第五章立体表面的交线

第五章立体表面的交线

平面立体 曲面立体空间几何体分为平面立体和曲面立体。平面立体：表面由平面围成的几何体。曲面立体：表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体。

平面与立体、立体与立体两处相交形成不同的表面交线，可分为两大类：平面与立体、立体与立体两处相交形成不同的表面交线，可分为两大类：截交:平面与立体相交，截去立体的一部分。截交线——截平面与立体表面的交线。

平面与立体、立体与立体相交形成不同的表面交线，可分为两大类：平面与立体、立体与立体相交形成不同的表面交线，可分为两大类：相贯:两立体相交。相贯线——立体与立体表面的交线。单击立体图形区或此处可观看三维动画

§1 平面立体的截交线 1.1 平面与平面立体的截交线截交线的性质： 1)截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面的共有线。 2)截交线的形状是由直线段围成的平面多边形。 3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是截平面与立体各表面的交线。

平面与平面立体截交线的求法： A.求各棱线与截平面的交点→线面交点法 B.求各棱面与截平面的交线→面面交线法求截交线的步骤： 1) 空间及投影分析 a、截平面与立体的相对位置: 确定截交线的形状。 b、截平面与投影面的相对位置：确定截交线的投影特性。 2) 画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。

3 3 ● (4) 2 4 ● ● 2 1 1 ● 4 ● 3 1 ● ● ● 2 [例1]四棱锥被正垂面P切割，求其截交线的投影。 S 采用的是哪种解题方法？ S 四边形线面交点法　截平面与体的几个棱面相交？ 1) 空间分析 2) 投影分析截交线的形状？ S 3) 求截交线检查:尤其注意检查截交线投影的相仿性 4) 补全棱线的投影

1" 1 2 4 (3) 4" 2" 3" 3 4 1 2 [例2]求P、Q两平面与三棱锥截交线的投影。 S" S 解题步骤 1)分析: 截平面为正垂面和水平面，正面投影积聚； 2)求出点1、2、3、4； Pv Qv (c´) a´ c" a" b" b´ c 3)顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性； s a 4)补全轮廓线。 b

[例3]已知立体的V、W投影，试求其H投影。 单击立体模型区或此处可观看三维动画

主视图，试完成其俯、左视图。 [例4] 已知上部开有通槽的四棱锥

[例5]已知主视图和左视图，求俯视图。

1.2 求平面立体斜截面的实形 采用何种方法来求？ o 换面法

§2 回转体的截交线 回转体截切的基本形式平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图形。截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或者由直线段围成。求回转体截交线，常利用积聚性或者辅助面以及投影变换的方法。

求平面与回转体截交线的一般步骤： ⒈ 空间及投影分析分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、相仿性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： *先找特殊点，补充中间点。 * 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。

2.1 圆柱的截交线 平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。

圆柱的截交线

保留动画 Qv e e a(c) a(b) b(d) c(d) Pv c d e b a [例1]圆柱体被P、Q两平面截切，试完成其三视图。解题步骤 1)空间及投影分析截平面与立体的相对位置；截平面与投影面的相对位置；多个平面截切立体时，要分别对各截平面进行截交线的分析和作图。确定截交线形状为矩形和圆弧。 2)分析圆柱体轮廓素线的投影。 3)求截交线。

[例2]圆柱被正垂面截切，试画出三视图。 解题步骤 1．分析：截平面为正垂面，截交线的正面投影积聚，侧面投影和水平投影为椭圆； 2．求出截交线上的特殊点a、b、c、d； 3．求出若干个一般点e、e1； 4．光滑顺次连接各点，作出截交线，并判别可见性； 5．补全轮廓线。

截平面与圆柱轴线的倾角为β，其交线的H投影为椭圆，且椭圆的长、短轴随β的变化而变化 。截平面与圆柱轴线成45°时,投影为圆。

[例3]已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯视图，试画出其左视图。[例3]已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯视图，试画出其左视图。

[例4]空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影，试求W投影。

2.2 圆锥截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。

圆锥的五种截交线

b' b" e'(f') e" f" c'(d') d" c" 1'(2') 2" 1" a' a" d 2 f a b e 1 c [例1]求正垂面与圆锥的截交线,并画出斜截面的实形。解题步骤 1.分析: 圆锥被正垂面截切，截交线为椭圆，其水平和侧面两投影均为椭圆； 2.求出截交线上的各特殊点A、B、C、D、E、F； 3.求出一般点1、2； 4.光滑且顺次连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5.补全轮廓素线的投影。

画出斜截面的实形

[例2]P平面与圆锥面相交，求截交线的投影。 分析 P平面为正平面且平行于圆锥的轴线，与圆锥面的交线为双曲线，其H投影积聚在PH上，W投影积聚在PW上，求出交线的V投影即可。

[例3]圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。[例3]圆锥被正垂面P和侧平面Q截切，已知其主视图，求作俯视图和左视图。

2.3 圆球的截交线 圆球的截交线总是圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。

[例1]P平面与球面相交，求其截交线的投影。 解题步骤 1.分析: 圆球被正垂面截切，截交线为圆，其水平和侧面两投影均为椭圆； 2.求特殊点1、2、3、4、5、6、7、8； 3.求一般点a、b、c、d； 4.光滑且顺次连接各点，作出截交线，并且判别可见性； 5.补全轮廓素线的投影。

[例2] 已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其俯视图和左视图。水平面截切圆球，交线在俯视图上为部分圆弧，在左视图上积聚为直线。两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。

保留动画 2.4 综合举例首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。

[例1]已知立体的俯、左视图，完成其主视图。

[例2]求连杆头部的截交线 解题步骤 1.分析立体组成和截交线的组成，其水平和侧面两投影均为已知，正面投影未知； 2.作曲面的分界线； 3.在分界线的右侧作平面与球面的交线（圆弧）；在左侧作平面与环面的交线（一段曲线）。

§3 回转体的相贯线 相贯线的主要性质： 1) 共有性相贯线是两立体表面的共有线。 2) 分界性相贯线两立体表面的分界线。 3) 封闭性相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线。其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。

两立体相交可分为 1) 两平面立体相交：可归结为求两平面的交线问题，或求棱线与平面的交点问题。 2) 平面立体与曲面立体相交：可归结为求平面与曲面立体截交线问题。 3) 曲面立体相贯线：本节主要介绍此问题

3.1 利用积聚性求相贯线 [例１]轴线垂直相交的两圆柱，试求其相贯线。单击立体图形区或此处可观看三维动画

空间及投影分析： 相贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合，是一个圆。相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上，即为圆的一部分。

● ● ● ● ● ● ● ● ● 求相贯线的投影：利用积聚性，采用表面取点法。 1. 找全特殊点； 2. 补充一般点； 3. 判别可见性、光滑连接； 4.补全轮廓线。

曲面立体相贯的三种基本形式 1.两外表面相交 2.外表面与内表面相交 3.两内表面相交

以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。点击此处观看三维动画

以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯、圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况。

3.2 用辅助平面法求相贯线 辅助平面法：根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。作图方法：假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。

辅助平面的选择原则： 使辅助平面与两回转体表面截交线的投影简单易画，例如直线或圆。一般选择投影面平行面

[例1]求圆柱与圆锥相贯线的投影。 解题步骤 1.分析: 相贯线的侧面投影已知，可利用辅助平面法求共有点； 2.求出特殊点1、2、3、4； 3.求出一般点5、6、a、b； 4.光滑顺次连接各点，并且判别可见性,作出相贯线； 5.补全轮廓线。

[例2]两圆柱斜交，求其相贯线。 辅助平面的选择原则：使辅助平面与两回转体表面截交线的投影简单易画，例如直线或圆。

3.3 相贯线的特殊情况 1）蒙日定理:若两个二次曲面共切于第三个二次曲面，则两曲面的相贯线为平面曲线（椭圆）。单击图形区或此处可观看三维动画

相贯线的特殊情况（二） 单击图形区或此处可观看三维动画

相贯线的特殊情况（三） 单击图形区或此处可观看三维动画

相贯线的特殊情况（四） 单击图形区或此处可观看三维动画

第五章 立体表面的交线