Sündmuste korrutis

1. Sündmuste korrutis

2. P(AB) = 2/9, Tinglik tõenäosus Olgu fikseeritud mingi katse ning A ja B suvalised katsega seotud sündmused tõenäosustega P(A) ja P(B). Olgu veel P(B)  0. Sündmuse Atinglikuks tõenäosuseks tingimusel B nimetatakse sündmuse A tõenäosust eeldusel, et sündmus B toimus ja tähistatakse P(AB) või P(A / B) või P(A \ B). Näide Urnis on 3 võiduga ja 7 võiduta loteriipiletit. Sündmuseks B on võiduga pileti tõmbamine 1. katsel (piletit tagasi ei panda). Sündmuseks A on võiduga pileti tõmbamine teisel katsel. Sündmuse A tõenäosus on juhul, kui toimus sündmus B (ehk tingimusel B) 2/9, vastupidisel juhul (kui sündmus B ei toimunud, ehk esimesel katsel tõmmati välja võiduta pilet) aga 3/9.

3. Sõltuvad ja sõltumatud sündmused Sündmust A nimetatakse sõltuvaks sündmusest B, kui sündmuse A tõenäosus oleneb sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest. Sündmust A nimetatakse sõltumatuks sündmusest B, kui kehtib seos P(A | B) = P(A) ning sündmus A sõltub sündmusest B kui P(A | B) P(A). Näited Kui viskame täringut kaks korda järjest, siis teisel katsel saadavate silmade arv (sündmus A) ei sõltu esimesel katsel saadavast silmade arvust (sündmus B). “Ochkod” (“Blackjack’i”) mängides tõmmatakse kaardipakist järjest kaarte neid tagasi panemata. Iga järgmise kaardi tõmbamisel sõltub saadav silmade arv sellest, millised kaardid on juba välja tõmmatud.

4. Tõenäosuste korrutamislause Kahe mistahes sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne ühe osasündmuse tõenäosuse ja teise osasündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega:P(AB) = P(A)·P(B | A) = P(B)·P(A | B) Tõestus (klassikalise tõenäosuse definitsiooni puhul): Olgu n mingi katse kõikide võrdvõimalike juhtude arv ning A ja B mingid selle katsega seotud sündmused. Leiame sündmuse A tingliku tõenäosuse tingimusel B. Selleks tuleb sündmuse AB toimumiseks soodsate juhtude arv k jagada sündmuse B toimumiseks soodsate juhtude arvuga m (kuna eeldame sündmuse B toimumist): Analoogselt tõestatakse ka, et P(AB) = P(A)·P(B|A).

5. Kui sündmused A ja B on sõltumatud, siis P(A|B) = P(A) ja tõenäosuste korrutamislausest järeldub, et Tõenäosuste korrutamislause üldistus: Kui n sündmust on sõltumatud, siis: Sõltumatute sündmuste korrutis Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on võrdne osasündmuste tõenäosuste korrutisega.

6. Tõenäosuste liitmislause kohaselt (1) ja korrutamislausest Asendame valemis (1) üksikud liidetavad viimase võrduse parema poolega. Saame täistõenäosuse valemi: Täistõenäosuse valem. Moodustagu sündmused B1 , ... , Bn (hüpoteesid) täieliku sündmuste süsteemi tõenäosustega P(B1), ... , P(Bn). Mõnega (või kõigiga) sündmustest Bi kaasneb sündmus A, kusjuures A tinglik tõenäosus tingimusel Bi on P(A | Bi). Siis

7. Lahendus Tähistame sündmused järgnevalt: A: võidu saamine esimese piletiga;B: võidu saamine teise piletiga;C: võidu saamine kolmanda piletiga. Sündmus “Kolme pileti järjestikusel võtmisel saadakse ainult võidud” on nüüd väljendatav sündmuste A, B ja C korrutisena: ABC. Tõenäosuste korrutamislause üldistuse põhjal: Selles valemis esinevad tinglikud tõenäosused tähendavad: : P(“Teise piletiga saadi võit, juhul kui võit saadi ka esimese piletiga”); : P(“3. piletiga saadi võit, juhul kui võit saadi ka kahe esimese piletiga”). Näide 1 Loosirattas olevast sajast piletist võidavad kümme. Kui tõenäone on kolme pileti järjestikusel võtmisel ainult võitude saamine? Vastus. Kolme järjestikuse võidu saamise tõenäosus on 0,000742.

8. Lahendus Tähistame sündmused järgnevalt: A: juhuslik tudeng sooritab eksami;B1: tudeng on 1. grupist;B2: tudeng on 2. grupist;B3: tudeng on 3. grupist. Eksamile tuleb üliõpilasi kolmest grupist. 1. grupis on 7, teises 6 ja kolmandas 8 tudengit. Esimese grupi tudeng sooritab eksami tõenäosusega 0,9, teise grupi tudeng tõenäosusega 0,8 ja kolmanda grupi tudeng tõenäosusega 0,95. Millise tõenäosusega sooritab eksami juhuslikult sisseastunud tudeng? Näide 2 Sündmus A saab kaasneda suvalisega sündmustest B1, B2, B3 (tudengid saavad olla vaid nimetatud kolmest grupist). Täistõenäosuse valemi kohaselt: Vastus. Suvaline tudeng sooritab eksami tõenäosusega 0,89.

9. täistoenäosuse valem Bayesi valem. Olgu antud hüpoteeside täielik süsteem H1 ,... , Hn ning olgu teada nende hüpoteeside tõenäosusedP(H1), ... , P(Hn). Tehakse katse, mille tulemuseks on mingi sündmus A, mille tinglikud tõenäosused P(A|H1), ... P(A|Hn) olgu teada. Siis avaldub hüpoteesi Hi tinglik tõenäosusBayesi valemi kujul: Tõestus. Korrutamislause põhjal millest mida oli vaja näidata.

10. Lahendus Tähistame sündmused järgnevalt: A: musta masti tõmbamine;H1: kaart on 1. pakist;H2: kaart on 2. pakist; H3: kaart on 3. pakist; 36-st kaardist koosnev kaardipakk jagati kolmeks: esimeses 10 kaarti, neist 6 musta masti, teises 12 kaarti, neist 7 musta masti ja kolmandas 14 kaarti, neist 5 musta masti. Juhuslikust pakist valiti juhuslik kaart, see osutus mustaks. Millised on tõenäosused, et kaart pärineb esimesest, teisest või kolmandast pakist? Näide 3 Tõenäosus, et kaart pärineb 1. pakist, eeldusel, et kaart on musta masti: P(“must mast on pärit 2. pakist”): P(“must mast on pärit 3. pakist”):

11. Lähteülesanne: Leida tõenäosus, et n sõltumatu katse korral esineb sündmus A täpselt m korda, kui igal katsel on sündmuse A tõenäosus P(A)=p. Sündmuse A vastandsündmuse tõenäosus: Lisaks sündmusele B võime m katsetulemust A “kombineerida” n erinevale positsioonile erineval viisil. Tõenäosuste liitmislause põhjal: Bernoulli valemi tuletamine. Lahenduskäik: n katsest koosneva seeria korral on üheks võimaluseks sündmuse A m-kordseks esinemiseks järgmine tulemus: Katsete sõltumatuse eelduse tõttu on sündmuse B tõenäosus:

12. Näide 4 Leida mündi 10-kordsel viskamisel vapi 4 korda esinemise tõenäosus. Bernoulli valem. Saadud valemit nimetatakse Bernoulli valemiks. • kui m = n, siis Pn,n = pn • kui m = 0, siis P0,n = qn Erijuhud: Lahendus Siin p = q = 0,5 ja Bernoulli valemi põhjal

13. On antud: n = 4;p = 0,8;q = 1 – p = 1 – 0,8 = 0,2. Arvuti mitteriknemise tõenäosus garantiiaja jooksul on 0,8. Leida 4 aparaadi korral tõenäosus selleks, et garantiiremonti ei vaja 0, 1, 2, 3, 4 arvutit. Näide 5 Lahendus Bernoulli valemist leiame:

14. Lähteülesanne: Leida, millise sagedusega esineb sündmus A n katsest koosnevas sõltumatute katsete seerias kõige tõenäosemalt. Lahendus Tuleb leida sageduse väärtus m0, mille korral Bernoulli valemi kohaselt arvutatud tõenäosus Pm,n on maksimaalne: (1) ja Esimesest võrratusest: q p n-m0 m0+1 1 Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv.

15. (2) Näide 6 Hobuste traavivõistlustel võidab hobune nimega “Hõbevälk” tõenäosusega 0,4. Milline on kõige tõenäosem “Hõbevälgu” võitude arv viieteistkümnes sõidus? Tõenäoseim sündmuse toimumiste arv. Teisest võrratusest grupist (1) saame analoogselt: Kokkuvõttes oleme leidnud, et kõige tõenäosemalt esinev sagedus on: Lahendus Siin p = 0,4, q = 0,6 ja n = 15. Valemi (2) põhjal Vastus. “Hõbevälgu” tõenäoseim võitude arv on 6.