第二章 正投影基础

1. 第二章 正投影基础

2. §1 投影法 物体在光源的照射下会出现影子。 投影的方法就是从这一自然现象抽象出来，并随着科学技术的发展而发展起来的。

3. 中心投影法 投影法 正投影法 平行投影法 斜投影法 常用的投影法有两大类： 中心投影法和平行投影法。

4. 1.1 中心投影法 投射中心 S 投射线 投影 a 投影面H c b 中心投影法： 投射线均通过投射中心。 投影特性： 如改变△ABC与投射中心或投影面之间的距离，则其投影△abc的大小也随之改变，度量性较差。 A C B 规 定 大写字母表示空间点; 小写字母表示 相应空间点的投影。 在投射中心确定的情况下，空间的一个点在投影面上只存在唯一一个投影。

5. 1.2 平行投影法 S S H H 如果把中心投影法的投射中心移至无穷远处，则各投射线成为相互平行的直线，这种投影法称为平行投影法。 斜投影法 投射方向S 倾斜于投影面H 正投影法 投射方向S 垂直于投影面H

6. 平行投影的投影特性： 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。 工程图样大多数采用平行投影法的正投影法。

7. 1.3 平行投影的基本性质 • 1.同素性 • 2.从属性不变 • 3.平行性不变 • 4.简单比不变 • 5.相仿性 特殊情况下：积聚性、全等性。

8. 1.3.1 同素性 点的投影是点， 直线的投影一般仍是直线。

9. 1.3.2 从属性不变 若点在直线上，则该点的投影一定在该直线的投影上。 即C在AB上，则c在ab上。

10. 1.3.3 平行性不变 两平行直线的投影一般仍平行。 AB/CD=ab/cd

11. 1.3.4 简单比不变 一条直线上任意三个点的简单比是平行投影的不变量。 AC/BC= ac/bc

12. 1.3.5 相仿性 一般情况下，平面形的投影都要发生变形，但投影形状总与原形相仿，即平面投影后，与原形的对应线段保持定比性，表现为投影形状与原形的边数相同、平行性相同、凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变。

13. 伸缩系数k：投影长与线段原长之比。 k =ab/AB =cosα

14. 特殊情况下，平行投影还具有以下性质。 1.积聚性 当直线平行于投射方向S 时，直线的投影为点；当平行图形平行于投射方向S 时，其投影为直线。

15. 2.全等性 当线段平行于投影面H 时，其投射长度反映线段的实长；当平面图形平行于投影面H 时，其投影与原平面图形全等。

16. V B1 B2 b ● ● B3 ● ● §2 点的投影 点是最基本的几何元素，下面用点的投影说明正投影的规律。 仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。 如何解决？ 需要增加投影面。 为了确定几何元素的空间位置，需要建立正投影的投影面体系。

17. 2.1 投影面体系与投影轴 三投影面体系： 用三个相互垂直的投影面构成投影面体系。

18. V Z X O W H Y 三投影面体系： 水平投影面（H面） 正面投影面（V面） 侧面投影面（W面） 两投影面相交， 其交线称为投影轴： V ∩ H = OX轴 H ∩ W = OY轴 V ∩ W = OZ轴

19. 2.2.1 点的投影 a ● a 点A的水平投影。 A a ● ● X a 点A的正面投影。 O a ● Y a 点A的侧面投影。 2.2 点的投影及影射规律 Z V W 规定： 空间点用大写字母表示，点的三个投影都用同一个小写字母表示。其中H 投影不加撇，V 投影加一撇，W 投影加两撇。 H

20. a z a Z x ● a a  a z ● ● V x W ● ● a a YW X O y a y a ● a ● y YH H 投影面展开 Z 向右翻 不动 V a ● a A ● ● X W O a ● H Y 向下翻

21. ● x Z z a a  a ● y a YW X O a a a ● y YH 在投影时，投影的大小不受限制，通常不必画出投影面的边框。

22. ● x a z a a y a y 2.2.2 点的投影规律 1、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X轴；aa⊥OX轴。 Z 2、V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直Z轴；aa⊥OZ轴。 a  a ● YW O X 3、H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。 a ● YH 其中W面上的一段垂直OYW，H面上的一段垂直OYH，中间可用折线、45。斜线或以O为圆心的圆弧联系起来。

23. ● x Z a a  a z ● a X YW O a y a a ● y YH aax= aay= z = A 到H 面的距离 aay = aaz= x = A 到W 面的距离 aax= aaz= y = A 到V 面的距离

24. a z a x ● ● x Z a z ● ● a y a  a ● ● a y a X YW O a y a ● YH 小 结： Z 1、点的投影连线垂直于相应的投影轴。 V a ● a A ● ● X W O a ● H Y 2、点的投影到投影轴的距离等于空间点到投影面的距离。

25. c ● cx cyw cyH ［例1］已知点C的两个投影c和c， 求作其水平投影c。 Z cz c ● 通过作45°转宽线使ccz=ccx Yw o X c ● YH

26. 2.3 点的投影和坐标 点的每个投影反映两个坐标： V 投影反映高标和横标(a′aX和a′aZ)， H 投影反映纵标和横标(aaX和aaYH )， W 投影反映高标和纵标(a″aYW和a″aZ)。

27. 2.4 各种位置点的投影 2.4.1 一般位置点（X、Y、Z） 2.4.2 特殊位置点 1)投影面上的点：V 面上点（X、0、Z） H 面上点（X、Y、0） W 面上点（0、Y、Z） X轴上点（X、0、0） Y轴上点（0、Y、0） Z轴上点（0、0、Z） 2)投影轴上点: 3)原点上的点: （0、0、0 ） 注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。

28. 各种位置点的投影

29. 左 右 后 前 上 上 下 下 后 前 左 右 2.5 两点的相对位置和重影点 2.5.1 两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 判断方法： X 坐标大的在左 Y 坐标大的在前 Z 坐标大的在上

30. b b bz ● ● 8 12 bx by 10 ● b by ［例2］如图，已知点A 的三投影，另一点B 在 点A 上方8 mm，左方12 mm，前方10 mm处， 求:点B 的三个投影。 作图步骤： Z 1）在a′左方12 mm ， 上方8 mm 处确定b′； a az a ax O YW X 2）作b′b⊥OX 轴，且在a 前10 mm 处确定b ； ay a ay 3）按投影关系求得b″。 YH

31. 2.5.2 重影点 当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

32. 点A、B 在对H 面的同一条投射线上，它们在H 面的投影重合，称为对H 面的重影点。而点C、A则称为对W 面的重影点。

33. a1  a1 V1 ● V1 ax1 X1 — H O1 X1 ax1 V 新投影体系 旧投影体系 X— H H V1 X1 2.6 点的换面 2.6.1 点的一次换面 (1)换V 面 A 点的两个投影：a,a1 a  A 点的两个投影 a，a ax V o X H a V A  a   ax  X a H

34. a1 ● H V1 X1 新旧投影之间的关系 a  一般规律： a1 a V A V ax   O X V1  H ax a O1 ax1   X a ax1 H X1 1)点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。aa1X1 2)点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。a1ax1=aax

35. . O1 a  a1  ax V X H H1 a V X1  (2)换H 面 ax1 O

36. 求新投影的作图方法： 作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。

37. X2 a2 ax2 H2  V1 a1  ax1 X1 V1 X1— H 先把V面换成平面V1，V1H，得到中间新投影体系: V1 X2— H2 再把H面换成平面H2，H2V1，得到新投影体系: 2.6.2 点的两次换面 ⑴ 新投影体系的建立 按次序更换 V a  A  ax X  a H

38. # O2 X1 H a2 V1 *  * ax2 . . ax1 # H2 V1 O1 X2  a1 ⑵ 求新投影的作图方法 a  二次换面作图步骤： 1）定出新投影轴O1X1； V ax 2）根据点的换面规律，求出新投影a1； X o 3）作新投影轴O2X2； H 4）根据点的换面规律，求出新投影a2; a  5）a2即为变换后的新投影。 作图规律：a2a1X2轴；a2ax2=aax1

39. a a ● ● b b ● ● a ● ● b §3 直线的投影 3.1 直线的投影 一般情况下，直线的投影仍为直线。 两点确定一条直线，将直线上两点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的三个投影。 Z o X YW YH 直线的投影规定用粗实线绘制。

40. 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 垂直于某一投影面 与三个投影面都倾斜的直线 3.2 各种位置直线 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 一般位置直线

41. 3.2.1 一般位置直线 直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα ab = AB cosβ ab=AB cosγ

42. 一般位置直线投影特性 各投影的长度均小于直线本身的实长。 直线的各投影均不平行于各投影轴。

43. 实长 实长 a a Z Z a b a a b a γ β b X X b α X α b b YW YW a a β γ b a 实长 b b YH YH 3.2.2 投影面平行线 水平线 正平线 侧平线 Z YW YH 与H面的夹角:α 与V 面的夹角:β 与W面的夹角:γ 投 影 特 性 1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面的真实倾角。 2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。

44. 名称 立体图 投影图 投影特性 (1)ab∥OX,ab∥OYW(2)ab=AB ；(3)反映夹角、大小。 水平线 (∥H） (1)ab∥OX,ab∥OZ(2)ab =AB(3)反映夹角、 大小。 正平线 (∥V ) (1)ab∥OYH,ab∥OZ；(2)ab=AB(3)反映夹角、大小。 侧平线 (∥W ) 投影面平行线

45. 正垂线 铅垂线 侧垂线 ● ● c(d) c d e(f) f e a a Z Z Z b b X o X YW d o X ● YW o YW e f c a(b) YH YH YH 3.2.3 投影面垂直线 投 影 特 性 （1） 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 （2） 另外两个投影, 反映线段实长， 且垂直于相应的投影轴。

46. 名称 立体图 投影图 投影特性 (1) H 投影为一点，有积聚性；(2) ab OX , abOYW；(3) ab=ab =AB 铅垂线 （H） (1) V 影为一点， 有积聚性；(2) abOX ,abOZ；(3) ab=ab =AB 正垂线 （V） (1) W 投影为一点，有积聚性；(2) Ab  OYH,ab OZ；(3) Ab =ab =AB 侧垂线 （W） 投影面垂直线

47. 3.3 直线上的点 3.3.1 点和直线的从属关系 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。如图所示，C∈AB ，则有c ∈ab ，c′∈a′b′，c″∈a″b″。 从属性 反之，如果点的各个投影均在直线的同面投影上，则点在直线上。 在图中，C点在直线AB上，而D、E两点均不满足上述条件，所以都不在AB直线上。

48. c ● ● ● ［例1］判断点C是否在线段AB上。 Z a a c b b o X YW a c 　　因c不在ab上，故点C不在AB上。 b YH 另一判断法? 应用简单比定理

49. b c b V a c B b a c C a X X A b c a H 3.3.2 点分割线段成定比　 直线上的点分割线段之比等于其投影之比。即： AC/CB=ac/cb=ac/cb 定比定理

50. ［例２］试在AB 线段上取一点C ，使AC∶CB＝1∶2 ， 求 :分点C 的投影。 作图步骤： 1）过a(或b)任作一直线aB1（或 bB1) ； b c 2）在aB1上取C1， 使aC1∶C1B1＝1∶2； a X b 3）连接B1、b； c a 4）过C1作C1c∥B1b，与ab交于c ； 5）过c作X轴的垂线与a′b′交于c 。则c 、c′即所求分点C 的投影。 C1 B1 分析： 分点C 的投影，必在AB 线段的同面投影上，且 ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2 　　　 可用比例作图法作图。