５図形と合同

５図形と合同 ２章　平行四辺形 §１　平行四辺形　　　　　　　　（５時間）

§１平行四辺形 《平行四辺形をかこう》 A D O B C 平行四辺形ABCD を、 ABCD と書くことがある。

《平行四辺形の定義》 平行四辺形の性質　２組の向かいあう辺が、それぞれ平行な四角形を平行四辺形という。 ① 平行四辺形の向かいあう辺は等しい。 ② 平行四辺形の向かいあう角は等しい。 ③ 平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

《平行四辺形の性質①の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AB//DC , AD//BC 【結論】 AB＝DC , AD＝BC B C 【証明】 A D △ABC と△CDA で、 AB//DC だから、 ∠BAC＝∠DCA AD//BC だから、 B C ∠BCA＝∠DAC また、 AC＝CA １辺両端角(２角夾辺)相等で、 △ABC≡△CDA AB＝CD , BC＝DA よって、

《平行四辺形の性質②の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AB//DC , AD//BC 【結論】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D B C 【証明】 A D 性質①の証明より △ABC≡△CDA だから、 ∠B＝∠D ∠BAC＝∠DCA , ∠BCA＝∠DAC だから、 B C ∠BAC＋∠DAC＝∠DCA＋∠BCA ∠BAD＝∠DCB

《平行四辺形の性質②の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AB//DC , AD//BC 【結論】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D B C 【証明】 A D 性質①の証明より △ABC≡△CDA だから、 ∠B＝∠D ∠BAC＝∠DCA , ∠BCA＝∠DAC だから、 B C ∠BAC＋∠DAC＝∠DCA＋∠BCA ∠BAD＝∠DCB ∠A＝∠C

《平行四辺形の性質②の証明２》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AB//DC , AD//BC 【結論】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D B C 【証明】 A D 辺AB の延長上に点E、辺BC の延長上に点F をとって、 ∠A＝ ∠CBE　（同位角） B ＝∠BCD　（錯角） C F E ＝∠C ∠B＝ ∠ABC ＝∠DCF　（同位角）＝∠DCF　（錯角）

《平行四辺形の性質③の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AB//DC , AD//BC O 【結論】 AO＝CO , BO＝DO B C 【証明】 A D △ABOと△CDOで、 AB//DC だから、 O ∠BAO＝∠DCO ∠ABO＝∠CDO B C 平行四辺形の向かいあう辺は等しいので、 AB＝CD １辺両端角(２角夾辺)相等で、 △ABO≡△CDO よって、 AO＝CO , BO＝DO だから、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

A D 《平行四辺形になる条件》　次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 B C ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm A D B C

A D 《平行四辺形になる条件》　次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 B C ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい。 AB＝DC＝4cm , AD＝BC＝6cm

A D 《平行四辺形になる条件》　次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 B C ② 向かいあう角が、それぞれ等しい。 ∠A＝∠C＝110º , ∠B＝∠D＝70º D A B C

A D 《平行四辺形になる条件》　次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 O B C ③ 対角線が、それぞれの中点Oで交わる AO＝CO＝3cm , BO＝DO＝5cm D A O C B

A D 《平行四辺形になる条件》　次のような四角形ABCD を、かいてみよう。 B C ④ １組の向かいあう辺が、等しくて平行である AD//BC , AD＝BC＝6cm A D B C

《平行四辺形になる条件①の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AB＝DC , AD＝BC 【結論】 AB//DC , AD//BC B C 【証明】 A D △ABC と△CDA で、 AB＝CD BC＝DA AC＝CA また、 B C ３辺相等で、 A D △ABC≡△CDA よって、 ∠BAC＝∠DCAだから、 AB//DC また、 ∠ACB＝∠CADだから、 B C AD//BC

《平行四辺形になる条件②の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D 【結論】 AB//DC , AD//BC B C 【証明】 E 辺AB の延長上に点E をとる。 ∠A＝∠C , ∠B＝∠D だから、 ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360ºだから、 ∠A＋∠B＝180º また、∠B＋∠CBE＝180ºだから、 ∠A＝∠CBE よって、同位角が等しいので、 AD//BC また、∠C＝∠A＝∠CBE で、錯角が等しいので、 AB//DC

《平行四辺形になる条件③の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AO＝CO , BO＝DO O 【結論】 AB//DC , AD//BC B C 【証明】 A D △ABOと△CDOで、 AO＝CO BO＝DO O ∠AOB＝∠COD（対頂角） B C ２辺夾角相等で、 △ABO≡△CDO よって、 AB＝CD ････････① 同じようにして、△ADOと△CBOで、 △ADO≡△CBO よって、 AD＝CB ････････② ①、②から、条件①より、四角形ABCD は、平行四辺形である。

《平行四辺形になる条件④の証明》 A D 四角形ABCD で、【仮定】 AD//BC , AD＝BC 【結論】 AB//DC , AD//BC B C 【証明】 A D △ABC と△CDA で、 BC＝AD ････････① AC＝CA ∠ACB＝∠CAD B C ２辺夾角相等で、 △ABC≡△CDA よって、 AB＝CD ････････② ①、②から、条件①より、四角形ABCD は、平行四辺形である。

平行四辺形になる条件 四角形は、次の各場合に平行四辺形である。 ○ ２組の向かいあう辺が、それぞれ平行であるとき　（定義） ① ２組の向かいあう辺が、それぞれ等しいとき ② ２組の向かいあう角が、それぞれ等しいとき ③ 対角線が、それぞれの中点で交わるとき ④ １組の向かいあう辺が、等しくて平行であるとき

《P126 解答⑦》 (1) (2) (3)

《例題①》 A D ABCD の対角線の交点をOとすると、 S P AO＝CO ････････① O ････････② BO＝DO Q R ①とAP＝CQから、 B C PO＝QO ････････③ ②とBR＝DSから、 RO＝SO ････････④ ③、④から、対角線が、それぞれの中点で交わるので、四角形PRQSは平行四辺形である。

《P126 解答⑧》 A M D B N C

《長方形、ひし形、正方形》 ・長方形、ひし形、正方形の定義平行四辺形長方形４つの角が等しい四角形長方形ひし形ひし形４つの辺が等しい四角形正方形正方形４つの角が等しく、４つの辺が等しい四角形・長方形、ひし形、正方形は平行四辺形である長方形２組の向かいあう角が、それぞれ等しい　　　　　（平行四辺形になる条件②）ひし形２組の向かいあう辺が、それぞれ等しい　　　　　（平行四辺形になる条件①）正方形平行四辺形になる条件①または②より

・長方形、ひし形、正方形の対角線 対角線についての性質 A D A A D B D O O O B C C B C ① 長方形の対角線の長さは等しい。 ② ひし形の対角線は垂直に交わる。 ③ 正方形の対角線の長さは等しく、垂直に交わる。

《P127 練習解答①》 (1) A D B C (2)

END

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