{ 范例 7.7} 光栅衍射的强度和条纹

1. {范例7.7} 光栅衍射的强度和条纹 一光栅有N条缝，透光的缝的宽度为a，不透光的挡板的宽度为b，入射光的波长为λ。(1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？(2)说明缝间干涉受到单缝衍射的调制和缺级现象。(3)光栅衍射条纹的分布与缝宽和光栅常数有什么关系？ G A θ d θ B [解析](1)缝间距为d = a + b， d称为光栅常数。 C d 如图所示，在θ方向相邻两条缝之间的光程差为δ= dsinθ， D 假设每一个单缝引起的光波振幅为ΔA'， dsinθ 相位差为 根据多个等幅同频振动的合振幅公式(5.11.10)式 汇聚点的光强为 所有缝在θ方向产生的振幅为 其中v = πdsinθ/λ， 其中I'0 = ΔA'2。

2. {范例7.7} 光栅衍射的强度和条纹 一光栅有N条缝，透光的缝的宽度为a，不透光的挡板的宽度为b，入射光的波长为λ。(1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？ G ，I'0 = ΔA'2。 汇聚点的光强为 A θ d θ B C 当N = 1时，可知：I'0是单缝引起的光强。 d D dsinθ 根据单缝衍射的公式 可得光栅衍射的光强公式 u仍然为πasinθ/λ。

3. {范例7.7} 光栅衍射的强度和条纹 一光栅有N条缝，透光的缝的宽度为a，不透光的挡板的宽度为b，入射光的波长为λ。(1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？ ①当N = 1时，光强公式变为单缝衍射的公式，因此，sinu/u或(sinu/u)2称为单缝衍射因子。 [讨论] ②当N = 2时，根据光栅光强公式可得 如果缝宽很小，则sinu/u→1，可得 这正好是双缝干涉的公式。 在缝宽不是很小的情况下，双缝干涉的强度就会受到单缝衍射因子(sinu/u)2的调制，形成双缝衍射。 ③当N是其他整数时，就是光栅的多缝衍射，sin(Nv)/sinv或[sin(Nv)/sinv]2称为缝间干涉因子。

4. 当N = 1时，就是单缝衍射条纹，中央明条纹很宽很亮，次级明条纹很暗。 当N = 2时，就是双缝衍射条纹，这是单缝衍射的明条纹发生分裂形成的。 但是由于受到单缝衍射调制，两边的明条纹较暗。 双缝衍射条纹与双缝干涉条纹十分相似，中间部分光强差不多，条纹宽度也相近。 缝数越多，明条纹就越细，但是明条纹的数量并不改变。

5. {范例7.7} 光栅衍射的强度和条纹 一光栅有N条缝，透光的缝的宽度为a，不透光的挡板的宽度为b，入射光的波长为λ。(1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？(2)说明缝间干涉受到单缝衍射的调制和缺级现象。 [解析](2)由于N很大，缝间干涉因子sin(Nv)/sinv比单缝衍射因此sinu/u的振荡要快得多，根据光栅衍射的光强公式可知：缝间干涉要受到单缝衍射的调制。 因此得 dsinθ = kλ 这是光栅方程。 缝间干涉的明条纹形成的条件是 v = πdsinθ/λ = kπ (k = 0，±1，±2，…) 所缺的级次为 单缝衍射的暗条纹形成的条件是 asinθ = k'λ (k' = ±1，±2，…) 如果缝间干涉的明条纹的衍射角与单缝衍射的暗条纹的衍射角相等，这个明条纹就会缺损，称为缺级。 (k' = ±1，±2，…) 其中d/a是整数比。

6. 如果不考虑单缝衍射，缝间干涉的曲线有高度不同的两种峰，同一种峰的高度都是相同的。如果不考虑单缝衍射，缝间干涉的曲线有高度不同的两种峰，同一种峰的高度都是相同的。

7. 单缝衍射将缝间干涉的强度限定在单缝衍射的强度曲线之下，因此说：缝间干涉受单缝衍射的调制。单缝衍射将缝间干涉的强度限定在单缝衍射的强度曲线之下，因此说：缝间干涉受单缝衍射的调制。 注意到：缝间干涉的第3级经过调制后，强度为零，这种情况称为缺级。 另外，第6级和第9级等，也都缺级，这是因为k/k' = d/a = 3。

8. 缝间干涉的高峰被调制后成为光栅衍射的最高峰，这种峰称为主极大；低峰被调制后的峰称为次极大。缝间干涉的高峰被调制后成为光栅衍射的最高峰，这种峰称为主极大；低峰被调制后的峰称为次极大。 在单缝衍射的次级明条纹中，光栅衍射的主极大的强度与单缝衍射的中央明条纹中的次极大的强度差不多。 在单缝衍射的中央明条纹之内，光栅衍射的主极大的强度远大于次极大的强度，因此光栅衍射条纹中除了有亮度很高的明条纹之外，还有一些亮度较小的明条纹。 如果光强不是很强，光栅衍射主要出现单缝衍射中央明条纹中的主极大。

9. {范例7.7} 光栅衍射的强度和条纹 一光栅有N条缝，透光的缝的宽度为a，不透光的挡板的宽度为b，入射光的波长为λ。(1)在缝宽和光栅常数一定的情况下，光珊衍射条纹与缝数有什么关系？(2)说明缝间干涉受到单缝衍射的调制和缺级现象。(3)光栅衍射条纹的分布与缝宽和光栅常数有什么关系？ G A θ d θ B C u= πasinθ/λ d D dsinθ v = πdsinθ/λ [解析](3)光栅衍射的强度公式有三个参数：缝宽a、缝间距d和光栅缝数N。

10. 当波长λ一定时，减小缝宽a会使单缝衍射的中央明纹宽度增加，从而使衍射更明显。当波长λ一定时，减小缝宽a会使单缝衍射的中央明纹宽度增加，从而使衍射更明显。

11. 当缝宽a一定时，增加缝间距d会在中央明纹内增加主极大的条数。当缝宽a一定时，增加缝间距d会在中央明纹内增加主极大的条数。 当d/a为整数时，就存在缺级，中央明纹内主极大的条数为n = 2d/a – 1。 当d/a不为整数时，中央明纹内主极大的条数为n = 2[d/a] + 1。

12. 增加缝数N，会使干涉条纹变窄；在两个主极大之间有N - 2个次极大。 增加缝数，次极大的相对光强会减小。 由于Imax = N2I0，所以增加缝数会增加主极大的亮度。

13. 当缝数很多时，次极大很小，主极大的条纹又细又亮。当缝数很多时，次极大很小，主极大的条纹又细又亮。