考纲解读 1 ．了解平面向量的基本定理及其意义． 2 ．掌握平面向量的坐标表示． 3 ．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4 ．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

3. 考纲解读 • 1．了解平面向量的基本定理及其意义． • 2．掌握平面向量的坐标表示． • 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． • 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

4. 考向预测 • 1．平面向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件，是高考考查的重点，也是历年高考的热点． • 2．以选择题、填空题的形式进行考查，以中低档题为主． • 3．向量的坐标运算及共线条件，常与三角、解析几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，以解答题形式出现，属中档题．

6. 知识梳理 • 1．平面向量基本定理及坐标表示 • (1)平面向量基本定理 • 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. • 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 不共线 基底

7. 互相垂直 • (2)平面向量的正交分解 • 把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解． • (3)平面向量的坐标表示 • ①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中叫a在x轴上的坐标，叫a在y轴上的坐标． (x，y) (x，y) x y (x，y) (x，y)

8. 2．平面向量的坐标运算 • (1)加法、减法、数乘运算． • (2)向量坐标的求法 • (3)平面向量共线的坐标表示 • 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a与b共线⇔a＝λb⇔. 起点 终点 x1y2－y1x2＝0

9. (x2－x1，y2－y1) (x1＋x2，y1＋y2) (λx1，λy1) (x1－x2，y1－y2) x1y2－x2y1＝0

10. A．2B．3 • C．4 D．5 • [答案]B

11. 2．(教材改编题)下列各组向量中，可以作为基底的是2．(教材改编题)下列各组向量中，可以作为基底的是 • () • A．e1＝(0,0)，e2＝(2，－3) • B．e1＝(2，－3)，e2＝(5,7) • C．e＝(1，－2)，e2＝(－2,4) • [答案]B • [解析]根据基底的定义知，非零且不共线的两个向量才能可以作为平面内的一组基底．A中显然e1∥e2；C中e2＝－2e1，所以e1∥e2；D中e1＝－2e2，所以e1∥e2.

12. 3．(2011·广东汕头模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()3．(2011·广东汕头模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝() • A．3a＋b B．3a－b • C．－a＋3b D．a＋3b • [答案]B • [解析]设c＝λa＋μb，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，

13. [答案]D

15. [答案]30°

16. 7．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－2b，且u∥v，求x.7．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－2b，且u∥v，求x. • [解析]u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)， • v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)． • ∵u∥v， • ∴由向量平行的充要条件得 • (2x＋1)·3－4(2－x)＝0，

21. [点评](1)本题利用了两次共线的条件，并且注意方程思想的利用；[点评](1)本题利用了两次共线的条件，并且注意方程思想的利用； • (2)解决类似问题应重视平面几何的知识； • (3)用基底表示向量是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，并熟练掌握．

24. [分析]根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式列方程组，求出坐标．[分析]根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式列方程组，求出坐标．

28. [例3]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．[例3]　平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． • (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k； • (2)设d＝(x，y)，满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝1，求d. • [分析](1)由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值． • (2)由两向量平行及|d－c|＝1得出关于x，y的两个方程，解方程组即可得出x，y的值，从而求出d.

29. [解析](1)∵(a＋kc)∥(2b－a)， • 又a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，

31. [点评]1.解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件．[点评]1.解决向量平行有关的问题，一般考虑运用向量平行的充要条件． • 2．向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了容易操作的方法． • 提醒：利用共线向量证明三点共线，有坐标时，只需使三点构成的两个向量的坐标对应成比例或利用共线向量定理．

32. (2009·广东理)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.(2009·广东理)若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________. • [答案](－3,1)或(－1,1) • [解析]考查平面向量的线性运算、共线、模及数量积的坐标表示等． • 设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)， • ∵|a＋b|＝1，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1① • 又∵a＋b平行于x轴，∴a＋b与e1＝(1,0)或e2＝(－1，0)共线，∴y－1＝0，∴y＝1. • 代入①中得x＝－3或－1，∴a＝(－3,1)或(－1,1).

33. (1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？(1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？ • (2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由． • [分析]利用向量相等，建立点P(x，y)与已知向量之间的关系，表示出P点的坐标，然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征，从而解决问题．

36. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．

40. 1．平面向量基本定理 • (1)平面向量基本定理的作用 • 平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了以原点为始点的向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． • (2)用向量证明几何问题的一般思路 • 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明．

41. 特别提醒：(1)零向量不能作为基底． • (2)两个非零向量共线时不能作为平面的一组基底． • 2．对向量a＝(x，y)的理解 • (1)a＝xe1＋ye2(e1，e2分别是x轴、y轴正方向上的单位向量)； • (2)若向量a的始点是原点，则(x，y)就是其终点的坐标．

42. 3．平面向量共线的坐标表示 • (1)需注意的几点

43. ②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(b≠0)的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． • (2)三点共线的判断方法 • 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

44. 请同学们认真完成课后强化作业