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Cours 3-b Méthode des éléments finis 1D. Notion de maillages : connectivité Notion d’élément de référence Technique d’assemblage Résolution et post-traitement Algorithme général. 3 éléments finis à deux noeuds. 4 noeuds. Un maillage éléments finis est décrit à l’aide de deux tables :

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cours 3 b m thode des l ments finis 1d
Cours 3-bMéthode des éléments finis 1D
  • Notion de maillages : connectivité
  • Notion d’élément de référence
  • Technique d’assemblage
  • Résolution et post-traitement
  • Algorithme général

NF04 - Automne - UTC

cas g n ral plusieurs l ments

3 éléments finis à deux noeuds

4 noeuds

  • Un maillage éléments finis est décrit à l’aide de deux tables :
        • … des coordonnées :
        • … des connectivités :
Cas général : plusieurs éléments
  • Exemple de maillage :

NF04 - Automne - UTC

remarques sur le maillage
Remarques sur le maillage

Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire.

Un maillage éléments finis est dît non structuré !

Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes

NF04 - Automne - UTC

discr tisation de la forme int grale
Discrétisation de la forme intégrale

La forme intégrale (thermique 1D) s’écrit (voir précédent cours) :

Le découpage du domaine en un maillage se traduit par un découpage

du signe intégral :

Soit :

NF04 - Automne - UTC

notion d l ment de r f rence

Nécessité de recalculer les fonctions pour chaque élément !

Notion d’élément de référence
  • Pour pallier à cette hétérogénéité, on définit un élément de référence commun sur lequel effectuer l’intégration.
  • Chaque intégrale « élémentaire » est définie par des bornes distinctes, d’où :
    • des fonctions d’approximation N1 et N2 différentes d’un élément à un autre.

NF04 - Automne - UTC

notion d l ment de r f rence6
Notion d’élément de référence
  • Méthode : changement de variables

soit :

  • Les fonctions d’approximation sur l’élément de référence sont linéaires et définies par :

soit :

NF04 - Automne - UTC

solution globale reconstruction l mentaire
Solution globale : reconstruction élémentaire
  • La superposition des approximations locales conduit à une approximation GLOBALE de la solution par éléments finis

NF04 - Automne - UTC

discr tisation des int grales l mentaires
Discrétisation des intégrales élémentaires
  • Le calcul des matrices et vecteurs « élémentaires » est alors analogue à celui d’un seul élément de longueur Le (voir précédent cours).

On retrouve ainsi la démarche suivante :

  • Approximation par éléments finis :
  • Calculs élémentaires :
      • [Ke ] : matrice de rigidité élémentaire
      • {Fe} : vecteur des sollicitations élémentaire

NF04 - Automne - UTC

phase d assemblage
Phase d’assemblage

Après calcul de toutes les contributions élémentaires, nous obtenons :

  • La phase d’assemblage consiste à « assembler » :
    • toutes les matrices élémentaires en une seule matrice globale [K]
    • tous les vecteurs élémentaires en un seul vecteur global {F}

tels que :

Deux techniques d’assemblage possibles !

NF04 - Automne - UTC

assemblage par extension peu utilis
Assemblage par extension (peu utilisé)
  • Le principe est simple : augmenter les dimensions des matrices et vecteurs élémentaires aux dimensions de la matrice global et du vecteur global.
  • Exemple :

NF04 - Automne - UTC

assemblage par projection
Assemblage par projection

Principe : il consiste à localiser la « zone » de la matrice globale où sera projetée la matrice élémentaire.

Constat : cette « zone » possède les mêmes dimensions que la matrice élémentaire.

Outil de mise en œuvre : la table des connectivité « conec »

Le procédé est identique pour l’assemblage d’un vecteur élémentaire !

N° ligne = numéro de l’élément

Contenu des colonnes = liste des nœuds de l’élément

= liste des lignes et colonnes de la

matrice globale !

NF04 - Automne - UTC

technique d assemblage par projection
Technique d’assemblage par projection

Démarche générale :

  • On boucle sur tous les éléments :
    • Calcul de [Ke] et {Fe}
    • Extraction de la connectivité de l’élément (numéros des nœuds)
    • On isole dans [K] et {F} les lignes et colonnes correspondantes
      • On y « projette » [Ke] dans [K]
      • On y « projette » {Fe} dans {F}
  • Retour de boucle
  • Introduction des conditions aux limites

NF04 - Automne - UTC

applications maillage 3 l ments
Applications : maillage à 3 éléments

1 2 3 4

1 2 3 4

  • Assemblage de l’élément 1 :
    • Conec(1,[1 2])=[1 2]

N° d’élément

Liste des noeuds

1 2 3 4

N° des colonnes

1 2 3 4

  • Assemblage de l’élément 2 :
    • Conec(2,[1 2])=[2 3]

1 2 3 4

1 2 3 4

  • Assemblage de l’élément 3 :
    • Conec(3,[1 2])=[3 4]

Remarque : pour simplifier L(1) = L (2) = L (3) = Le

NF04 - Automne - UTC

prise en compte des conditions aux limites 1 3
Prise en compte des conditions aux limites (1/3)
  • Traitement de la condition de Dirichlet (1/2) :

Méthode du terme unité sur la diagonale

N+1 opérations !

Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions vaut {R }={0 } et

n’apparaît donc plus !

NF04 - Automne - UTC

prise en compte des conditions aux limites 2 3

avec Grand = 1012 x max(K)

Prise en compte des conditions aux limites (2/3)
  • Traitement de la condition de Dirichlet (2/2) :

Méthode du terme diagonal dominant

2 opérations !

Remarque : à l’issue de cette phase, le vecteur des réactions {R } est

négligeable et n’apparaît donc plus !

NF04 - Automne - UTC

prise en compte des conditions aux limites 3 3
Prise en compte des conditions aux limites (3/3)
  • Traitement de la condition de Cauchy :

Attention au signe !

NF04 - Automne - UTC

cas particulier d assemblage liste des n uds non cons cutives
Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds non consécutives
  • Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 1 3]

Technique : on « dispatche » en conservant les positions relatives respectives !

NF04 - Automne - UTC

cas particulier d assemblage liste des n uds invers e
Cas particulier d’assemblage : liste des nœuds inversée
  • Exemple : conec(e, [1 2]) = [ 4 2]

Technique : on « dispatche » en inversant les lignes et les colonnes !

NF04 - Automne - UTC

analyse de la validit des r sultats
Analyse de la validité des résultats
  • Vérifications de base : programmation, préparation des données
    • Conditions aux limites de Dirichlet
    • Condition de Neumann et Cauchy

Requiert le calcul du gradient

    • Calcul des réactions

Permet de vérifier :

          • l’équilibre statique en mécanique
          • La conservation des flux en thermique : flux entrants=flux sortants
  • Calcul de convergence :

Parvenir à l’indépendance de la solution par rapport au maillage

NF04 - Automne - UTC

post traitement calcul du gradient
Post-traitement : calcul du gradient
  • Utile pour :
    • Calculer un flux thermique :
    • Calculer un effort de traction mécanique :
  • Méthode :

Question : comment choisir une valeur de flux au nœud « i » ?

NF04 - Automne - UTC

calcul du gradient aux noeuds
Calcul du gradient aux noeuds
  • Constat : une approximation linéaire de la solution :
    • Assure la continuité de la solution inter-éléments ;
    • N’assure pas la continuité des dérivées de la solution !
  • Solutions envisageables :
    • Utiliser un élément fini à 3 nœuds d’approximation quadratique ! (hors NF04)
    • Moyenner la solution aux nœuds !

NF04 - Automne - UTC

post traitement calcul des r actions externes

Réaction liaison

Poids

Modèle éléments finis

Modèle réel

Post-traitement : calcul des réactions externes
  • Utile pour :
    • Calculer la valeur du flux thermique externe sur une condition de Dirichlet et vérifier l’équilibre des flux entrants et sortants (seulement si f=0).
    • Calculer un effort de réaction mécanique externe et vérifier l’équilibre global du système
  • Méthode :
  • Exemple : colonne sous effet de gravité

(sera traité lors du TD3)

On doit vérifier :

La solution éléments finis le vérifie t’elle ?

NF04 - Automne - UTC

calculs de convergence
Calculs de convergence
  • Objectif :

Vérifier qu’il existe une taille de maillage minimale à partir de laquelle, la solution devient indépendante du maillage.

NF04 - Automne - UTC

cas particulier solutions l ment finis et analytiques confondues

Valeur convergée

Valeur non convergée !

Cas particulier : solutions élément finis et analytiques confondues !

Température

Flux

Solutions confondues sur la variable T mais pas sur la variable flux !

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