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第七章 梁弯曲时的位移

第七章 梁弯曲时的位移. §7–1 梁的位移－挠度及转角. §7–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分. §7–3 按叠加原理计算梁的挠度和转角. §7–5 梁的刚度校核 · 提高梁的刚度的措施. §7–6 梁内的弯曲变形能. θ （转角）. x. w （挠度）. y. §7 －１ 梁的位移－挠度及转角. 一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 w 表示。在图示坐标系中，向下的挠度为正，反之为负。　　. 二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用  表示，顺时针转动为正， 反之为负。　　　.

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第七章 梁弯曲时的位移

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  1. 第七章 梁弯曲时的位移 §7–1 梁的位移－挠度及转角 §7–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §7–3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 §7–5 梁的刚度校核· 提高梁的刚度的措施 §7–6 梁内的弯曲变形能

  2. θ（转角） x w（挠度） y §7－１梁的位移－挠度及转角 一、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用 w表示。在图示坐标系中，向下的挠度为正，反之为负。　　 二、转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。　　　

  3. 三、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： w =f（x） 四、转角与挠曲线的关系：

  4. x M M M>0 w x M M M <0 w x M<0 §7－2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程 由曲率与挠度的关系： 而曲率可写作： 由上两式可得：

  5. 与 在图示坐标系中， 总是符号相反，故 （5-1） 在小变形情况下， 所以，有： 式（5-2）就是挠曲线近似微分方程。 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：

  6. A B wB=0 wA=0 B A wA=0 θA=0 二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1、微分方程的积分 积分一次， 积分两次， 2、位移边界条件 、支座约束条件：

  7. P A B C wC左= wC右， θC左=θC右 F A x B l y ②、变形连续条件： 例 7-1：图示一弯曲刚度为EI 的悬臂梁，在自由端受一集中力 F 作用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。

  8. 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程。  写出微分方程并积分。 ，  应用位移边界条件求积分常数 C1=0，C2=0 得 由

  9. ④ 写出转角方程及挠曲线方程。 ⑤ 求最大挠度和最大转角。在自由端处，有

  10. P B A x C a b l y 例 7-2：图示一弯曲刚度为EI 的简支梁，在D点处受一集中力 F 作用，试求梁的挠曲线方程，并求C点挠度及A截面转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程。 AC段弯矩方程为： BC段弯矩方程为：

  11.  写出微分方程并积分。 AC段: （a） （b） BC段: （c） （d）

  12.  应用位移边界条件求积分常数 支座约束条件： 位移连续条件： 得： ④ 写出转角方程及挠曲线方程。

  13. AC段: ： BC段: ：

  14. ⑤ 求指定截面的位移。 C点的挠度： A截面的转角：

  15. §7－3 按叠加原理计算梁的挠度和转角 一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的效应等于每个载荷单独作用于结构而引起的效应的代数和。 二、用叠加法作内力图 步骤： ①分别求出各项荷载单独作用下梁的位移； ②将其相应的位移叠加即可。

  16. 例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。 Me A B C Me l A B A B 解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。

  17. Me A B C Me l A B A B 例题7-4 一弯曲刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度和支座处横截面的转角。 解：此梁上的荷载可以分为 两项简单荷载，如图所示。

  18. 例题7-5试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的简支梁的跨中点的挠度和支座处横截面的转角。例题7-5试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的简支梁的跨中点的挠度和支座处横截面的转角。 A B C l/2 l A B A 解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加，如图所示。 正对称荷载作用下： B

  19. A B C l/2 l B A B A 反对称荷载作用下： 所以：

  20. 2q C B D A a 2a a 2q 2qa qa2 A C w2 w1 B D B qa2 2qa 例题7-6试按叠加原理,求图示弯曲刚度为EI的外伸梁截面B的转角以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。

  21. B C wDq θBq D wDM C θBM B D qa2 解：将梁沿B截面截开，如图所示，看成一悬臂梁和简支梁。 则：

  22. q A x B l y §7－5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施 一、梁的刚度条件 例题5-8 图示悬臂梁AB，承受均布荷载 q 的作用。已知：l=3m，q=3kN/m，，梁采用20a号工字钢，其弹性模量E=200GPa，试校核梁的刚度。

  23. 解：查得工字钢的惯性矩为: 梁的最大挠度为： 满足刚度要求。 二、提高梁刚度的措施 1.增大梁的弯曲刚度 2.调整跨长和改变结构

  24. §7－6 简单超静定梁的求解 一、概念 1. 静定梁：支座反力和内力仅用静力平衡条件 就可全部确定的梁。 2. 超静定梁：支座反力和内力仅靠静力平衡条件不能全部确定的梁。 3. 超静定次数：多余约束的数目。 二、超静定梁的求解－变形比较法。 1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。

  25. q B A l q B A FB q B A wBq wBF A B RB 2、举例 解：、建立基本静定系 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构——基本静定系。 、几何方程——变形协调方程

  26. q B A l q B A FB q B A wBq wBF A B RB 、物理方程——变形与力的关系 、补充方程 求得： 、求解其它问题（反力、应力、变形等）

  27. D 2q l C B A 2a a 例题7-7 一外伸梁承受如图所示的荷载，A端用一钢杆AD与梁连接。在梁承受荷载前，杆AD内没有内力。已知梁与拉杆用同样的钢材制成，材料的弹性模量为E，梁的横截面惯性矩为I，拉杆的横截面面积为A，其余尺寸见图。试求钢杆AD的拉力FN。

  28. D 2q FN C A wA B FN A1 2q C wAq B FN C B 解：、建立基本静定系。 、几何方程——变形协调方程 wAF

  29. 、物理方程——变形与力的关系 D 2q FN C A wA B FN A1 2q C wAq B FN wAF C B

  30. 、补充方程 求得：

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