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网络面授课程

网络面授课程. 直线与平面的位置关系. 主讲教师：北京四中 安东明. 直线与平面的位置关系. 直线在平面内 —— 有无数个公共点 直线在平面外 —— （ 1 ）直线与平面相交（又且只有一个公共点） （ 2 ）直线与平面平行（没有公共点）. 一．直线与平面平行. 定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行。 判定定理：如果 平面外 的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。（可作为线线平行的判定）.

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Presentation Transcript

  1. 网络面授课程 直线与平面的位置关系 主讲教师：北京四中 安东明

  2. 直线与平面的位置关系 • 直线在平面内——有无数个公共点 • 直线在平面外—— （1）直线与平面相交（又且只有一个公共点） （2）直线与平面平行（没有公共点）

  3. 一．直线与平面平行 • 定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行。 • 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 • 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行。（可作为线线平行的判定）

  4. 例. 若三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线平行或共点。 (已知：α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c， 求证：a//b//c或a、b、c共点)

  5. 例. 若三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线平行或共点。 (已知：α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c， 求证：a//b//c或a、b、c共点) 分析：三条直线的位置关系问题我们还是从两条直线的位置关系开始。

  6. γ α β c b a 已知：α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c， 求证：a//b//c或a、b、c共点 证明：∵α∩β=a，β∩γ=b， ∴直线a、b都在平面β内，即a、b共面， ∴a、b有两种位置关系：平行或相交， （1）当a//b时， ∵β∩γ=b， ∴b在平面γ内，∴a//γ ∵α∩β=a，∴a在平面α内， ∵γ∩α=c，∴a//c， ∴a//b//c；

  7. β α a b O c γ 已知：α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c， 求证：a//b//c或a、b、c共点)。 （2）当a、b相交时，即a∩b=O， ∵β∩γ=b，∴b在平面γ内， ∴点O在平面γ内 同理：点O在平面α内， 即：点O是平面α与γ的公共点， ∵γ∩α=c，∴点O在直线c上， ∴a、b、c共点于O。

  8. 二．直线与平面垂直 • 定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么就称这条直线与这个平面垂直。 • 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。 • 性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。（可作为线线平行的判定）

  9. P O • 垂线、斜线、射影： • 垂线及射影： 如果一条直线与一个平面垂直，那么就称这条直线是这个平面的一条垂线；其交点O为垂足，垂线上任意一点P在平面上的射影为O（即垂线在平面上的射影为O），线段PO称为垂线段。

  10. P O A • 斜线及射影： 如果一条直线与一个平面相交，但不垂直，那么就称这条直线是这个平面的一条斜线，其交点A称为斜足；从斜线上任意一点P向平面引垂线，垂足为O，PA称为斜线段，PO为垂线段，直线OA为斜线PA在平面上的射影，线段OA为斜线段PA在平面上的射影。

  11. P O B A • 定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短。

  12. P a A O • 三垂线定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 • 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在这个平面内的射影垂直。

  13. A1 C1 B1 Ａ C B 例．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1 （底面是正三角形，侧棱与底面垂直），其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。

  14. A1 C1 B1 Ａ C M B 例．已知：正三棱柱ABC–A1B1C1（底面是正三角形，侧棱与底面垂直），其侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1， 求证：CA1⊥BC1 。 利用三垂线定理导出线线垂直 证明：取BC中点M，连接AM、B1M， ∵ ABC–A1B1C1是正三棱柱， ∴△ABC是正三角形， 侧面四边形B1BCC1是矩形， 且侧面与底面垂直， ∵M是BC的中点，∴AM⊥BC， ∴AM（垂线）⊥面B1BCC1

  15. N A1 C1 B1 Ａ C M B ∵AB1（斜线）⊥BC1， ∴B1M（射影）⊥ BC1 ， 取B1C1中点N，连接A1N、NC， 同理可证A1N（垂线）⊥面B1BCC1 ∵侧面四边形B1BCC1是矩形， ∴B1M//NC ∴NC（射影）⊥ BC1 ∵A1N（垂线）⊥面B1BCC1 ∴CA1（斜线）⊥ BC1

  16. 三．直线与平面的距离 • 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。 • 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线与这个平面的距离。

  17. P E C B D A 例．已知：四棱锥P—ABCD底面是边长为a的菱形，∠ABC=600，PC=a，PC⊥面ABCD，E为PA的中点， 求：点E到平面PBC的距离；

  18. P E C B O D A 例．已知：四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=600，PC=a，PC⊥面ABCD，E为PA的中点， 求：点E到平面PBC的距离； 证明：连接AC、BD交于点O，连接EO， ∵ABCD是菱形，∴O为AC、BD的中点， ∵E为PA的中点，∴EO//PC， ∴点O到平面PBC的距离就是点E到 平面PBC的距离， 过作OF⊥BC于F， ∵ PC⊥面ABCD，∴ PC⊥OF ∴ OF⊥平面PBC， ∵ABCD是边长为a的菱形，且∠ABC=600， ∴ΔABC是边长为a的正三角形，∴点O到BC的距离是

  19. 四．直线与平面所成的角 • 斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。 • 若直线与平面垂直，则称它们所成的角为直角；若直线与平面平行或在平面内，则称它们所成的角为00角。 • 因此，直线与平面所成角的范围：[00，900]

  20. P A O B 最小角定理： 斜线与平面所成的角，是这条斜线和平面内的直线所成的一切角中最小的角。

  21. E A β F B α 综合选讲： 例1.已知：平面α、β，α∩β=EF，直线AB，AB//α,AB//β， 求证：AB//EF。

  22. γ η a b E A β F B α 例1. 已知：平面α、β，α∩β=EF，直线AB，AB//α,AB//β， 求证：AB//EF。 方法一：利用线面平行导出线线平行 证明：过直线AB作平面γ交平面β于a， 过直线AB作平面η交平面α于b， ∵AB//α ，∴AB//b， 同理：AB//a，∴a//b， ∴a//α ， ∵α∩β=EF，∴a//EF ∴AB//EF

  23. γ a M N P b E A β F B α 方法二：利用线面垂直导出线线平行 证明：过直线AB上任意一点P作PM⊥平面β于M 过直线AB、PM作平面γ交平面β于a， ∵PM⊥β，PM⊥EF，PM⊥a ∵AB//β，∴AB//a，∴PM⊥AB， 同理可作PN⊥平面α于N,过直线 AB、PN作平面η交平面α于b， 则：PN⊥EF，PN⊥AB ∴EF⊥平面PMN，AB⊥平面PMN， ∴AB//EF

  24. P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 例2、已知：ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分 别为AB、PC的中点， 求证：MN⊥AB。

  25. O P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 例2、已知：ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点， 求证：MN⊥AB。 方法一：利用线面垂直导出线线垂直 证明：连接AC、BD，设交点为O，连接NO、MO， ∵ABCD为矩形， ∴点O为AC、BD的中点， ∵ M为AB的中点 ∴OM//AD，∴OM⊥AB， ∵N为PC的中点， ∴NO//PA， ∵PA⊥底面ABCD， ∴NO⊥底面ABCD ，∴NO⊥AB， ∴AB⊥面OMN，∴MN⊥AB。

  26. Q P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 方法二：利用线面垂直、面面平行导出线面垂直，导出线线垂直 证明：连接PD，取CD的中点Q，连接NQ、MQ， ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB ∵ABCD为矩形，∴AD⊥AB ∴AB⊥面PAD ∵Q为CD的中点， N为PC的中点， ∴NQ//PD， ∵M为AB的中点，QM//AD ∴面MNQ//面PAD ∴AB⊥面MNQ，∴MN⊥AB

  27. P N Ｄ Ｃ Ａ Ｂ M 证法三：利用平面几何的知识 证明：连接AC，PB，NA，NB， ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC ∵N为PC的中点， ∴AN为Rt△PAC斜边的中线， ∴AN= PC ∵PA⊥底面ABCD，AB⊥CB ∴PB⊥BC，∴BN= PC ∴AN=BN ∵M为AB的中点， ∴ MN⊥AB。

  28. C B M E D N A F 例5. 已知：以AB为公共边的正方形ABCD和ABEF不共面，M是BD上一点，N是AE上一点，DM=AN， 求证：MN//平面BCE。

  29. C P B M E D Q N A F 例5. 已知：以AB为公共边的正方形ABCD和ABEF不共面，M是BD上一点，N是AE上一点，DM=AN， 求证：MN//平面BCE。 方法一:利用线线平行导出线面平行 证明：过M作MP⊥CB于P，过N作NQ⊥BE于Q，连接PQ ∵ABCD是正方形，∴DC⊥CB，∴MP//DC， 同理：NQ//AB，∴MP//NQ， ∵MP//DC，NQ//AB， ∴MB：BD=MP：DC， NE：AE=NQ：AB，

  30. C P B M E D Q N A F ∵ABCD与ABEF是有公共边的正方形， ∴AE=BD，AB=CD， ∵DM=AN，∴MB=NE，∴MP=NQ ∴MPQN是平行四边形 ∴MN//PQ， ∴MN//平面BCE。

  31. G C B M E D N A F 方法二：利用线线平行导出线面平行 证明：连接AM并延长交BC延长线于G，连接GE， ∵ABCD是正方形，∴AD//BC， ∴AM：MG=DM：MB， ∵ABCD与ABEF是有公共边的正方形， ∴BD=AE ∵DM=AN，∴MB=NE， ∴AM：MG=AN：NE， ∴MN//GE， ∴MN//平面BCE。

  32. C B M E D N O A F 方法三：利用面面平行导出线面平行 证明：过M作MO//BC交AB于O，连接NO ∵ABCD是正方形， ∴AD//BC，∴MO//AD ∴BO：BA=MB：BD， ∵ABCD与ABEF是有公共边的正方形， ∴BD=AE ∵DM=AN，∴MB=NE， ∴BO：BA=NE：AE， ∴NO//AE， ∴面OMN//平面BCE。 ∴MN//平面BCE。

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