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Sólidos de Revolución

Sólidos de Revolución. Noviembre 2012 VBV. Definición. Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano. Ejemplos…. Cilindro de Revolución.

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Sólidos de Revolución

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Presentation Transcript

  1. Sólidos de Revolución Noviembre 2012 VBV

  2. Definición • Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.

  3. Ejemplos…

  4. Cilindro de Revolución • Se obtiene al girar una vuelta completa un rectángulo alrededor de uno de sus lados. radio r Superficie lateral h altura bases

  5. generatriz h r Cono de revolución • Se obtiene al girar una vuelta completa un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

  6. esfera • Es el sólido que se obtiene al girar un semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro. R

  7. Métodos • Para calcular el volumen de este tipo de sólidos veremos por ahora dos métodos: • Método de los Discos • Método de las Capas Cilíndricas.

  8. Método de los Discos • Consideremos la región plana limitada por y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y x =b • Supongamos además que para x  [a,b] se cumple: f(x)  0. f(x) a b x

  9. Esta región gira alrededor del eje X. f(x) b x a a b

  10. Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al área del círculo: [f(x)]2. • Por tanto, • OBS: Radio: f(x)

  11. Ejemplos. • Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido, por: • f(x)= x – x3, 0  x  1, en torno al eje X. (Resp. 4/15) • f(x) =sen x, 0x, en torno a X (resp: 2)

  12. Caso: Arandelas • Consideremos la región plana limitada por y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y x =b • Supongamos además que para x  [a,b] se cumple: 0  f(x)  g(x). g(x) f(x) a x b

  13. Esta región gira alrededor del eje X g(x) f(x) a x b

  14. Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al • (área del círculo mayor) - (área del círculo menor) • El mayor radio corresponde a R (x) = g(x) y el menor a r (x) = f(X) se sigue:

  15. Ejemplos. • Encontrar el volumen, del sólido de revolución acotado por la región: • y=x2+1, y=0, x=0, x =1, en torno al eje X. (Resp.) • y =x ; y=x2 en torno a X (resp: 3/10)

  16. Caso: Rotación sobre el eje Y • Es la misma idea! • y=f(x) x=g(y) f(x)

  17. Caso: rotación sobre una recta • Supongamos que la región rota sobre una recta x=L. L- g(y) x=L L- f(y)

  18. Caso: rotación sobre una recta • Supongamos que la región rota sobre una recta x=L. x=L g(y) - L f(y) - L

  19. Ejercicios Propuestos. • Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido: • y=x2, y=2x gira alrededor del eje Y (R: 8/3) • Y=x, y=1, x=4, alrededor de la recta y=1 (R: 7/6)

  20. Método de las Capas Cilíndricas. • V=2(radio)(altura) • Esto es,

  21. Ejercicios Propuestos. • Encontrar el volumen, del sólido de revolución obtenido: • y=x3+x+1, y=1, x=1 gira alrededor de x=2 (R: 29/15) • y=x-x3, y=1, x=4, alrededor del eje Y (R: 4/15)

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