交,可作公共弦;

(5)两圆相切,可作公切线;

(6)两半圆,可作整圆.