Operations Research

1. Operations Research Übungen zu Transportaufgaben

2. Das Transportproblem • Ist ein Spezialfall der Linearen Optimierung • Sind Gesamtaufkommen und Gesamtbedarf unterschiedlich, so ist das Transportproblem auf ein adäquates mit Gleichheit zurückzuführen. • Aufkommensorte • Menge je Ort • Bedarfsorte • Bedarfsmenge je Ort • Transportkosten von A nach B sind • Menge von A nach B ist

3. Einführendes Beispiel • Eine Fluggesellschaft verfügt über zwei Heimatflughäfen Wien und Innsbruck,mit Wien=4 Flugzeugen sowie Innsbruck=3 Flugzeugen. • Sie soll für einen Reiseveranstalter Flugzeuge für die Flughäfen München und Frankfurt mit Franfurt=2 und München=2 Maschinen bereitstellen. • Die Kosten (Sie orientieren sich an der Distanz – Faktor x 100km) für den Transport sind in folgender Kostenmatrix dargestellt:

4. BeispielGesamtaufkommen größer Gesamtbedarf

5. BeispielGesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 7 4 4 2

6. BeispielZusätzlicher Nachfrager mit 0 Kosten Menge Nachfrager

7. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur reale Transporte 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 1 Rest

8. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Menge

9. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 1 Rest

10. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Menge

11. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 3 Rest

12. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen Menge

13. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, so lange wie möglich nur reale Transporte. 2.) Eintrag des Kostenoptimums 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 0 Rest

14. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung: Menge Z =?

15. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung: Z =7x1+ 0x3+ 4x1+ 2x2= 15

16. Beispiel Suche nach dem optimalen Ergebnis • Einführung von Potenzialen nach der MODI/Potenzialmethode. • Für jedes Anbieter und für jeden Nachfrager werden die Potenziale u und v festgelegt.

17. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach • ;

18. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach • Es werden nur besetzte Felder herangezogen • erstes besetztes Feld

19. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Transporttabelle nach Einführung der Potenziale mit der Formel: Menge

20. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale mit • Nur nichtbesetzte Felder

21. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale mit • Nur nichtbesetzte Felder Z =7x1+ 0x3+ 4x1+ 2x2= 15 Das Optimalitätskriterium ist noch nicht erfüllt, da eine Bewertungszahl noch positiv ist.

22. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Feld der höchsten positiven Bewertungszahl wird mit • versehen. • Streichen aller Zeilen und Spalten, die nur ein besetztes • Feld aufweisen. Das Deltafeld wird mitgezählt.

23. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Feld der höchsten positiven Bewertungszahl wird mit • versehen. • Streichen aller Zeilen und Spalten, die nur ein besetztes • Feld aufweisen. Das Deltafeld wird mitgezählt. Spalte weist nur ein besetztes Feld auf

24. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler und in horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder) • In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt.

25. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Geschlossener Zickzackweg abwechselnd in vertikaler und in horizontaler Richtung. (Nur über besetzte Felder) • In den besetzten Feldern wird abwechselnd -/+ hinzugefügt. (1- ); (2- )  1 Dann in einsetzen

26. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Einsetzen in • Es sollten sich immer m+n-1=4 besetzte Felder ergeben

27. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Einfügen der neuen Potenziale und Bewertungszahlen

28. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Einfügen der neuen Potenziale und Bewertungszahlen Z =4x1+ 4x2+ 2x1+ 0x3= 14 Alle Bewertungszahlen sind neg.  Optimalitätskriterium

29. BeispielGesamtaufkommen größer Gesamtbedarf 0 2 Stück 1 Stück 1 Stück

30. Beispiel Gesamtaufkommen größer Gesamtbedarf • Grafische Darstellung der Lösung:

31. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen Gesamtbedarf • Eine Molkereizentrale verfügt über zwei Lager L1, L2 mit l1=40l, l2=60l und hat zwei Abnehmer A1, A2 mit a1=70l und a2=50l. • Die Kosten für den Transport sind in folgender Kostenmatrix dargestellt:

32. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • Gesamtaufkommen = 100l • Gesamtbedarf = 120l • Einführen eines fiktiven Anbieters L3 in Höhe der Differenz, also 20l mit Null Transportkosten.

33. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl-anfangs nur echte Transporte • 2.) Eintrag des Kostenoptimums • 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 10l Rest

34. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte • 2.) Eintrag des Kostenoptimums • 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 30l Rest

35. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte • 2.) Eintrag des Kostenoptimums • 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 20l Rest

36. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • 1.) zeilenweise die erste kleinste Bewertungszahl, anfangs nur echte Transporte • 2.) Eintrag des Kostenoptimums • 3.) Abwechselndes streichen v. Spalten/ Zeilen 0l Rest

37. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • Eintragung aller Kostenoptima ergibt eine mögliche Lösung Z =3x10 + 4x30 + 2x60 + 0x20 = 270

38. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • Die Einführung von Potenzialen erfolgt nach • ; nur besetzte Felder

39. Übungsbeispiel IGesamtaufkommen kleiner Gesamtbedarf • Einführen von fiktiven Bewertungszahlen mit Hilfe der Potenziale. Alle Bewertungszahlen sind negativ  Optimaltätskriterium Z =3x10 + 4x30 + 2x60 + 0x20 = 270