§4 拉普拉斯反变换

查表法 部分分式展开法留数法应用拉氏变换的性质 §4 拉普拉斯反变换第五章第2讲

F(s)可展开成 为 n个不相等的单根。部分分式展开法返回用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，一般为有理函数。 • 单极点：D(s)=0的根也称为的极点。第五章第2讲

已知，求 f(t)。例 5.16 反变换公式解：第五章第2讲

F(s)可展开成 部分分式展开法返回 • 多重极点：若D(s)=(s – p1)n, 令n=3 第五章第2讲

例 5.17 反变换公式已知，求 f(t)。解：第五章第2讲

部分分式展开法 返回 • 复数极点：若D(s)=(s –-j)(s –+j) , 其根为 p1,2= j F(s)可展开成由于F(s)是S的实系数有理函数，应有第五章第2讲

部分分式展开法复数极点 • 原函数的形式之一第五章第2讲

部分分式展开法复数极点 • 原函数的形式之二第五章第2讲

部分分式展开法复数极点 • 原函数的形式之三第五章第2讲

解一：解得： 例 5.18 反变换公式已知，求 f(t)。第五章第2讲

解二：解得： 例 5.18 反变换公式已知，求 f(t)。第五章第2讲

例 5.18 反变换公式已知，求 f(t)。解三：可得：第五章第2讲

留数法 返回 t<0封闭积分路线 t>0封闭积分路线若sk为单极点，则留数为：若sk为p重极点，则留数为：第五章第2讲

留数法的特点 • 在单边拉普拉斯变换中，留数法与部分分式展开法一致。 • 留数法比部分分式展开法应用广泛一些。如无理函数、双边拉普拉斯变换等。 • 运用留数法反求原函数时应注意到，因为冲激函数及其导数不符合约当引理，因此当原函数 f (t)中包含有冲激函数及其导数时，需先将F(s)分解为多项式与真分式之和，由多项式决定冲激函数及其导数项，再对真分式求留数决定其它各项。第五章第2讲

例 5.19 留数法公式已知，求 f(t)。解：用留数法，在ＡＢ以左围线包含的极点的留数为：第五章第2讲

例 5.20 已知，求 f(t)。解：用留数法，在ＡＢ以右围线包含的极点的留数为：第五章第2讲

例 5.21 留数法公式已知，求 f(t)。解：用留数法，在ＡＢ以左和以右围线各包含一个极点。原函数为：或第五章第2讲

例 5.22 留数法公式已知，求拉氏反变换 f(t)。解一：部分分式展开法第五章第2讲

故有 Res(p2) 故 Res(p1)= 例 5.22 已知，求拉氏反变换 f(t)。解二：留数法 F(s)的一阶极点 p1=-2，二阶极点 p2=-1。第五章第2讲

返回拉普拉斯变换的性质第五章第2讲

应用拉氏变换的性质求反变换 查看性质例 5.23：已知，求拉氏反变换 f(t)。解：应用时移性质：第五章第2讲

例 5.24 已知，求拉氏反变换 f(t)。解：应用时移性质：第五章第2讲

例 5.25 查看性质已知，求拉氏反变换 f (t)。解：应用时域微分性质：第五章第2讲

解：令已知 根据频移特性：根据周期函数的拉普拉斯变换：例 5.26 查看性质已知，求拉氏反变换 f(t)。第五章第2讲

初值定理： • 终值定理：初值定理和终值定理的应用 • 初值定理的应用条件： • F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化成一个整式与一个真分式F0(s)之和。 • 函数f(t)初值f(0+)应等于f 0(0+)的初值。 • 终值定理的应用条件： • F(s)的极点必须位于S平面的左半平面； • F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。第五章第2讲

初值定理和终值定理的应用 求下列各象函数反变换的初值与终值。第五章第2讲

初值定理和终值定理的应用 求下列各象函数反变换的初值与终值。由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故 f(t)不存在终值。第五章第2讲

初值定理和终值定理的应用 求下列各象函数反变换的初值与终值。第五章第2讲

课堂练习题 求下列象函数的拉普拉斯反变换。 (1) (2) (3) 第五章第2讲

课堂练习题 求F(s)拉普拉斯反变换 f (t),并画出它的波形。第五章第2讲

§4 拉普拉斯反变换

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