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  1. COMPOSICIÓN DE FUNCIONESDÍA 33 * 1º BAD CT

  2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES • Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real. • Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones: • (f o g)(x) = f [ g (x) ] • (g o f)(x) = g [ f (x) ] • Ejemplo_1 • Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1 • (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1) • (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2 • Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

  3. Ejemplo_2 • Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2 • (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x • (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x • Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) • Ejemplo_3 • Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 • (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1) • (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1 • Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

  4. Ejemplo_4 • 3 • Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 • 3 6 3 • (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x • 3 3 • (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x • Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x) • Ejemplo_5 • Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 ,, h(x) = √x • (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen ((√ x)2 – 1) = sen (x – 1) • (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen √ x) 2 – 1 • A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles.

  5. FUNCIÓN INVERSA DE OTRA • Sea y = f(x) una función real de variable real. • Llamamos función INVERSA a la expresión y = f -1 (x) • Condición: • Si f(a) = b  f -1 (b) = a • Relaciones entre una función y su inversa: • (f -1 o f )(x) = f -1 [ f (x)] = x • (f o f -1 )(x) = f [ f -1 (x) = x • Es decir, que (f -1 o f )(x) = (f o f -1 )(x) = x • Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante, o sea respecto a la recta y = x

  6. Para hallar la función inversa, si la tiene, se despeja la variable x en la ecuación y= f(x) y después se intercambian las x por las y. • Ejemplo 1 • Sea f(x) = x2 - 1 • y = x2 – 1  x = y2 – 1  y2 = x + 1  y = +/- √(x+1) • La función resultante No es función, por lo tanto la función dada no tiene inversa. • Ejemplo 2 • Sea f(x) = 1 / (x – 2) • y = 1 / (x – 2)  x = 1 / (y – 2)  x.y – 2.x = 1  y = (1 + 2.x) / x • Luego f -1 (x) = (1 + 2.x) / x es la inversa de la función dada. • Comprobemos: (f o f -1)(x) = 1 / ([(1 + 2.x) / x] – 2) = x • (f -1 o f)(x) = (1 + 2.[ 1 / (x – 2)]) / [1 / (x – 2)] = x

  7. Ejemplo 3 • Sea f(x) = sen x - 1 • y = sen x – 1  x = sen y – 1  sen y = x + 1  y = arc sen (x + 1) • Luego f -1 (x) = arc sen (x + 1 ) • Comprobemos: (f o f -1)(x) = sen [arc sen (x+1)] – 1 = (x + 1) – 1 = x • (f -1 o f)(x) = arc sen (sen x – 1 + 1) = arc sen (sen x) = x • Ejemplo 4 • Sea f(x) = √ (x – 1) • y = √ (x – 1)  x = √ (y – 1)  x 2= y – 1  y = x2+ 1 • Luego f -1 (x) = x2+ 1 • Comprobemos: (f o f -1)(x) = √ (x2+ 1– 1) = √ x2 = x • (f -1 o f)(x) = [√ (x – 1)] 2+ 1 = x – 1 + 1 = x

  8. Ejemplos gráficos 5 y 6 y = - 2.x y = 2.x + 1 y = - x / 2 y = (1/2).x - 2 En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.

  9. Ejemplos gráficos 7 y 4 y = x2 +1 y = ex y = ln x y = √ (x-1) En color rojo f(x) y en color azul f-1(x), o viceversa.