第六节子空间的交与和

一、子空间的交 二、子空间的和第六节子空间的交与和

任取则有同时有故　　　为V的子空间. 称之为的交空间. 一、子空间的交定理设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间. 证

为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间，称为　　　的交空间. 显然有, 多个子空间的交的定义：

证任取　　　　　　　设其中，　　　　　　　　　则有二、子空间的和定理设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.

为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间，称为　　　的和空间. 显然有, 多个子空间的和的定义：

注意： V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如皆为R3的子空间，但是它们的并集并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如但是

性质1设　为线性空间V的子空间 1）若　则 2）若　则性质2设为线性空间V的子空间，则以下三三、子空间的交与和的有关性质条件等价:

性质3　　　　　　　　　　为线性空间V中两组设　　为线性空间V的两个子空间，则或向量，则定理7（维数公式）

证：设 取　　　的一组基由扩基定理，它可扩充为V1的一组基它也可扩充为V2的一组基即有

下证　　　　　　　　　　　　　　所以，有线性无关. 假设有等式令

则有即　可被　　　　　线性表出令则即由于　　　　　　　　　　　　线性无关，得因而从而有

由于　　　　　　　　　　　　线性无关，得 所以，因而它是　　　的一组基. ∴ 线性无关.

推论：设　　为n维线性空间V的两个子空间，若　　　　　　，则　　必含非零的公共向量. 即　　　中必含有非零向量. 又　　　是V的子空间，∴ 若则故　　　中含有非零向量. 证：由维数公式有

例1、在 　中，用　　　分别表示齐次线性方程组的解空间，则　　　　就是齐次线性方程组③ ① 与 ②

③ 的解空间. 证：设方程组①,②,③分别为

设W为③的解空间，任取　　　，有 从而反之，任取，　　　　　　则有从而故即

在　　中，令 解：任取由　　　　有则　　　皆为　　的子空间. 由　　　　有故，求　　　　及从而，例2

再求因为，所以，

例3、在　中，设　设则有 1）求　　　　　　　　　的维数与一组基； 2）求　　　　　　　　　的维数与一组基. 解：1) 任取

令t=1， 则得的一组基即 (＊) 为一维的. （t为任意数）解得 (＊)

由B知，　　　为　　　　　的一个极大无关组. 2) 对以　　　　　为列向量的矩阵A作初等行变换　　　

为3维的， 为其一组基.

第六节 子空间的交与和