【 キーワード 】 値，関数，関数定義，パラメータ， 関数の再帰的定義

1. 関数 【キーワード】値，関数，関数定義，パラメータ，関数の再帰的定義 1

2. 円の面積 半径 r の円の面積は πr2 r(円の半径) 2

3. 関数定義の一般形 (define (＜関数名＞ ＜パラメータ＞の並び) ＜本体式＞) 関数定義の例 (define (area-of-diskr) (*3.14 (*r r))) π=3.14で近似 本体式は，rを含む Scheme の式 （円の面積は rを含む式で表現） 3 3

4. 関数定義の例 定義ウインドウで，関数定義を行う 4 4

5. 関数定義の読み込み 実行ボタンを押して， 関数定義を，読み込ませる このとき、対話ウインドウ の中身はクリアされる 読み込ませた関数　area-of-disk を使ってみよう 5 5

6. 関数適用の例 対話ウインドウで、 (area-of-disk5) と入力して、Enter キーを押す ※ DrScheme は，関数 area-of-diskの本体式の中のパラメータ rを 5 に置き換えた後，本体式を評価する） 6 6

7. 関数適用の例 式の評価結果である「78.5」 が表示される　 （確かに 5×5×3.14 = 78.5） 7 7

8. パラメータ r r area-of-disk (* 3.14 (* r r)) rを含む Scheme の式 5 から 78.5 が求まる 10 から 314 が求まる 8

9. r area-of-disk (* 3.14 (* r r)) パラメータ 関数名 関数の本体式 （パラメータ r を含むScheme の式） 9

10. (area-of-disk 5)の評価では 5 5 を，関数 area-of-diskに適用 r 5 78.5 area-of-disk パラメータ rが 5 に置き換わる (* 3.14 (* 55)) (* 3.14 (* r r)) パラメータ rが 5 に 置き換わる (* 3.14 (* 55)) (* 3.14 25) 78.5 10

11. 入力 出力 5 78.5 area-of-disk 数が 求まる 数から 関数 入力から出力を求める手順を本体式に記述 （本体式は，パラメータを含む式） 11

12. 関数適用とは 関数のパラメータを，実際の値で置き換えて，関数の本体式を評価すること （例） (area-of-disk 5) ・・・ 引数 5 を，関数 　area-of-diskに適用 ・関数には，入力(与えるデータ)と出力(受け取る結果)がある ・関数適用では，関数名(関数定義において付ける関数の名前)と，必要な引数を記述する 出力 入力 area-of-disk r の値: 5 78.5 (area-of-disk 5) 引数 5 を， 関数 area-of-disk に適用 (本体式の評価の前に rは5で置換される) (* 3.14 (* 5 5)) = (* 3.14 25) = 78.5 12

13. cond 文を本体式の持つ関数の例 (define (＜関数名＞ ＜パラメータ＞の並び) ＜本体式＞) 【関数定義の一般形】 【条件定義の例】 (define (f1 x) (cond [(<x0) 0] [(<x5) (*2x)] [else (- (*4x) 10)])) 本体式が cond 文を含む 13

14. 各状況ごとに，条件節（= Question +Answer） (define (f1 x) (cond [(<x0) 0] [(<x5) (*2x)] [else (- (*4x) 10)])) 式 条件式または else Question Answer 14

15. (f1 5)の評価では 5 引数 5を，関数 f1に適用 f1 x 5 10 パラメータ x が 5 に 置き換わる (cond [(<5 0) 0] [(<5 5) (* 2 5)] [else (- (* 4 5) 10)])) (cond [(<x0) 0] [(<x5) (*2x)] [else (- (*4x) 10)])) 関数の 本体式 (cond [(<50) 0] [(<55) (*25)] [else (- (*45) 10)])) パラメータx が 5に 置き換わる 10 15

16. 関数の再帰的定義 【説明用の例題】 （但し，xは 0 以上の整数とする） 数の総和．例えば f1(3) = 0+1+2+3 = 6 16

17. （但し，xは 0 以上の整数） 意味は同じ （但し，xは 0 以上の整数） 17

18. 再帰的定義 この場合 f1(3) の値は　・・・ f1(2) の値は　・・・ f1(1) の値は　・・・ f1(0) の値は　・・・ f1(2) を使って定義 ( f1(3) = 3+f1(2) ) f1(1) を使って定義 ( f1(2) = 2+f1(1) ) f1(0) を使って定義 ( f1(1) = 1+f1(0) ) 0 ※ 数の総和 f1(x) が f1(x-1)を使って定義されている （但し，xは 0 以上の整数） 18

19. 【 Scheme の関数定義　（cond 文を使って定義）】 (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) 基底ケース (base case) 基底ケースは， 自己参照を含まない cond 文 （但し，xは 0 以上の整数） 19

20. 再帰の終了条件 (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) 基底ケース (base case) 出力は 0 （但し，xは 0 以上の整数） 20

21. (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) 自己参照のケース 自己参照 cond 文が，自己参照 のケースを含む ＝　再帰的定義 （但し，xは 0 以上の整数） 21

22. (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) ①　まず f1の適用 　　（中間結果を得る） ②　中間結果を使って，最終結果を得る （但し，xは 0 以上の整数） 22

23. もし x=0ならば 評価順 (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) x = 0 のとき 評価される部分 無視される ① x = 0 のときは trueになる 23

24. もし x>0ならば 評価順 (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) 無視される ① x > 0 のときは falseになる 24

25. もし x>0ならば 評価順 (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) x>0のとき 評価される部分 ① ② 25

26. 【0からxまでの和】 再帰的定義 「xまでの和」が，「x-1 までの和」を使って定義される．（より「簡単な場合」に帰着させるので，循環定義ではない） 【Scheme の関数定義の例】 • 関数の本体式が，自分自身の関数適用（自己参照）を含む (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) 自己参照 ※ sub1は 1引く関数 26

27. 【cond文】 １．基底ケース (base case) 再帰の終了条件を定める 　２．自己参照のケース 　　　　自己参照を含む． 　　　　部分的な結果（中間結果）から，最終結果を得る （例）　中間結果: n-1 までの和．　最終結果: nまでの和 　　　　　　この場合，中間結果に nを足すと，最終結果が得 　　　　　　られる (define (f1 x) (cond [(=x0) 0] [else (+x (f1 (sub1x)))])) 自己参照 27

28. ラムダ式の例 (define (decn) (-n 1)) 同じ意味 (definedec (lambda(n) (-n 1)))

29. Scheme処理系の実演 29

30. Racket の起動 実演では「Advanced Student」に設定 言語 → 言語の選択 → Advanced Student → 「実行」ボタン Racket の使用準備 30 30

31. 定義ウインドウ (Definition Window) 対話ウインドウ (Interaction Window) Enter を契機に動く Runボタンを契機に動く 定義ウインドウには エディタの機能がある ※　マウス，矢印キー，バックスペスキーなどでさかのぼって編集できる 31 31

32. 実演１．関数定義における構文エラー (define (＜関数名＞＜パラメータ＞の並び) ＜本体式＞) ＜関数定義の例＞ 関数名 area-of-disk，パラメータ r (define (area-of-disk r) (* 3.14 (*r r))) 【関数定義の一般形】 32

33. 構文エラーの例 かっこの数が多い 関数定義の中に， 構文エラー(Syntax Error) がある 33 33

34. 実行ボタンを押すと・・・ 関数定義の中に構文エラーがあるので， エラーメッセージが出る 34 34

35. 定義ウインドウは， エディタの機能がある． マウス，矢印キー， バックスペースキー などを使って，修正する 35 35

36. 修正後は，実行ボタンを押して，関数定義を再度読み込ませる修正後は，実行ボタンを押して，関数定義を再度読み込ませる エラーメッセージが消える

37. 実演２．関数定義における構文エラー (define (＜関数名＞＜パラメータ＞の並び) ＜本体式＞) (define (foor) (+r 100)) 【関数定義の一般形】 37

38. 構文エラーの例 関数定義の中に， 構文エラー(Syntax Error) がある 「+」と「r」の間に 半角スペースが無い 38 38

39. 実行ボタンを押すと・・・ 関数定義の中に構文エラーがあるので， エラーメッセージが出る 39 39

40. 実演３. リングの面積　 外径 outer、内径 innerからリングの面積を求める関数 area-of-ringを定義する 円の面積を求める関数area-of-diskを，補助関数として使う outer 真ん中に穴のあいた 円の面積と考える inner

41. リングの面積 リングの面積 ＝　外側の円の面積　－　内側の円の面積 outer 外径： outer 内径： inner inner 半径 outerの円 半径 innerの円

42. 実演３ • 「定義ウインドウ」で，次の関数定義を行う (define (area-of-disk r) (*3.14 (*r r))) (define (area-of-ringouter inner) (- (area-of-diskouter) (area-of-diskinner))) 2. その後，次の式を「対話ウインドウ」で評価させる (area-of-ring5 3) 42 42

44. 実演４．２次方程式 • ２次方程式 ax2 + bx + c = 0 の解を求める関数 quadratic-rootsを定義し，実行する • ２つの解を「リスト」として出力する • 重解を求める • 但し，虚数解は考えない • a = 0 の場合も考えない 出力は ・１つのリスト ・１つの数値 ・シンボル 'None のどれか quadratic-roots 入力は ３つの数値

45. 実演４の手順 • 「定義ウインドウ」で，次の関数定義を行う (define (Da b c) (- (* b b) (* 4 a c))) (define (quadratic-roots a b c) (cond [(< (Da b c) 0) 'None] [(= (Da b c) 0) (- (/ b (* 2 a)))] [else (list (/ (+ (- b) (sqrt (Da b c))) (* 2 a)) (/ (+ (- b) (- (sqrt (Da b c)))) (* 2 a)))])) • その後，次の式を「対話ウインドウ」で評価させる (quadratic-roots 1 -5 6) (quadratic-roots 2 0 -1) (quadratic-roots 1 2 1) (quadratic-roots 1 0 1)

46. まず，関数を定義している

47. 実行結果が，リスト，数値，シンボル で得られている　

48. 変数 x の二次方程式の一般形: • ax2 + bx + c = 0 • 二次方程式の解の数: • 係数 a，b，cの値に依存 • (1) a ＝ 0 ⇒ 方程式は degenerate • (2) a ≠ 0 ⇒ proper な二次方程式 • もし b2 > 4ac なら　 二つの解 • もし b2 = 4ac なら 一つの解 • もし b2 < 4ac なら 解無し

49. 判別式 D = b2 - 4ac とする 1) D > 0 のとき 2) D = 0 のとき 3) D < 0 のとき 異なる２実数解 重解（解の個数は１） 解なし

50. quadraric-roots 関数 (define (Da b c) (- (* b b) (* 4 a c))) (define (quadratic-roots a b c) (cond [(< (Da b c) 0) 'None] [(= (Da b c) 0) (- (/ b (* 2 a)))] [else (list (/ (+ (- b) (sqrt (Da b c))) (* 2 a)) (/ (+ (- b) (- (sqrt (Da b c)))) (* 2 a)))])) 解なし 重解（解の個数は１） 異なる２実数解