Connaissance des nombres et calcul au cycle 3 : un détour par le collège

1. Connaissance des nombres et calcul au cycle 3 :un détour par le collège Jean-François Chesné IUFM de Créteil 21 novembre 2006 jean-francois.chesne@creteil.iufm.fr

2. Une question pour commencer En admettant qu’une séance de mathématiques dure une heure et qu’il y a 36 semaines dans une année scolaire, combien de semaines de travail allons-nous gagner en une année scolaire en ne perdant pas 5 minutes à chaque séance? (Il y a 4 séances de mathématiques par semaine)

3. Préambule « S’il y a une chose encore plus difficile que d’apprendre les mathématiques, c’est de les enseigner. » (Jean-Pierre Kahane) Technique et sens : amis ou ennemis? Réussite immédiate ou apprentissage? «L’objectif prioritaire reste (…) que les connaissances numériques des élèves soient opératoires » (Documents d’application p6 )

4. Quelques « erreurs » d’élèves de sixième… J'ai un élève de 6e qui m'a dit qu'il traitait la partie entière à part de la partie décimale lors de la soustraction 27,17-13,2  Au premier cours de 6e, les élèves devaient compléter : 361 = ... × 100 + ... × 10 + ... ;  sur une dizaine d'élèves dont j'ai contrôlé les cahiers, au moins trois m'ont répondu : 361 = 300 ×100 + 60 ×10 + 1  Je dis "sept demis", une élève comprend 7,5  1,2 × 100 = 100,200 ou encore: 3,5 ×10 = 30,50  Arrondis au centième : 1,234 

5. … et d’autres! Avec les 5es, j'ai commencé mercredi par un test de connaissances de 6e. Pour mettre 5,8 en fraction décimale, j'ai eu presque la moitié des élèves qui m'a écrit : 5/8    En début de 4e, plusieurs élèves me donnent encore : 4/9+4/9=8/18  2/3 : 5 = 3/2 × 5 Mes élèves font ce type d'erreur: 3a + 4x = 7ax Plusieurs de mes élèves écrivent que : 3x × 5x = 15x J'ai mis un peu de temps à comprendre pourquoi certains élèves répondaient 3 comme solution de l’équation de type 3x = 6 

6. Points d’appui et sommaire Une relecture des documents d’application et d’accompagnement des programmes  Une exploitation des résultats de l’évaluation nationale à l’entrée en sixième Une réorganisation par compétences Des distinctions école/collège Quelques messages personnels

7. L’évaluation à l’entrée en sixième Ses finalités : Permettre, à partir d’un repérage des points forts et des points faibles, de décider les actions pédagogiques adaptées aux besoins de chacun pour poursuivre ses apprentissages.  Fournir des aides à la décision pédagogique pour chaque élève, dans la classe, dans l’école, dans le cadre de la liaison « école – collège ».

8. Présentation générale Deuxième évaluation portant sur les programmes de 2002 Identique à celle de septembre 2005 Références très fortes aux documents d’application des programmes du cycle 3 Très grande part faite aux compétences attendues en fin de cycle 3 (construction/structuration, consolidation/utilisation) Items portant sur des compétences isolées

9. Les compétences évaluées Pas d’exhaustivité, accent mis sur : Calcul mental automatisé Calcul mental réfléchi Calcul posé (techniques opératoires) Connaissance des fractions et des nombres décimaux

10. Un quiz 12,65 a pour partie entière 12 et pour partie décimale 65. Dans 7,38 le nombre de centièmes est8. L’écriture décimale a été inventée avant la découverte de l’Amérique par Christophe Colomb. Dans 2,4 le chiffre 4 vaut 2 fois le chiffre 2.   Au cycle 3 : 43/10 = 4,3 car « quand on divise par 10, on décale la virgule de 1 rang vers la gauche ».

11. Connaissance des nombres 27 items sur 101: 13 sur les nombres entiers 14 sur les fractions ou les décimaux

12. Connaissance des nombres entiers naturels Les connaissances relatives à la désignation orale, littérale ou chiffrée des nombres naturels (…) doivent être bien maîtrisées à la fin de l’école primaire. Elles sont indispensables à la poursuite des apprentissages au collège. (Documents d’application p18)

13. L’écriture chiffrée des entiers

14. Mettre en oeuvre des relations entre 25 et 100, 15, 45 et 60

15. Ce que disent les documents d’application (p20) La structuration des nombres autour du nombre 100 fait l’objet d’une attention particulière. Exemples de relations : 100 = 75 + 25 ; 100 = 4  25; 75 = 3 25. La diversité des écritures d’un même nombre est mise en évidence, par exemple pour le nombre 15 : 10 + 5 ; 3  5; la moitié de 30 ; le quart de 60.

16. Ce que disent les documents d’accompagnement (p90) Articulation école/collège Les élèves ont eu l’occasion de s’assurer une première maîtrise de certaines relations arithmétiques entre les nombres : utilisation de relations du type double, moitié, triple, tiers, trois quarts, deux tiers…, relations entre nombres d’usage courant, par exemple entre 5, 10 , 25, 50, 75, 100 ou entre 5, 15, 30, 45, 60. Elle constitue un point d’appui pour le calcul mental. Cette première culture du nombre entier doit être enrichie et consolidée au collège.

17. Connaître et utiliser des expressions: double, moitié, tiers, quart

18. Une remarque personnelle 100 = 4  25 ou 100 = 25 4 ? On parle bien de: 100 = 25 + 25 + 25 +25 ? Ou encore de 4 fois 25?

19. Connaissance des fractions et des nombres décimaux (1) Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux. (Documents d’application p21)

20. Connaissance des fractions et des nombres décimaux (2) L’étude des fractions et des nombres décimaux sera poursuivie au collège. Il convient donc de distinguer les compétences qui doivent être maîtrisées avant l’entrée au collège, de celles qui sont encore en cours de construction à la fin du cycle 3 et de celles dont l’approche et la construction relèvent du collège. (Documents d’application p21)

21. Connaissance des fractions et des nombres décimaux (3) Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite. (Documents d’application p21)

22. Fractions et mesures de longueurs L’écriture à virgule est présentée comme une convention d’écriture d’une fraction décimale ou d’une somme de fractions décimales, le lien avec le système métrique étant fait ensuite. La fraction est introduite en référence au partage d’une unité, le dénominateur indiquant la nature du partage et le numérateur le nombre de “ parts ” considérées ( 3/4 , lu « trois quarts », est compris comme « trois fois un quart »). (Articulation école/collège p91)

23. Utiliser des fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs

24. Construire un segment dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d'une fraction

25. Les compétences visées sur les fractions • Utiliser, dans des cas simples, des fractions ou des sommes d’entiers et de fractions pour coder le résultat de mesurages de longueurs ou d’aires, une unité de mesure étant choisie explicitement. • Une unité de longueur étant fixée explicitement,construire un segment ou une bande de papier dont la mesure de la longueur est donnée sous la forme d’une fraction.

26. Quelques exemples Au cycle 3, le quart de 12 (unités) se pense et s’écrit 12 : 4, mais ne s’écrit pas encore 12 × . Le quart de 12 ne s’écrit pas encore Le lien entre les deux conceptions, qui auront la même écriture, relève du collège .

40. Quatre tiers sous toutes ses formes Un tiers + un tiers + un tiers + un tiers 4 fois un tiers Une unité + un tiers Deux unités - deux tiers Et des représentations graphiques variées…

43. + =

44. ?

45. Des fractions aux nombres décimaux En dehors de la connaissance des fractions d’« usage courant », le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales ( fractions de dénominateurs 10, 100, 1 000…).  (Documents d’application p 21)

46. Associer les désignations orales et l’écriture chiffrée d’un nombre décimal Exemples: 14,5 se lit 14 et demi ou 14 et 5 dixièmes ; 5,23 se lit 5 et 23 centièmes ou 5 et 2 dixièmes et 3 centièmes. La lecture courante (5 virgule 23) n’est pas exclue, mais il s’agit de ne pas la systématiser dans la mesure où son usage trop fréquent contribue à envisager le nombre décimal 5,23 comme deux entiers juxtaposés (5 d’un côté et 23 de l’autre). (Documents d’application p23)

47. Tout commence vraiment à l’école… Dès l’école primaire, les nombres décimaux peuvent être utilisés dans des problèmes de division prolongée au-delà de la virgule (problèmes de partage de longueurs, par exemple), sans que pour autant l'écriture fractionnaire ne soit introduite pour désigner 1e quotient .  (Document d’accompagnement Articulation école/collège p92)

48. Les différentes écritures des décimaux

49. Ce qui fait dire … … à André Pressiat : « Le thème des nombres décimaux fait l’objet depuis de nombreuses années d’items dans les évaluations nationales, et les résultats stagnent, au point que la situation du point de vue de l’apprentissage est sur le point de se naturaliser. » … et à Roland Charnay : « Du côté de l’école primaire, le travail sur la compréhension des écritures décimales (valeur des chiffres en fonction de leur position, relations entre unités de rangs différents) est insuffisant et laisse trop rapidement la place à la mise en place de techniques ou de questions formelles (repérage du chiffre des dizaines et de celui des unités, par exemple). »

50. En résumé « L’écriture à virgule » est une convention d’écriture On mettra en avant la valeur d’un chiffre dans une écriture décimale en fonction de sa position Le passage fraction décimale/écriture décimale se fera avec précaution