第七章应力状态和强度理论

§7-1概述 §7-2平面应力状态的应力分析·主应力 §7-3空间应力状态的概念 §7-4应力与应变间的关系 §7-5空间应力状态下的应变能密度 §7-6强度理论及其相当应力 *§7-7莫尔强度理论及其相当应力 §7-8各种强度理论的应用第七章应力状态和强度理论

第七章应力状态和强度理论 §7-1 概述在第二章和第三章中曾讲述过杆受拉压时和圆截面杆受扭时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态(state of stress)可用一个单元体(element)及其上的应力来表示。

第七章应力状态和强度理论 单向应力状态

第七章应力状态和强度理论 纯剪切应力状态

第七章应力状态和强度理论 研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服(yield)现象是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。 2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)(theory of strength, failure criterion)的基础。

第七章应力状态和强度理论 本章将研究 Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态) 的概念；Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律(generalized Hooke’s law)，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；Ⅲ. 强度理论。

第七章应力状态和强度理论 §7-2平面应力状态的应力分析·主应力平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面上的应力”)。

第七章应力状态和强度理论 (a) (b) (c) 对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。

第七章应力状态和强度理论 平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。

第七章应力状态和强度理论 Ⅰ. 斜截面上的应力图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef 以它的外法线n与x轴的夹角a 定义，且a角以自x 轴逆时针转至外法线n为正；斜截面上图中所示的正应力sa 和切应力ta均为正值，即sa 以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。

第七章应力状态和强度理论 由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf 的面积为dA·sina。图d示出了作用于体元ebf 诸面上的力。体元的平衡方程为

第七章应力状态和强度理论 需要注意的是，图中所示单元体顶,底面上的切应力ty按规定为负值，但在根据图d中的体元列出上述平衡方程时已考虑了它的实际指向，故方程中的ty仅指其值。也正因为如此，此处切应力互等定理的形式应是tx=ty。由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a 斜截面上应力sa，ta的公式：

第七章应力状态和强度理论 Ⅱ. 应力圆为便于求得sa，ta ，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：

第七章应力状态和强度理论 O C (a) 而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代表a 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。

第七章应力状态和强度理论 图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty = -tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s 轴的交点C为圆心，并且以或为半径作圆得出。 O C (b)

第七章应力状态和强度理论 O C (b) 值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述sa，ta计算公式中以2a 为参变量这个前提。

第七章应力状态和强度理论 利用应力圆求a 斜截面(图a)上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的座标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：

第七章应力状态和强度理论 E点横座标

第七章应力状态和强度理论 E点纵座标

第七章应力状态和强度理论 讨论:1. 表达图示各单元体a 斜截面上应力随a角变化的应力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态吗？

第七章应力状态和强度理论 2. 对于图示各单元体，表示与纸面垂直的斜截面上应力随a 角变化的应力圆有什么特点？a =±45˚两个斜截面上的sa,ta分别是多少？纯剪切二向等值拉伸二向等值压缩

第七章应力状态和强度理论 C (a) (b) 思考:已知一点处两个不相垂直截面上的应力(图a)，如图b所示为表达其与纸面垂直的一组斜截面上应力而作的应力圆是否正确？理由是什么？

第七章应力状态和强度理论 Ⅲ. 主应力与主平面由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横座标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面相互垂直(由A1和A2两点所夹圆心角为180˚可知)，且这两个截面上均无切应力。

第七章应力状态和强度理论 一点处切应力等于零的截面称为主平面(principal plane)，主平面上的正应力称为主应力(principal stress)。据此可知，应力圆圆周上点A1和A2所代表的就是主应力；但除此之外，图a所示单元体上平行于xy平面的面上也是没有切应力的，所以该截面也是主平面，只是其上的主应力为零。

第七章应力状态和强度理论 在弹性力学中可以证明，受力物体内一点处无论是什么应力状态必定存在三个相互垂直的主平面和相应的三个主应力。对于一点处三个相互垂直的主应力，根据惯例按它们的代数值由大到小的次序记作s1，s2，s3。图b所示应力圆中标出了s1和s2，而s3=0。

第七章应力状态和强度理论 当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态；平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是s1，也可能是s2或s3，这需要确定不等于零的两个主应力的代数值后才能明确。

第七章应力状态和强度理论 其中，为应力圆圆心的横座标，为应力圆的半径。故得现利用前面的图b所示应力圆导出求不等于零的主应力数值和主平面位置方位角a0的解析式，由于

第七章应力状态和强度理论 或即图c示出了主应力和主平面的方位。

第七章应力状态和强度理论 由于主应力是按其代数值排序记作s1，s2，s3的，故在一般情况下由上列解析式求得的两个不等于零的主应力不一定就是s1，s2，所以应该把式中的s1，s2看作只是表示主应力而已。

第七章应力状态和强度理论 例题7-2简支的焊接钢板梁及其上的荷载如图a所示，梁的横截面如图b和c。试利用应力圆求集中荷载位置C的左侧横截面上a，b两点(图c)处的主应力。

第七章应力状态和强度理论 解：焊接钢板梁的腹板上在焊缝顶端(图b中点f )处，弯曲应力和切应力都比较大，是校核强度时应加以考虑之点；在实际计算中为了方便，常近似地以腹板上与翼缘交界处的a点(图c)代替f点。正因为如此，本例题中要求的也是a点处主应力。梁的自重不计。

第七章应力状态和强度理论 1. 此梁的剪力图和弯矩图如图d和e。危险截面为荷载作用位置C的左侧横截面。

第七章应力状态和强度理论 2. 相关的截面几何性质为

第七章应力状态和强度理论 3. 危险截面上a点和b点处的应力：

第七章应力状态和强度理论 y x (h) (f) 4. 从危险截面上a点和b点处以包含与梁的横截面在内的三对相互垂直的截面取出单元体，其x和y面上的应力如图f和h中所示。据此绘出的应力圆如图g和i。

第七章应力状态和强度理论 y x (g) (f) s1 注意到图f和h所示单元体，其平行于xy平面的面为主平面（其上无切应力，相应的主应力为零，故图g所示应力圆上点A1所表示的是s1。按作应力圆时的同一比例尺可量得：对于点a s1和s2的方向如图f中所示。

第七章应力状态和强度理论 (h) (i) 对于点b s1沿x方向(图h)。

第七章应力状态和强度理论 (g) s1 当然，点a 处主应力s1和s3的值及其方向也可按应力圆上的几何关系来计算：亦即 a0＝-23.2°。

第七章应力状态和强度理论 5. 图f中所示a 点主应力s1的方向，实际上只须将应力圆上代表x 截面上应力的点D1(sx，tx)反向投射到应力圆上的点，然后将代表s3的点A2与点连以直线即得。这里利用了圆周角恒等于圆心角之半的几何关系。 y x (f) s1方向 s1

第七章应力状态和强度理论 §7-3 空间应力状态的概念当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。

第七章应力状态和强度理论 (b) 空间应力状态最一般的表现形式如图b所示；正应力sx，sy，sz的下角标表示其作用面，切应力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个下角标表示切应力的方向。图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一座标轴的正向而该面上的切应力指向另一座标轴的正向时为正。

第七章应力状态和强度理论 (a) 最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy，txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx，sy，sz，tyx，tzy，tzx。当空间应力状态的三个主应力s1，s2，s3已知时(图a)，与任何一个主平面垂直的那些斜截面(即平行于该主平面上主应力的斜截面)上的应力均可用应力圆显示。

第七章应力状态和强度理论 (c) (b) 例如图a中所示垂直于主应力s3所在平面的斜截面，其上的应力由图b所示分离体可知，它们与s3无关，因而显示这类斜截面上应力的点必落在以s1和s2作出的应力圆上(参见图c)。

第七章应力状态和强度理论 同理，显示与s2(或s1)所在主平面垂直的那类斜截面上应力的点必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的应力圆上。 (c) (a) 进一步的研究证明*，表示与三个主平面均斜交的任意斜截面(图a中的abc截面)上应力的点D必位于如图c所示以主应力作出的三个应力圆所围成的阴影范围内。

第七章应力状态和强度理论 (c) 据此可知，受力物体内一点处代数值最大的正应力smax就是主应力s1，而最大切应力为

第七章应力状态和强度理论 a a b d b c d (a) c 它的作用面根据应力圆点B的位置可知，系与主应力s2作用面垂直而与s1作用面成45˚，即下面图a中的截面abcd。

第七章应力状态和强度理论 a f a b d e b c (b) g d (a) c h 根据切应力互等定理可知，在与截面abcd垂直的截面efgh上有数值上与tmax相等的切应力，如下面图b中所示。

第七章应力状态和强度理论 (a) 例题7-3试根据图a所示单元体各面上的应力作出应力圆，并求出主应力和最大切应力的值及它们的作用面方位。

第七章应力状态和强度理论 (a) 解:1.图a所示单元体上正应力sz=20 MPa的作用面(z截面)上无切应力，因而该正应力为主应力。 2. 正如以前所述，在与主平面z截面垂直的各截面上的应力与主应力sz无关，故可根据x截面和y截面上的应力画出显示与z截面垂直各截面上应力随截面方位角变化的应力圆。

第七章应力状态和强度理论 (a) (b) 从圆上得出两个主应力46 MPa和-26 MPa。这样就得到了包括sz=20 MPa在内的三个主应力。他们按代数值大小排序为s1＝46 MPa，s2＝20 MPa，s3＝-26 MPa。 3. 依据三个主应力值作出的三个应力圆如图b所示。

第七章 应力状态和强度理论