第二节函数的求导法则

第二章 第二节函数的求导法则一、四则运算求导法则二、反函数的导数三、复合函数的导数四、初等函数的求导问题五、小结思考判断题

思路: ( 构造性定义) 本节内容求导法则证明中利用了两个重要极限其它基本初等函数求导公式初等函数求导问题

一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母且为 0的点外) 都在点 x可导, 下面证明,并同时给出相应的推论和例题 .

证: 设 , 则故结论成立. 此法则可推广到任意有限项的情形.

(2) 则有证:设故结论成立. 推论: ( C为常数 )

例1. 解:

(3) 则有证:设故结论成立. 推论: ( C为常数)

例2.求证 证: 类似可证:

二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 由反函数的单调性知在x处给增量因此且由反函数的连续性知

例3.求反三角函数及指数函数的导数. 解:1)设则 , 则利用类似可求得

特别当 时, 则 2) 设小结:

（当时 ) 三、复合函数求导法则定理3. 在点x可导, 在点复合函数且可导在点x可导, 故证: 在点u 可导, 故有

例5. 求的导数. 例4. 求 y = sin x2 的导数. 设 y = sinuu= x2 解解设

推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如, 关键:搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.

例6.求下列导数: 解:(1) (2) (3) 说明:类似可得

这两个记号含义不同 例7. 设求解: 思考:若存在,如何求的导数? 练习:设

例8. 设 解: 则记的反函数 (反双曲正弦) 其它反双曲函数的导数见P94例16.

四、初等函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数(P94)

2. 有限次四则运算的求导法则 ( C为常数) 3. 复合函数求导法则说明: 最基本的公式其它公式由定义证 , 4. 初等函数在定义区间内可导, 用求导法则推出. 且导数仍为初等函数

例9. 求解: 求设例8.

求例10. 解: 关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导

例11. 设 求

例12. 分段函数求导时,分界点导数用左右导数求. 解

例13. 解练习：

内容小结 求导公式及求导法则 (见P94) 注意:1) 2) 搞清复合函数结构,由外向内逐层求导. 思考与练习 1. 对吗?

2.设 其中在处连续, 在求时, 下列做法是否正确? 因故正确解法: 阅读L.P 51 例1

3.求下列函数的导数 解: (1) (2) 或

4.设 求解:方法1 利用导数定义. 方法2 利用求导公式.

作业 P 96 2(2) , (8) , (10) ; 3 (2) , (3) ; 4 ; 6 (6) ,(8) ; 7 (3) , (7) , (10) ; 8 (4) , (5) , (8) , (10) ; 10; 11 (4) , (8) ; 12 (3) , (8) , (10)

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