1 / 13

Работу выполнили ученики 9 класса Сорокин Сергей, Зайниева Гузель, Зайниев Рафис.

С помощью цифр доказать можно все что угодно. Томас Карлейль. Удивительная вторая степень. Работу выполнили ученики 9 класса Сорокин Сергей, Зайниева Гузель, Зайниев Рафис.

sage-morris
Download Presentation

Работу выполнили ученики 9 класса Сорокин Сергей, Зайниева Гузель, Зайниев Рафис.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. С помощью цифр доказать можно все что угодно Томас Карлейль Удивительная вторая степень Работу выполнили ученики 9 класса Сорокин Сергей, Зайниева Гузель, Зайниев Рафис.

  2. Для разминки рассмотрим пример: куда ни читай, а все квадрат получается (да и квадрат-то тоже можно в любую сторону читать)

  3. Попробуем найти все трёхзначные числа с таким свойством. и Обозначим их , соответственно и найдём их квадраты: 2=(100a+10b+c)2=10000a2+1000·2cb+100(2ac+b)+10·2cb+c2 2=(100c+10b+a)2=10000c2+1000·2cb+100(2ac+b)+10·2cb+a2 Анализируя эти числа, разложенные в разрядные суммы, приходим к системе неравенств: Решением данной задачи будут ещё пары чисел: 1022=10404 и 2012=40401 1032=10609 и 3012=90601

  4. Аналогично решим задачу для четырёхзначных: =(1000d+100c+10b+a)2=1000000d2+100000·2dc+10000(c2+2db)+ +1000·2(ad+bc)+100(b2+ac)+10ab+a2 =(1000а+100b+10c+d)2=1000000a2+100000·2ab+10000(b2+2ac)+ +1000·2(ad+bc)+100(c2+bd)+10·cd+d2 Соответствующая система неравенств:

  5. Ещё четырёхзначные решения: 10022=1004004 и 20012=4004001 10032=1006009 и 30012=9006001 10112=1022121 и 11012=1212201 10122=1024144 и 21012=4414201 10132=1026169 и 31012=9616201 10212=1042441 и 12012=1442401 10222=1044484 и 22012=4844401 11022=1214404 и 20112=4044121 11032=1216609 и 30112=9066121 11132=1238769 и 31112=9678321 11212=1256641 и 12112=1466521 11222=1258884 и 22112=4888521

  6. Любопытные результаты даёт возведение в квадрат чисел, составленных из одних девяток: 92=81 992=9801 9992=998001 99992=99980001 999992=9999800001 9999992=999998000001 99999992=99999980000001 999999992=9999999800000001 9999999992=999999998000000001 99999999992=99999999980000000001 Эта закономерность бесконечна.

  7. Подобное явление можно проследить и в следующих примерах: 72=49 672=4489 6672=444889 66672=44448889 666672=4444488889 6666672=444444888889 66666672=44444448888889 666666672=4444444488888889 6666666672=444444444888888889 66666666672=44444444448888888889 42=16 342=1156 3342=111556 33342=11115556 333342=1111155556 3333342=111111555556 33333342=11111115555556 333333342=1111111155555556 3333333342=111111111555555556 33333333342=11111111115555555556

  8. Подобное явление можно проследить и в следующих примерах: 9.7=63 99.77=7623 999.777=776223 9999.7777=77762223 99999.77777=7777622223 999999.777777=777776222223 9999999.7777777=77777762222223 99999999.77777777=7777777622222223 999999999.777777777=777777776222222223 9999999999.7777777777=77777777762222222223

  9. А вот возведение в квадрат репьюнитов даёт другой результат – палиндромы: 12=1 112=121 1112=12321 11112=1234321 ………………… 1111111112=12345678987654321 На этом закономерность заканчивается, и уже десять единиц в квадрате будет 1234567900987654321. Но зато есть другие: 11.111 =1221 11.11111=122221 111.1111111=123333321 1111.111111111=123444444321 11111.11111111111=123455555554321 111111.1111111111111=123456666666654321 1111111.111111111111111=123456777777777654321 11111111.11111111111111111=123456788888888887654321 111111111.1111111111111111111=123456789999999999987654321 1111111111.111111111111111111111=123456790111111111110987654321 Это числа-перевёртыши, они одинаково читаются, как слева направо, так и наоборот.

  10. 112=121 113=1331 114=14641 115=161051 116=177161 117=19487171 118=21435881 Палиндромичность этих пирамид конечна, но последняя вызывает интерес тем, что её начало совпадает с пирамидой Паскаля. Первым закономерность степени числа 11 заметил марокканец Ибн-аль-Банна и опубликовал в книге «Аналитический сборник задач на счисление». Он заметил, что на последнем месте всегда стоит единица, десятки каждой последующей степени равны сумме десятков и единиц предыдущей, сотни – сумме сотен и десятков предыдущей, и т. д. Но этот алгоритм выполняется только до пятой степени включительно

  11. А вот следующее свойство второй степени можно доказать для любого n: 12 =1+0=1 22=1+3=4 32=4+5=9 42=9+7=16 52=16+9=25 62=25+11=36 72=36+13=49 82=49+15=64 92=64+17=81 102=81+19=100 112=100+21=121 122=121=23=144 (n-1)2+2(n-1)+1=n2-2n+1+2n-2+1=n2 Итак, с помощью различных математических методов, мы смогли объяснить все «удивительные» примеры со второй степенью.

  12. Конец

More Related