Download
1 / 20
230 likes | 651 Views
Лекция № 7 Момент импульса. 20 /0 3 /2012. Алексей Викторович Гуденко. План лекции. Момент импульса частицы и системы частиц относительно точки и оси. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса для частицы и системы частиц. Частица в центральном поле сил.
E N D
Лекция №7Момент импульса 20/03/2012 АлексейВикторович Гуденко
План лекции • Момент импульса частицы и системы частиц относительно точки и оси. Момент силы. • Уравнение моментов. • Закон сохранения момента импульса для частицы и системы частиц. • Частица в центральном поле сил. • Примеры решения задач. • Скамья Жуковского.
Демонстрации • Движение в поле центральных сил • Скамья Жуковского • Униполярный индуктор
Момент импульса L = r x p • Момент импульса частицы относительно точки 0 (полюса): L = [rp] • L = prsinθ = pd • d = rsinθ – плечо импульса p относительно точки 0.
Момент импульса системы частиц • Момент импульса системы частиц относительно полюса равен сумме моментов импульсов этих частиц относительно того же полюса: L = ΣLi = Σ[ripi] • Момент импульса Lсистемы частиц складывается из её собственного момента импульса L’ в системе центра масс и момента [rcp], обусловленного движением системы частиц как целого:L = L’ + [rcp] (аналог теоремы Кёнига)
Пример: момент импульса обруча • L = L’ + rpc = mv’r + mv0r = mr2ω + mv0r • Если обруч катится без проскальзывания, то v’ =ωr = v0: L = 2mv0r = 2mr2ω
Момент силы M = r x F • Момент силы Fотносительно точки 0 (полюса): M = [rF] • L = prsinθ = pd • d = rsinθ – плечо импульса p относительно точки 0. • Момент силы не изменится, если точку приложения силы F перенести вдоль линии её действия.
Уравнение моментов для частицыи системы частиц. • dL/dt = M– скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы:dL/dt = [dr/dt,p] + [r,dp/dt] = [r,dp/dt] = [r,F] = M • Для системы частиц: dL/dt = Mвнешн– производная по времени от момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного начала равна суммарному моменту всех внешних сил относительно того же начала. • dLz/dt = Mz – уравнение моментов относительно неподвижной оси 0Z. Если Mz = 0, то Lz = const
Закон сохранения момента импульса • Если момент импульса внешних сил относительно неподвижного начала равен нулю, то момент импульса относительно того же начала остаётся постоянным. • Если момент импульса внешних сил относительно какой либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса относительно той же оси остаётся постоянным.
Задача про конический маятник. • Обычный конический маятник – шарик движется в горизонтальной плоскости • Необычный конический маятник (см. рис)V0 = ? • Mz = 0 Lz = const lsinθmv0 = lmv • Закон сохранения энергии:½mv02 = ½ mv2 + mglcosθ v0 = (2gl/cosθ)1/2
Задача на законы сохранения импульса, момента импульса и энергии замкнутой системы (№ 6.7) • Закон сохранения импульса: mv0 = mv + 3mvc • Закон сохранения момента импульса относительно O:0 = 0 + L’ + lpc = - 2mv’l + 3mvc,, v’ = ωl • Закон сохранения энергии:½mv02 = ½ mv2 + ½ (3m)vc2 + 2 (½ mv’2) Ответ:v1 = -2v0/11; v2 = vc = 4v0/11; v3 = +10v0/11; v = - v0/11; ω = v’/l = 6v0/11l
Движение частицы в центральном поле сил • Центральная силазависит только от расстояния r до силового центра и направлена вдоль r : F = F(r)r/r • Центральная сила не создаёт момента, т.к.плечо центральной силы относительно центра поля равно нулю. • В поле центральной силыдля частицы L = const. • Траектория частицы – плоская кривая, перпендикулярная Lи проходящая через силовой центр 0. • Секториальная скорость частицы dS/dt = L/2m = const: за равные промежутки времени радиус-вектор заметает равные площади (закон площадей).
Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции. • При вращении частицы по окружности:L = mvr = mr2ω • Для системы частицL = Σmir2ω = Iω • I – момент инерции системы относительно оси равен сумме масс частиц на квадраты расстояний до оси вращения: I = Σmir2 • При вращении системы момент её импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно оси на угловую скорость: L = Iω • Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси: d(Iω)/dt = M. • Если момент внешних сил M относительно оси вращения равен нулю, то вращательный импульс сохраняется: Iω = const
Условие равновесия твёрдого тела Тело будет оставаться в покое, если: • Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна нулю: F = ΣFi = 0 • Суммарный момент сил относительно любой точки равен нулю:M = ΣMi = 0
Поступательное движение v – линейная скорость a = dv/dt – линейное ускорение m – масса p = mv – импульс F - сила dp/dt = ma = mdv/dt = F K =mv2/2 = p2/2m dA = Fds Вращательное движение ω – угловая скорость ε = dω/dt – угловое ускорение I – момент инерции Lz = Iωz– момент импульса M – момент силы dL/dt = Iε = Idω/dt = M K =Iω2/2 = Lz2/2I dA = Mdφ Поступательное и вращательное движения.
Как изменяется скорость и чему равна работа демонстратора на скамье Жуковского • L = constω2/ω1 = I1/I2 = (I0 + 2mr12)/(I0 + 2mr22) = K2/K1 • A = K2 – K1 = L2/2I2 – L2/2I1 = L2/2 {1/(I0 + 2mr22) - 1/(I0 + 2mr12)} • I0 – момент инерции скамьи+человека без гирь2mr2 – момент инерции двух гирь
Пульсар – быстро вращающийся объект: T = 10-3 - 1 c • Плотность вещества ρ~ 1014г/см3– (плотность ядерного вещества) • Плотность Солнца ρ0~ 1,4г/см3 • Период обращения Солнца T0 = 25,5 сут. • Если Солнце сожмётся до пульсара, то период его вращения будет: T ≈ T0(ρ0/ρ)2/3 = 1,3 10-3 с = 1,3 мс. ν~ 800 об/с (!) • Радиус такого пульсара r ~ 18 км
Скамья Жуковского. • С помощью одних только внутренних движений можно повернуть лабораторию на любой угол (!) при неизменном расположении тел в лаборатории.
