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Einführung in die Elektrizitätslehre. Einführung in die Elektrizitätslehre. Das Elektron. Es gibt negative und positive Ladungen. Die Träger der negativen Ladung sind die Elektronen , die der positiven die Protonen .

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das Elektron

Es gibt negative und positive Ladungen. Die Träger der negativen Ladung sind die Elektronen, die der positiven die Protonen.

Alle in der Natur vorkommenden Ladungen sind ganzzahlige Vielfache einer kleinsten Ladung, der Elementarladung:

e = 1,6021773  10 -19 C

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das Elektron

Ein elektrisch neutraler Körper besitzt gleich viel positive und negative Ladung.

Positiv geladene Körper haben einen Elektronenmangel.

Negativ geladene Körper haben einen Elektronüberschuss.

Gleichnamig geladene Körper stoßen sich ab, ungleich-namig geladenen ziehen sich an.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Strom ist fließende Ladung

Die elektrische Stromstärke I ist ein Maß für die pro Zeiteinheit geflossene Ladung. Sie berech-net sich als Quotient aus Ladung und Zeit:

I = Q/t bzw. I =  Q / t

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die elektrische Influenz

Ladungen werden in einem elektrisch neutralen Körper z.B. durch Annäherung eines geladenen Körpers räumlich verschoben - Ladungstrennung

Influenz ist die Beeinflussung von Ladungsverteilung durch Einwirkung elektrischer Felder

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das elektrische Feld

Im Raum um elektrisch geladene Körper be-steht ein elektrisches Feld. Die elektrischen Feldlinien entspringen auf positiven Ladungen und enden auf negativen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das elektrische Feld

Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf der Leiteroberfläche

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das elektrische Feld

Das Feldlinienbild zweier entgegengesetzt geladener Kugeln kann als Überlage-rung ihrer Radialfelder verstanden werden.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft

Nach dem Strahlensatz gilt:

Mit F ist die elektrische Kraft gemeint. Da der Ausschlag s klein gegenüber der Faden-länge l ist, gilt: h  l. Damit erhält man:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft

FG = 1,76 cN und l = 1,11 m

Der Tennisball wird verschieden stark aufge-laden. Gemessen wird jeweils der Ausschlag s.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft

Auswertung der Messreihe

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Versuch zur Bestimmung der elektrischen Kraft

Im homogenen Feld ist die elektrische Kraft Fel proportional zur Probeladung q; der Quotient aus Kraft und Probeladung ist unabhängig von der Probeladung

Fel ~ q oder Fel/q = const.

Der Quotient aus elektrischer Kraft Fel und Probeladung q heißt die elektrische Feldstärke E in dem betreffenden Punkt des Feldes. E ist ein Vektor und gleich orientiert wie die Kraft auf eine positive Probeladung

E = Fel / q

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Wird die positive Probeladung von A entlang einer Feldlinie nach B gebracht, so ist die dazu nötige Arbeit gleich dem Produkt aus Kraft und Weg.

WAB = Fel d = E d q

Die Arbeit ist also proportional zu q, d.h. WAB / q = konstant

Dies gibt Anlass zu folgender Definition

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

bzw. W = q · U

diese Energie nennt man auch potentielle Energie des elektrischen Feldes

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

W = q  U

1.Wenn die Probeladung positiv ist (s. Abb.), dann sind Fel und s gleich orientiert. Die an der Probeladung auftretende Arbeit WAB ist positiv, d.h. der Probeladung wird Energie zugeführt.

2.Bei einer Bewegung von B nach A sind für eine positive Ladung q Fel und s entgegengesetzt orientiert. Deshalb ist WAB negativ.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

WAB = Fel  d = E  d  q

 WAB = UAB  q

Setzt man beide Gleichungen gleich, so erhält man, wenn man nach E auflöst:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Im homogenen Feld eines Plattenkondensators gilt:

Die Einheit der elektri-schen Feldstärke ist:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Verschiedene elektrische Felder

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Im homogenen elektrischen Feld ist die Überführungsarbeit und damit die Spannung zwischen zwei Punkten durch die beiden Punkte unabhängig vom Überführungsweg eindeutig bestimmt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Im allen elektrischen Feld ist die Überführungsarbeit und damit die Spannung zwischen zwei Punkten durch die beiden Punkte unabhängig vom Überführungsweg eindeutig bestimmt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Gesetz: In allen stationären elektrischen Feldern ist die Überführungsarbeit auf einem geschlossenen Weg gleich Null. Die Überführungsarbeit zwischen zwei Punkten ist von dern Verbindungsweg unabhängig.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Gesetz: In allen stationären elektrischen Feldern ist die Spannung zwischen zwei Punkten durch diese beiden Punkte eindeutig bestimmt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im homogenen elektrischen Feld

Energieumsetzung a) im Schwerefeld b) im elektrischen Feld

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im elektrischen Feld

Spannung bedeutet, dass elektrische Energie auf Abruf bereit steht. Spannung tritt auf, wenn man entgegenge-setzte Ladungen unter Ener-giezufuhr trennt.

Feldkräfte führen der Ladung q beim Transport von einer Platte eines geladenen Kondensators zur anderen die Energie W zu. Das Feld eines Plattenkondensators ist homogen

Spannung:U = W/q und elektrische Feldstärke:E = U/d

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im homogenen elektrischen Feld

Energieumsetzung a) im Schwerefeld b) im elektrischen Feld

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im homogenen elektrischen Feld

Elektronen werden im elektrischen Feld im Plattenkondensator durch verschie-dene Spannungen beschleunigt.

Für die verschiedenen Spannungen ergibt sich dann

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Millikan-Versuch – Aufgabe 1

Aufgabe: Bei einem Versuch nach Millikan schwebt ein zweifach negativ geladenes Öltröpfchen in einem Kondensator (Plattenabstand d = 5,00 mm), an den eine Spannung von U = 255 V angelegt ist. a)Skizzieren Sie den Kondensator (Polung!) und die Kräfte, die auf das Tröpfchen wirken.

b)Leiten Sie für den Schwebefall die Beziehung zwischen der Spannung und der Masse des Tröpfchens her; die Auftriebskraft soll dabei vernachlässigt werden. Berechnen Sie die Masse des Öltröpfchens. [zurKontrolle: 1,7·10-15 kg]

c)Zeigen Sie, dass man die Auftriebskraft tatsächlich vernachlässigen kann, indem Sie das Verhältnis von Gewichtskraft und Auftriebskraft berechnen (Dichte von Öl: 0,90 kg/dm3; Dichte von Luft: 1,3 g/dm3). d)Das Öltröpfchen wird mit UV-Licht bestrahlt und verliert dadurch ein Elektron. Was beobachtet man nun? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe der wirkenden Kräfte. Eine rechnerische Behandlung ist nicht erforderlich.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Millikan-Versuch – Aufgabe 1 - Lösung

Lösung: a) Der Gewichtskraft halten die elektrische Kraft und die Auftriebskraft des Öltröpfchens im Medium Luft die Waage.

b)

c)Die Auftriebskraft Fa ist gleich dem Gewicht der verdrängten Luft. Für das Verhältnis der Gewichtskraft Fg des Tropfens zur Auftriebskraft gilt:

d)Das Öltröpfchen ist nur noch einfach negativ geladen, dadurch wird die elektrische Kraft halbiert. Es gilt nun Fg > F*e und das Tröpfchen sinkt somit beschleunigt nach unten.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Millikan-Versuch – Aufgabe 2

Aufgabe: a) Was ist das physikalisch bedeutsamste Ergebnis des Millikan-Versuchs?

b) Skizzieren und beschreiben Sie das Wesentliche des Versuchsaufbaus.

In einem vertikal gerichteten homogenen elektrischen Feld der Stärke 10×104 V/m schwebt ein positiv geladenes Öltröpfchen der Masse m = 3,3×10-12 g. c) Wie muss das elektrische Feld gerichtet sein, damit sich der Schwebezustand einstellen kann?

d) Wie viele Elementarladungen trägt das Tröpfchen? e) Bei den üblichen Elektrostatik-Versuchen in der Schule, tritt die Ladungsquantelung nicht zu Tage. Woran liegt dies? Erhärten Sie ihre Aussage, indem Sie abschätzen wie viele Elementarladungen auf der Platte eines Kondensators sitzen, der die Kapazität von 1,0 nF hat und an dem die Spannung von 5,0 kV liegt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Millikan-Versuch – Aufgabe 2 Lösung

Lösung: a) Der Millikan-Versuch zeigt, dass die elek-trische Ladung nur in ganzzahligen Vielfachen der Ele-mentarladung e auftritt, die Ladung also gequantelt ist.

b) Geladene Öltröpfchen aus einer Sprühflasche treten durch ein Loch in das homogene Feld eines Plattenkondensators. Die Spannung an den Platten kann variiert und umgepolt werden. Durch schräg einfallendes Licht wird das Kondensatorinnere beleuchtet. Der Ort der Tröpfchen kann mit einem Mikroskop, in dem man die Lichtreflexe von den Tröpfchen sehen kann, festgestellt werden.Durch geeignete Spannungswahl kann ein Tröpfchen zum Schweben bzw. zu gleichförmiger Auf- und Abbewegung gezwungen werden.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Millikan-Versuch – Aufgabe 2 Lösung

Lösung: c) Die elektrische Kraft muss nach oben gerichtet sein. Bei einem positiven Teilchen muss also die untere Kondensatorplatte positiv und die obere negativ geladen sein. Das elektrische Feld zeigt in diesem Fall vertikal nach oben.

d) Für den Schwebezustand gilt:

e) Bei den Versuchen war die beteiligte Ladung so groß, dass es gar nicht auffallen konnte, ob eine Elementarladung mehr oder weniger vorhanden ist.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

MILLIKAN-Versuch – Aufgabe 3

Aufgabe: Im MILLIKAN-Versuch werden kleine geladene Öltröpfchen in das homogene Feld eines Plattenkondensators (Abstand der horizontal liegenden Platten: d = 2,0 cm) gebracht und durch ein Mikroskop beobachtet.a) Ein ausgewähltes Öltröpfchen (Masse m = 4,70× 10-16 kg) schwebt gerade bei einer Kondensatorspannung von 25 Volt. Berechen Sie den Betrag der Ladung des Öltröpfchens.

b) Nennen Sie zwei Gründe dafür, dass eine genaue Ladungsbestimmung mit Hilfe der Schwebemethode kaum möglich ist.

c) Im Labor verwendet man deshalb eine andere Variante des Millikanversuchs. Dabei ergeben sich Häufungen der Messwerte bei folgen-den Ladungen der Öltröpfchen: 6,4  10-19 C, 6,4  10-19 C, 6,4  10-19 C. Auf welchen größtmöglichen Wert für die Elementarladung würde ein Experimentator auf Grund dieser Messergebnisse schließen? Geben Sie eine Begründung für Ihr Ergebnis an. Welche anderen Werte für die Elementarladung sind mit diesen Messergebnissen vereinbar?

d) Kann ein Öltröpfchen auch dann im Schwebezustand (v = 0) gehalten werden, wenn statt des elektrischen Feldes ein homogenes Magnetfeld verwendet wird? Begründen Sie Ihre Antwort.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Millikan-Versuch – Aufgabe 3 - Lösung

Lösung: a) Gleichgewicht zwischen elektrischer Kraft und Gewichtskraft

b) Der Schwebezustand kann aufgrund der Brown’schen Bewegung nur ungenau eingestellt werden. Die Masse der Tröpfchen ist zu klein, um direkt gemessen zu werden. Der Radius kann wegen der Beugung des Lichtes nicht direkt gemessen werden.

c) e’ = 3,2× 10-19 As ist der größtmögliche Ladungswert, der in allen gegebenen Ladungswerten ganzzahlig enthalten ist.

Weitere mögliche Elementarladungswerte ergeben sich aus e’/n mit . Also z.B. e’’= 1,6× 10-19 As oder e’’’= 0,80× 10-19 As usw.

d) Nein! Damit auf ein geladenes Teilchen im Magnetfeld eine Kraft wirkt, muss eine Relativbewegung des Teilchens in Bezug auf das Magnetfeld bestehen:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Hier überlagern sich zwei Bewegungen

Die Elektronen treten in das homogene Feld eines Plattenkondensators ein. In x-Richtung liegt eine gleichförmige Bewegung vor (vx = const.) In y-Richtung haben wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Die Beschleunigung in y-Richtung ergibt sich aus: Fel = e · E = m · ay = F.

ay = e/m · E.

Es handelt sich also um einen waagerechten Wurf (ähnlich wie in der Mechanik)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Für das elektrische Feld E erhält man:

Setzt man dies in die Gleichung für die Bescheunigung ein, so ergibt sich:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

In y-Richtung gilt:

Setzt man dies in die Gleichung für die Beschleunigung ein, so ergibt sich:

Dieser Term für a eingesetzt in (1) ergibt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

In x-Richtung gilt:

Löst man die Gleichung (3) nach t auf und setzt dies in (3) ein, so erhält man:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Für die Geschwindigkeit in x-Richtung gilt der folgende Energieerhaltungssatz:

Löst man diese Gleichung nach vo2 auf und setzt dies in (4) ein, so erhält man:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Die Bahngleichung lautet also:

Am Ende des Kondensators ist die Auslenkung in y-Richtung

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Die vorherige Gleichung gibt die Ablenkung am Ende des Kondensators an. Meist wird jedoch die Ablenkung auf einem Bildschirm, der in einem Abstand a vom Ende des Kondensators angebracht ist, benötigt (in der Graphik ist dies y0).

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Mit Hilfe des Strahlensatzes erhält man:

Setzt man den vorher schon berechneten Term für yl ein und löst nach y0 auf, so erhält man

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Aufgabe: Die mit vernachlässigbarer Geschwindig-keit aus der Heizwendel H austretenden Elektronen werden im homogen angenommenen Feld zwischen H und der Platte P beschleunigt.

a) Welche Beschleunigung erfährt ein Elektron zwischen H und P, wenn U1 = 1,0 kV und d1 = 5,0 cm ist? Drücken Sie diese Beschleunigung als Vielfaches von der Erdbeschleunigung aus.

b) Wie lange braucht ein Elektron, um die Strecke d1 zurückzulegen, und welche Geschwindigkeit hat es bei P? Geben Sie die Energie des Elektrons bei P in eV an.

Durch ein Loch in der Platte P können die Elektro-nen in das zwischen P und Q herrschende Gegen-feld eintreten.

c) In welcher Entfernung von P kehren die Elek-tronen um, wenn die Spannung U2 = 1,2 kV und d2 = 8,0 cm beträgt?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Lösung:

a) In positive x-Richtung liegt eine konstant beschleunigte, geradlinige Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit vor:

Hinweis: Anstelle die Werte von e und m separat in die Formel einzusetzen, ist es schneller, wenn man aus der Formelsammlung den Wert für die spezifische Ladung des Elektrons entnimmt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

b) Berechnung der Zeit aus dem Zeit-Ort-Gesetz für die konstant beschleunigte Bewegung:

Berechnung der Geschwindigkeit aus der kinematischen Formel:

Berechnung der Geschwindigkeit aus dem Energiesatz (potentielle Energie des Elektrons bei H wird in kinetische Energie bei P umgewandelt):

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Nach dem Durchlaufen einer Beschleunigungsspannung von 1,0 kV besitzt das Elektron die kinetische Energie von 1,0 keV = 1,0×103×1,6×10-19 J = 1,6×10-16 J.

c) Bis zum Umkehrpunkt U wird die kinetische Energie, die das Elektron bei P hatte, in potenzielle Energie umgewandelt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionen im elektrischen Querfeld

Ein Strahl von H+-Ionen mit der einheitlichen Geschwindigkeit vx=1,2·106 m/s tritt in das homogene Feld eines Plattenkondensators in der Mitte zwischen den Platten und parallel zu diesen ein. Am Kondensator liegt die Spannung 3,0 kV. Der Plattenabstand beträgt d = 2,0 cm, die Plattenlänge l = 4,0 cm.

a)Berechnen Sie die Zeit tF, welche ein H+-Ion für seinen Flug durch den Plattenkondensator benötigt, sowie den Betrag der Zusatzgeschwindigkeit, die ihm dabei erteilt wird. [Teilergebnis: vy = 4,8·105 m/s]

b)Berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Diagramms den Winkel , den die Bahn des Ions nach dem Verlassen des Kondensators mit der ursprünglichen Flugrichtung vor dem Eintritt in den Kondensator einschließt.

c)Wie ändert sich der Winkel , wenn anstelle des H+-Ions ein einfach geladenes He+-Ion mit der gleichen Geschwindigkeit in das Feld eintritt? Beantworten Sie die Frage nur qualitativ, und begründen Sie Ihre Antwort.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung

Im elektrischen Feld wirkt auf die positiven Ionen eine konstante elektrische Kraft, die eine konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung zur Folge hat (ohne Anfangsgeschwindigkeit).In x-Richtung wirkt keine Kraft, so dass in x-Richtung eine gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit vx vorliegt.

Berechnung der Laufzeit tF im Kondensator

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung

Berechnung der Geschwindigkeit in y-Richtung am Ende des Kondensators. Auf das Teilchen wirkt die elektrische Kraft:

(1)

Nach Newton II folgt dann für die Beschleunigung in y-Richtung:

(2)

Für die konstant beschleunigte Bewegung in y-Richtung gilt:vy = ay·t

(3)

Für die Vertikalgeschwindigkeit am Kondensatorende muss man in (3) die Zeit tF einsetzen. Berücksichtigt man auch noch die Gleichungen (1) und (2) so ergibt sich:

Hinweis: Verwenden Sie - wenn möglich - immer gleich die spezifische Ladung des Teilchens, Sie sparen damit eine Rechenoperation!

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung

b) Der Winkel , den die Bahn nach Verlassen des Kondensators mit der Horizontalen bildet, könnte aus der Steigung der Bahn am Ende des Kondensators (Ableitung der Bahngleichung) bestimmt werden. Hier geht es schneller, wenn man die Vertikal- und die Horizontalgeschwin-digkeit in Beziehung setzt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung

c) Nach Teilaufgabe a) kann man für die Vertikalgeschwindigkeit schreiben:

Man sieht aus der Beziehung, dass die Vertikalgeschwindigkeit indirekt proportional zur Masse des eingeschossenen Teilchens ist, wenn die anderen Größen fest gehalten werden.

Da die Masse des Heliumions etwa viermal so groß ist wie die Masse des Wasserstoffions, ist die Vertikalgeschwindigkeit des Heliumions beim Verlassen des Kondensators nur ein Viertel der des Wasserstoffions. Damit verringert sich der Tangens des Winkels α und somit auch  selbst.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Elektronen im elektrischen Querfeld - Aufgabe

Aufgabe:

Die nebenstehende Skizze zeigt im linken Teil die Beschleunigung von Elek-tronen in einem elektrischen Längsfeld durch Spannung Ux auf die Geschwindigkeit v0.

Die Elektronen gelangen in elektrisches Querfeld (Ablenkspannung Uy), wer-den dort abgelenkt und verlassen den Kondensator in einen feldfreien Raum.

Schließlich treffen die Elektronen auf einen Leuchtschirm.

Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Elektronen im elektrischen Querfeld - Aufgabe

a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v0 in Abhängigkeit von Ux und der spezifischen Ladung des Elektrons.

b) Stellen Sie die Bahngleichung des Elektrons im Kondensator (x-y-System verwenden) auf. Zeigen Sie allgemein, dass es mit der dargestellten Anordnung nicht möglich ist die spezifische Ladung des Elektrons zu bestimmen.

c) Geben Sie die Bahngleichung des Elektrons zwischen Kondensator und Schirm an (x*-y*-System verwenden).

d) Zeigen Sie allgemein, dass die Auslenkung y0 von der x-Achse proportional zur Spannung Uy ist.

e) Das Ergebnis von Teilaufgabe d) zeigt, dass die Anordnung für Spannungsmessungen geeignet ist. Welchen Vorteil besitzt diese Anordnung gegenüber einem in Volt geeichten Drehspulinstrument?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Elektronen im elektrischen Querfeld - Lösung

a) Aus dem Energiesatz folgt:

Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz:

b) Zeit-Orts-Gesetz

Setze (2) in (3):

Für die y-Beschleunigung im Querfeld gilt:

Setzt man (5) in (4), so folgt:

Dass die Bahnkurve völlig unabhängig von der spezifischen Ladung e/m ist, sieht man, wenn in (6) noch die Beziehung (1) eingesetzt wird:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Elektronen im elektrischen Querfeld - Lösung

c) Im feldfreien Raum außerhalb des Kondensators bewegen sich die Teilchen geradlinig. Es ergibt sich eine Gleichung vom Typ:

y* = m×x*

Die Steigung m der Geraden ist die gleiche, wie die Steigung der Parabelbahn im Kondensator am Ort x = l. Berechnung der Parabelsteigung am Ort x = l durch Differenzieren der Bahngleichung:

Somit gilt für die Geradengleichung:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Elektronen im elektrischen Querfeld - Lösung

d) Die gesamte Ablenkung y0 setzt sich aus der Ablenkung im Kondensator yP und der in Teilaufgabe c) berechneten Ablenkung y* zusammen.Berechnung von yP aus der in Teilaufgabe b) hergeleiteten Formel für x = l:

Bestimmung von y0:

Aus der Formel sieht man, dass die Gesamtablenkung proportional zur Ablenkspannung Uy ist.

e) Der Vorteil der dargestellten Anordnung ist gegenüber dem Drehspulinstrument, dass der Elektronenstrahl zeitlichen Änderungen von Uy nahezu trägheitslos folgen kann.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionenantrieb – Aufgabe (GK-Bayern ABI 2000)

Seit Herbst 1998 verwendet die NASA eine Raumsonde mit Ionenantrieb. Dabei werden einfach positiv geladene Xenon-Ionen zwischen zwei Gittern beschleunigt, die wie ein Plattenkondensator wirken. Die über den ganzen Gitterabstand beschleunigten Ionen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit verlassen die Raumsonde und erzeugen dabei den nötigen Rückstoß. Die Spannung zwischen den Gittern beträgt 1280 V, ihr Abstand ist 5,0 cm. Ein Xenon-Ion hat die Masse 2,18·10-25 kg und die Raumsonde hat die Masse 486 kg.

a) Mit welcher Geschwindigkeit verlassen die Ionen die Sonde?

b) Berechnen Sie die elektrische Kraft auf die 2,2·1013 Ionen, die jeweils gleichzeitig zwischen den Gittern sind! [zur Kontrolle: 90 mN]

c) Wie viele Stunden würde es dauern, um die Raumsonde von 0 auf 100 km/h zu beschleunigen, wenn keine weiteren Kräfte wirken? Der Masseverlust durch das Austreten der Ionen ist zu vernachlässigen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionenantrieb – Lösung (GK-Bayern ABI 2000)

a)Das elektrische Feld verrichtet an den Ionen Beschleunigungsarbeit. Die kinetische Energie der Ionen beim Austritt ist gleich der Feldarbeit:

b)Für die Kraft auf ein Teilchen gilt: Fe = q  E

Für die resultierende Kraft gilt dann:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Ionenantrieb – Lösung (GK-Bayern ABI 2000)

c) Nach Newton III wirkt die Reaktionskraft zu Fres auf die Sonde. Diese Reaktionskraft ist vom gleichen Betrag wie Fres.

Wenn nur die konstante Kraft Fres auf die Sonde wirkt, handelt es sich um eine konstant beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit.

Für die Beschleunigung gilt:

Für die Geschwindigkeit gilt:

Zeitdauer:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Braunsche Röhre – Aufgabe ( El. Felder Seite 43, A. 2)

Aufgabe: Ionen mit der Ladung e und der Masse m durchlaufen die Spannung Ub und treten dann senkrecht zu den Feldlinien in ein Plattenpaar mit dem Abstand d und der Plattenlänge l ein. Dann treffen sie auf den im Abstand s stehenden Schirm.

a) Berechnen Sie die Auslenkung yl des Strahles, wenn an das Plattenpaar die Spannung Uy angelegt wird. Anleitung: Legen Sie den Ursprung des zur Berechnung verwendeten Koordinatensystems in den Punkt 0.

b) Wie wirken sich Ladung und Masse der Ionen auf Ablenkung aus?

c) Untersuchen Sie die in Teilaufgabe a) erhaltenen Auslenkung yl im Hinblick auf folgende Grenzfälle:

1) Ub = 0, 2) Uy = 0, 3) l = 0, 4) l + s = l, 5) Ub

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Braunsche Röhre – Lösung ( El. Felder Seite 43, A. 2)

Zu a) Plattenlänge l; Auslenkung:

Zu b) Ladung und Masse der Ionen haben keine Auswirkung, da der Quotient q/m nicht mehr enthalten ist.

Zu c) (1) für Ub0 strebt yl

(2) für Uy=0 wird die Auslenkung 0,

(3) für l=0 wird die Auslenkung 0,

(4) Für l+s=l wird die Gesamtablenkung yL = yl.

(5) Für Ub strebt die Auslenkung yl0

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Braunsche Röhre – Aufgabe ( El. Felder Seite 43, A. 1)

Aufgabe: In einer Braunschen Röhre beträgt die Spannung an den Ablenkplatten ( d = 1,0 cm, l = 3,0 cm, Abstand vom Schirm s = 0,20 m) Uy = 60 V. Ein Elektron tritt senkrecht zu den Feldlinien mit der Anfangsgeschwindigkeit 107 m/s in das elektrische Feld. Berechnen Sie

a) die Kraft auf das Elektron und seine Beschleunigung,

b) die Ablenkung nach Durchlaufen des Plattenpaares,

c) die Komponente der Geschwindigkeit senkrecht zu den Platten beim Verlassen des Feldes,

d) den Winkel, um den das Elektron aus seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt wird,

e) die Gesamtablenkung auf dem Schirm.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der waagerechte Wurf im Plattenkondensator

Braunsche Röhre – Lösung ( El. Felder Seite 43, A. 1)

a)

b)

c)

d)

e)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe

Elektronen der Geschwin-digkeit v = 6,0·106 m/s treten mittig in das homo-gene Feld eines Plattenkon-densators (Länge 5,0 cm) ein. An den Platten des Kondensators wird eine Wechselspannung U der Frequenz 12 kHz angelegt. Hinter dem Kondensator befindet sich eine Blende, deren Öffnung den Durch-messer d = 1,0 mm hat. Im Abstand L = 3,0 m hinter dieser Blende werden die Elektronen in Detektoren registriert (siehe Skizze).

Ein Elektronenstrahl enthalte Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeit.

a) Beschreiben und erklären Sie eingehend eine Möglichkeit, wie man daraus einen Strahl erzeugen kann, der nur Elektronen mit einer bestimmten Geschwindigkeit vo enthält.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe

b) Berechnen Sie die Flugzeit tF eines Elektrons durch den Kondensator und bestätigen Sie damit, dass sich für jedes einzelne Elektron die Feldstärke während der Durchquerung nur geringfügig ändert.

c) Begründen Sie, dass bei hinreichend großem Scheitelwert der angeleg-ten Wechselspannung nach der Blende ein ge-pulster Elektronenstrahl zur Verfügung steht.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe

Um die Aufweitung eines Elektronenpulses durch die Coulomb-Abstoßung der Elektronen untereinander abzuschätzen, wird im Folgenden ein aus 100 Elektronen bestehender Puls (Maße siehe Skizze) betrachtet. Dazu berechnet man die Kraft auf ein einzelnes Elektron am Rand des Pulses, das von der Ersatzladung QErsatz den Abstand hat. Die Ersatzladung (Wirkung der übrigen Elektronen) ergibt sich näherungsweise durch die Gesamtladung der restlichen Elektronen in der Mitte des Pulses (siehe Skizze).

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Aufgabe

d) Berechnen Sie die durch die Coulombkraft verursachte Beschleunigung a des betrachteten Elektrons. [zur Kontrolle a=1,0· 1011 m/s2]

e) Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass die Kraft während der gesamten Flugdauer nach dem Passieren der Blende konstant bleibt. In welchem Abstand von der Strahlmitte trifft dann das betrachtete Elektron am Schirm auf?

f) In der Realität ändert sich die Kraft auf das betrachtete Elektron. Wie wirkt sich dies auf das Ergebnis aus? (Begründen Sie Ihre Antwort!)

g) Begründen Sie, dass sich diese Ergebnisse auch auf einen ungepulsten (durchgehenden) Elektronenstrahl übertragen lassen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Lösung

Man kann die Elektronen z.B. durch ein sogenannten Wiensches Geschwindigkeitsfilter schicken:

Ein feiner durch eine Blende kol-limierter Strahl von Elektronen unterschiedlicher Geschwindigkeit tritt in einen Kondensator, dessen homogenes elektrisches Feld z.B. von oben nach unten gerichtet ist. Zusätzlich herrscht im Kon-densator ein homogenes Magnet-feld, welches in die Papierebene gerichtet ist.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Lösung

a) Auf ein Elektron wirken dann die elektrische Kraft und die Lorentzkraft in entgegenge-setzter Richtung. Haben diese beiden Kräfte den gleichen Betrag, so kann ein Elektron mit der Geschwindigkeit v0 = E/B die Anordnung unabgelenkt verlassen. Elektronen mit anderen Geschwindigkeiten werden abgelenkt und passieren die linke Blende nicht.

b) Für die Flugzeit gilt:

Für die Periodendauer T der Wechselspannung gilt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Lösung

noch b) Da die Flugdauer wesentlich kleiner als die Periodendauer der Wechselspannung ist, kann man davon ausgehen, dass auf die Elektronen während der Passage durch den Kondensator ein nahezu konstantes elektrisches Feld wirkt.

c) Die Elektronen können die Blende nur passieren, wenn sie im Kondensator nicht merklich abgelenkt werden. Dazu darf während des Aufenthalts im Kondensator die Spannung nur geringfügig vom Wert Null abweichen. Ist der Betrag der Spannung größer, werden die betroffenen Elektronen so weit abgelenkt, dass die auf die Blende treffen. Nach der Blende bleibt also nur ein Elektronenpaket übrig, das den Kondensator unabgelenkt durchflogen hat. Erst nach der Zeit T tritt wiederum solch ein Paket auf.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Lösung

d) Berechnung der Coulomb-kraft auf ein Elektron am Rand des Pulses:

Für die Beschleunigung des Elektrons gilt:

e) Das betrachtete Elektron führt in vertikaler Richtung eine konstant beschleunigte Bewegung aus. Es gilt:

Für die Flugdauer gilt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Lösung

Noch e) Berechnung der Ablenkung aus der Horizontalen:

f) Mit wachsendem Abstand des betrachteten Elektrons von QErsatz wird die Kraft auf dieses Elektron kleiner. Dadurch ist die tatsächliche Ablenkung etwas kleiner als die in Teilaufgabe e) berechnete.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben – Bewegung in elektrischen Feldern

Gepulster Elektronenstrahl – Lösung

g) Die Elektronen außerhalb des betrachteten Pakets sind vergleichsweise weit vom betrachteten Elektron entfernt.Daher ist die durch diese Elektronen (außerhalb des Pakets) verursachte Kraft und erst recht deren Komponente in y-Richtung sehr klein. Die Wirkung der Elektronen außerhalb des Pakets kann also vernachlässigt werden. Insofern lassen sich die Ergebnisse der vorhergehenden Teilaufgaben auch auf einen ungepulsten Elektronenstrahl übertragen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Lädt man einen Kondensator mit ei-ner bestimmten Spannung U so wird die Ladung Q von einer Platte auf die andere verschoben, so dass auf der einen Platte ein Ladungsüberschuss +Q und auf der anderen Ladungs-mangel -Q gegenüber dem neutralen Zustand besteht. Löst man den Kon-densator von der Stromquelle und entlädt ihn über ein Ladungsmess-gerät (ballistisches Galvanometer oder auf Ladung eingestellter Mess-verstärker) so gleichen sich die Über-schussladungen durch einen Ladungs-fluss der Ladung Q aus, dieser wird gemessen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Messung der aufgenommenen Ladung Q in Abhängigkeit von der angelegten Spannung U. Plattenfläche A = 800 cm² und Plattenabstand d = 4 mm bleiben konstant.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Ergebnis: Die Ladung Q ist der ange-legten Spannung proportional: Q  U

Unter der Kapazität C eines Konden-sators versteht man den Quotienten aus der Ladung Q und der Spannung U

Die Einheit ist:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Bestimmung der Kapazität C in Abhängigkeit von der Plattenfläche A. Bei gleichem Plattenabstand d = 4mm (Abstandsstückchen) wird der obige Versuch für eine zweite Fläche A = 400 cm² wiederholt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Bestimmung der Kapazität C in Abhängigkeit von der Plattenfläche A. Ergebnis: Die Kapazität C ist proportional zur Fläche des Kondensators C  A

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Bestimmung der Kapazität C in Abhängigkeit vom Plattenabstand d. Unter Beibehaltung der Plattenfläche (A = 400 cm²) wird der Plattenabstand durch Einsetzen verschiedener Abstands-stückchen variiert, Ladung und Spannung gemessen und daraus die Kapazität bestimmt

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Ergebnis: Kapazität und Abstand sind antiproportional

C  1/d

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Zusammenfassung:

C  A  1/d d.h.

0 ist eine Naturkonstante.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der Kondensator

Die Kapazität eines Kondensators berechnet sich wie folgt:

bzw.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Schaltung von Kondensatoren

Die Parallelschaltung

Schiebt man zwei Kondensatoren zusammen, bis sich die Platten berühren, so hat man einen Kondensator daraus gemacht .

Die Plattenflächen addieren sich und der Plattenabstand bleibt gleich --> Die Kapazitäten addieren sich

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Schaltung von Kondensatoren

Die Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung addieren sich die Einzelkapazitätenzur Gesamtkapazität:  Cges=C1 + C2 + C3..

Die Spannung an den Kondensatoren ist gleich: U1 = U2 = U

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Schaltung von Kondensatoren

Die Parallelschaltung

Sind die Einzelkapazitäten verschieden, sind auf den Kondensatoren unterschiedliche Ladungsmengen.Beispiel: Spannung U=100 V; C1 =5 F; C2 =2 F Q1=C1·U = 5·100 = 500 C; Q2=C2·U = 2·100 = 200 C

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Schaltung von Kondensatoren

Die Reihenschaltung

Unabhängig von der Spannung Uges gilt:

Alle Kondensatorplatten aller Kondensatoren tragen stets (betragsmäßig) dieselbe Ladungsmenge Q. Da die Kapazität der Kondensatoren aber un-terschiedlich ist, gilt dies auch für die ein-zelnenSpannungen an den Kondensatoren:

Die Teilspannungen U1 und U2 und U3 addieren sich zur Gesamtspannung Uges.

Uges = U1 + U2 + U3

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Schaltung von Kondensatoren

Die Reihenschaltung

Wegen und Q = Q1 = Q2 = Q3

Man dividiert durch Q und erhält 

Für die Gesamtkapazität bei der Reihenschaltung gilt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Energie des elektrischen Feldes

Die elektrische Energie eines mit der Span-nung U aufgeladenen Kondensators mit der Kapazität C ist:

Diese Energie kann man als potentielle Energie der La-dungen auffassen. Es ent-spricht aber der Feldvor-stellung, dass man sich die Energie im Feld gespeichert vorstellt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Energie des elektrischen Feldes

Die Energiedichte el an einem Ort eines elektrischen Feldes ist der Quotient aus der Energie ∆W, die das Feld an diesem Ort in einem umgebenden Volumen ∆V enthält, und dem Volumen ∆V

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Energie des elektrischen Feldes

Für ein homogenes Feld darf man die Energiedichte als konstant annehmen. Man kann für den Plattenkondensator daher die gesamte Energie des Feldes durch das einge-schlossene Volumen V = A d dividieren.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Energie des elektrischen Feldes

Den für das homogene Feld hergeleiteten Ausdruck der Energiedichte kann man auf allgemeine Felder übertragen, da sie in genügend kleinen Bereichen als (nahezu) homogen betrachtet werden dürfen

Die Energiedichte eines (beliebigen) elektrischen Feldes an einem Ort mit der Feldstärke E ist gegeben durch

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Anziehungskraft zwischen den Kondensatorplatten

Die elektrische Feldstärke in einem Plattenkondensator hängt nicht vom Plattenabstand d ab, wenn die Quelle abgetrennt ist. Zieht man die Platten mit der Fläche A auseinander, so vergrößert man das vom Feld erfüllte Volumen V = A  s und seine Energie um

Zum Ziehen längs der Feldlinien braucht man die Kraft F, also die Energie W = F  s

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatorauf- und Entladung

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatoraufladung

führt auf die Differenzialgleichung

Um den konstanten Term UG/R wegzubekommen, leitet man noch einmal nach t ab. Die endgültige Differenzialgleichung lautet dann:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatoraufladung

Ein Ansatz für die Lösung lautet:

Setzt man in die Differenzialgleichung ein, so erhält man:

Daraus ergibt sich:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatoraufladung

Zu Beginn (t=0) ist die vorhandene Ladung 0.

Am Ende der Aufladung (t) ist die gesamte Ladung Qo.

  • Man erhält 2 Gleichungen:
  • A1 + A2 = 0 (2) A2 = Q0
  • Daraus ergibt sich: A2 = Q0 und A1 = -Q0
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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatoraufladung

Die Lösung der Differenzialgleichung lautet somit:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatoraufladung

Für die Spannung gilt:

Zusammenfassend ergibt sich:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatorentladung

Strom und Spannung ändern sich im Verlauf der Zeit, also I = I(t) und U = U(t). Sie sind aber durch das Ohmsche Gesetz miteinander verknüpft: U(t) = I(t) * R (1)

Zur Zeit t ist die elektrische Ladung Q(t). Es gilt: Q(t) = U(t) * C (2) bzw. aufgelöst nach U(t): U(t) = Q(t)/C

Setzt man U(t) in die Gleichung (1) ein, so ergibt sich:

Beachtet man noch das gilt:

So erhält man die folgende Differenzialgleichung:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatorentladung

Differenzialgleichung

Als Lösungsansatz kommt nur die e-Funktion in Frage

Setzt man dies in (3) ein, so erhält man:

Zu Beginn ist die gesamte Ladung noch auf dem Kondensator, also: Q(t=0) = A = Q0

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatorentladung

Jetzt müssen noch I(t) und U(t) bestimmt werden.

Es gilt: I(t) = - Q‘(t) Damit ist

Für U(t) erhält man aus der Gleichung: Q(t) = C  U(t)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Kondensatorentladung

Zusammenfassend ergibt sich:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

1.Aufgabe: Ein Plattenkondensator mit der Plattenfläche A = 400 cm2 und dem Plattenabstand d = 2 mm wird auf die Spannung U = 1000 V aufgeladen. Zwischen den Platten ist Luft. Nach dem Aufladen wird die Quelle wieder abgetrennt.

a) Berechnen Sie die Ladung des Kondensators und die Feldstärke zwischen den Platten.

b) Nun schiebt man eine 2 mm dicke Glasplatte (r = 5) zwischen die Kondensator­platten. Erklären Sie die physikalischen Vorgänge im Innern der Glasplatte und be­rechnen Sie die dort vorliegende Feldstärke sowie die Spannung zwischen den Platten.

c) Nun werden die Kondensatorplatten auf 4 mm Abstand auseinandergezogen, wo­bei aber die Glasplatte zwischen den Kondensatorplatten verbleibt. Wie groß ist jetzt die Spannung zwischen den Platten?

d) Die nach c) berechnete Spannung (1200 V) soll mit einem Elektrometer mit der Eigenkapazität 10 pF nachgeprüft werden. Welchen Wert Ux zeigt das Elektrometer an?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Lösung

Kapazität:

a)Ladung

El. Feldstärke

b)Wenn die Quelle abgetrennt wird, ändert sich die Ladung nicht, dafür aber die Spannung und zwar nach der Formel: Q = C U.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Auf- und Entladen eines Kondensators

2.Aufgabe: Bei der langsamen Aufladung und langsamen Entladung betrug die Kapazität des Kondensators 100 F, die angelegte Spannung 5 V. Es ergab sich folgende Messreihe:

a) Zeichnen Sie das I-t-Diagramm ( 1 cm = 2 s, 1 cm = 5 A).

b) Ermitteln Sie aus einer Flächenbestimmung die zu- und die abgeflossene Ladungsmenge. Wie werden sinnvollerweise angeschnittene Flächenelemente gezählt?

c) Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators (Vergleich mit dem angegebenen Wert).

d) Ermitteln Sie die Zeitpunkte, zu denen die Stromstärke auf den Bruchteil ½, ¼, 1/8 des Wertes zum Zeitpunkt t = 0 s abgesunken ist. Ermitteln Sie daraus die Halbwertszeit. Zeigen Sie durch Zeichnung, dass die Darstellung auf halblogarithmischen Papier eine Gerade ergibt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung

Fläche (= Ladungsmenge): 573,95 C

Fläche (= Ladungsmenge): 436,22 C

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung

Fläche (= Ladungsmenge): 537,16 C

Fläche (= Ladungsmenge): 468,29 C

Erhöht man die Anzahl der Rechtecke, so erhält man: ca. 500 C

Berechnet man die Ladung, so benötigt man die Gleichung

Q = C * U und erhält: Q = 500 C

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Auf- und Entladen eines Kondensators - Lösung

d) Aus der graphischen Darstellung erkennt man: ½: ca. 5 s - ¼: ca 10 s und 1/8: ca. 15 s. Damit ist die Halbwertszeit 5s.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Diodenlichtschaltung - Lösung

In nebenstehender Schaltung soll ein Diodenlicht (LED) nach Fern-bleiben der Generatorspannung weiterleuchten.

Die LED benötigt einen Betriebs-strom von 5 bis 20mA und wird zur Berechnung als ideales Ventil angenommen.

a) Welchen Widerstandswert sollte R aufweisen ?

b)Wie lang ist die Nachleuchtdauer ? oder anders gefragt:

Nach welcher Zeit ab dem Abschalten von UG wird die LED mit nur noch 5mA betrieben?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Diodenlichtschaltung - Lösung

a) Um die maximale Stromstärke im Stromkreis zu begrenzen, muss der Widerstand berechnet werden.

b) Daraus ergibt sich die Entladefunktion:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Diodenlichtschaltung - Lösung

Die Diode leuchtet gerade noch bei 5 mA. Daraus lässt sich die dazu benötigte Spannung berechnen:

U (bei 5mA) = R I = 300  5 mA = 1,5 V

Zieht man jetzt im Abstand 1,5V eine Parallele zur t-Achse, so kann man die Zeit ablesen (etwas über 400 s).

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Diodenlichtschaltung - Lösung

Rechnerisch muss man folgende Gleichung lösen

Damit ergibt sich für t:

t  415,88 s 7 min

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

a)In der abgebildeten Schaltung bleibe zunächst der Schalter S2 offen. Der Schalter S1 werde zum Zeitpunkt t = 0 s geschlossen. Geben Sie in je einem Schaubild den zeitlichen Verlauf von Ladestrom I(t) und Konden-satorspannung Uc(t) qualitativ an. Begründen Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung.

b)Während einer von to bis t1 = t0 + Δt gehenden Zeitspanne kann man die Kondensatorspannung Uc(t) näherungsweise als Uc(t0), d.h. als konstant ansehen.

Welche Ladungsportion ΔQ fließt dann während dieser Zeitspanne auf den Kondensator?

Berechnen Sie hieraus die Kondensatorspannung Uc(t1), die für die folgende Zeitspanne Δt näherungsweise als konstant anzusehen ist. Berechnen Sie nach diesem Verfahren mit Hilfe der in der Schaltskizze angegebenen Zahlenwerte die Kondensatorspannung in Schritten von Δt = 0,100 s für 0 s ≤ t ≤ 0,700 s.

Zeichnen Sie hiermit näherungsweise das Uc(t)-Schaubild. (10 V → 0,5 cm; 0,1 s → 1 cm).

Verläuft das exakte Schaubild oberhalb oder unterhalb des gezeichneten Schaubildes? Begründen Sie ihre Antwort!

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

c) Nun wird bei entladenem Kondensator zuerst der Schalter S2, dann der Schalter S1 geschlossen.

Zeichnen Sie qualitativ den Uc(t)-Verlauf bei dieser Anordnung, falls die Glimmlampe bei Uz = 110 V zündet und bei Ul = 90,0 V erlischt.

Berechnen Sie mit der mittleren Kondensatorspannung Uc = 100 V näherungsweise die Zeit ΔT zwischen Zünden und Erlöschen der Glimmlampe. Der Widerstand der gezündeten Glimmlampe ist hierbei zu vernachlässigen.

Welche Gesamtenergie gibt der Kondensator dann während der Zeit ΔT an den Widerstand R2 ab?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

Lösung

a) Für t = 0 s ist der Kondensator noch ungeladen, der angelegten Batteriespannung wirkt noch kein Uc = entgegen. (Andere Erklärung: Es fließt Ladestrom, ein Teil der Batteriespannung fällt an R ab).Auf Grund des anfänglich hohen Ladestroms nimmt die Kondensatorspannung rasch zu, der Strom fällt ab. Da nun die Ladung langsam zunimmt, steigt Uc(t) nur noch langsam an und erreicht schließlich den Grenzwert Uo.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

Lösung

b)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

Lösung

c) Die exakte Kurve läuft unterhalb der mit vorstehender Tabelle gezeichneten:

Für die Berechnung von ΔQ in einem Intervall Δt (z.B.[0s; 0,1s] wird die Kondensatorspannung zu Beginn des Intervalls benutzt. In dem "Beispielintervall Uc = 0V). Tatsächlich nimmt die Kondensatorspannung aber während dieses Zeitintervalls zu, d.h. das "wahre" ΔQ ist kleiner. Somit ist auch gesamt Q und somit Uc kleiner.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

Lösung

c)Die Spannung am Kondensator steigt bis 110 V an. Die Ladezeit wird durch R1 und C bestimmt. Dann zündet die Glimmlampe und der Kondensator kann sich über den nieder-ohmigen "Glimmlampenzweig" entladen. Die Entladezeit wird durch R2 und C bestimmt. Da R2 << R1, geht die Entladung schneller als die Aufladung.Ist Uc = 90 V erreicht, so erlischt die Glimm-lampe und erst wenn Uc = 110 V wieder er-reicht ist, kommt es wieder zur Zündung.Während des Entladevorganges sei die mittlere Kondensatorspannung <Uc> = 100 V. Dann fließt während des Entladevor-ganges ein mittlerer Strom von

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Entladen eines Kondensators über eine Glimmlampe

Lösung

Dieser Strom führt in der Zeit ΔT zu einer Ladungsabnahme ΔQ = <I>·ΔT (1).

Diese Ladungsabnahme kann aber auch über die Abnahme der Kondensatorspannung ΔUc berechnet werden: Δ Q = Δ Uc · C (2). Durch Gleichsetzen von (1) und (2) erhält man: ; ΔT = 1,00 · 10-6 s;

Δ W = 0,5· C· (Uz2 - Ul2); ΔW = 0,5· 1,00· 10-6(1102 - 902) J = 2,0 · 10-3 J;

oder: Δ W = <Uc> · <I> · ΔT = 2,0· 10-3 J;

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator

Ein Power-Kondensator wird im Auto zur Stabilisierung der 12-V-Betriebsspannung bei kurzzeitig erhöhtem Strombedarf eingesetzt. Bei der Konstruktion dieses Kondensators wird u. a. auf eine hohe Energiedichte Wert gelegt:

Daten des Power-Kondensators: Zylinderform (Durchmesser d = 8,0 cm, Höhe h = 28 cm), Kapazität C = 1,50 F, Innenwiderstand Ri = 2,0 mΩ , Ladespannung U = 12,0 V.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator

a) Wie groß sind die gespeicherte Energie und die Energiedichte des vollständig geladenen Kondensators?

b) Welchen Durchmesser D hätten die kreisförmigen Platten eines Kondensa-tors mit Luft im Zwischenraum und einem Plattenabstand d' von 1,0 mm, dessen Kapazität ebenfalls 1,50 F beträgt? Welche Energiedichte hätte das elektrische Feld dieses Plattenkondensators bei einer Spannung von 12,0 V?

Der geladene Power-Kondensator wird über einen Lastwiderstand Ra entladen. Das folgende Diagramm stellt den zeitlichen Verlauf der Entladestromstärke I dar.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator

c) Entnehmen Sie dem Diagramm die momentanen Entladestromstärken für t1 = 0 bis t7 = 0,30 s in Abständen von 50 ms. Erstellen Sie hierzu eine Wertetabelle und zeichnen Sie das zugehörige  

d)Der Entladevorgang wird durch die Funktion I(t) = I0·e-k t mit

beschrieben. Wie kann dieser Zusammenhang mit dem in Teilaufgabe c erstellten Diagramm bestätigt werden? Ermitteln Sie die Konstante k aus diesem Diagramm und berechnen Sie damit Ra. [zur Kontrolle: Ra = 96 mΩ ]

e) Schätzen Sie die elektrische Energie ab, die der Power-Kondensator während der ersten 50 ms bei der Entladung abgibt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator Lösung

a) Berechnung der Energie:

Berechnung der Energiedichte:

b) Berechnung des Durchmessers des "Luftkondensators":

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator Lösung

Noch b)

c)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator Lösung

c)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator Lösung

d) Durch Logarithmieren der Funktion

erhält man:

Die Größe -k ist somit die Steigung der Ursprungsgeraden in dem obigen Diagramm. Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks erhält man k = 6,8 s-1.

Berechnung von Ra:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Power-Kondensator Lösung

d) Abschätzung der Ladung (Fläche unter der Zeit-Strom-Kurve) in den ersten 50 ms:

Die mittlere Stromstärke in diesem Zeitintervall ist ca. 100 A. Somit gilt für die Ladung:

Für die elektrische Energie gilt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektronenblitz beim Kondensator

In der Abbildung ist - etwas vereinfacht - der prinzipielle Aufbau eines Elektronenblitzes für einen Fotoapparat dargestellt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektronenblitz beim Kondensator

a)Erklären Sie die Funktion der verschiedenen Bauteile und gehen Sie insbesondere darauf ein, wie es durch das Schließen des Kamerakontaktes zum Auslösen eines Blitzes in der Blitzröhre kommt.

b)Der Blitzkondensator hat eine Kapazität von C=300μF und wird auf eine Spannung von 500V aufgeladen. Welche Ladung und welche elektrische Energie ist in dem Kondensator gespeichert.

c)Die mittlere Entladeleistung sei etwa 1,5kW. Wie lange könnte eine solche Entladung theoretisch dauern? Welche durchschnittliche Stromstärke würde bei dieser Entladung auftreten?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektronenblitz beim Kondensator

d) Tatsächlich dauert die Entladung nur etwa 1/1000 s. Nennen Sie einen Grund für das Abweichen der theoretisch berechneten Entladezeit.

e) Der Akku besteht aus vier Elementen von je 1,2V und 750mAh Ladungsinhalt. Schätzen Sie ab, wie oft man mit einer Akkuladung blitzen kann.

f) Nachdem man geblitzt hat, dauert es immer eine Weile, bis das Blitzgerät wieder betriebsbereit ist. Woher kommt das?

g) Von welcher Größenordnung muss das Übersetzungsverhältnis beim linken Transformator sein?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektronenblitz beim Kondensator - Lösung

a) Die Gleichspannung des Akkus wird durch den Wechselrichter zerhackt. Erst eine sich ändernde Spannung kann durch den Transformator hochgespannt werden. Mit dem Gleichrichter wird eine pulsierende Gleichspannung erreicht, die den Blitzkondensator und über einen Spannungsteiler auch den Zündkondensator auflädt. Der Blitzkondensator kann sich über die Blitzröhre noch nicht entladen, da die Gasstrecke in der Röhre noch isoliert.Wird durch den Kamerakontakt der Zündkreislauf geschlossen, so entlädt sich der Zündkondensator über die Primärspule des Zündtrafos. Auf der Sekundärseite dieses Trafos entsteht eine sehr hohe Spannung (ca. 10kV). Durch die Zündelektrode kann nun das Edelgas in der Blitzröhre ionisiert werden. Die Gasstrecke zwischen den schwarz gezeichneten Elektroden ist nun leitend und der Blitzkondensator entlädt sich über die Blitzröhre. Dabei wird kurzzeitig ein sehr heller Lichtblitz ausgesandt.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektronenblitz beim Kondensator - Lösung

b)Berechnung der gespeicherten Ladung:

Berechnung der gespeicherten Energie:

c) Berechnung einer oberen Schranke für die Entladezeit:

Berechnung des mittleren Entladestroms:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektronenblitz beim Kondensator - Lösung

d) Der Kondensator entlädt sich nicht vollständig. Sinkt nämlich die Spannung unter einen gewissen Wert, ist die Blitzröhre nicht mehr leitend und die Entladung wird unterbrochen.

e) Berechnung der Energie W* in den vier Elementen:

Berechnung der theoretischen Zahl der Blitze

f) Es dauert eine Weile, bis der (fast) entladene Kondensator wieder voll aufgeladen ist. Die Ladezeit hängt von der Kapazität des Kondensators und dem Wert der Widerstände im Ladekreis ab.

g) Das Übersetzungsverhältnis ist grob das Verhältnis der Ladespannung von 500V zur Spannung des Akkus:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektrisches Pendel

a) Welchen Ausschlag s erfährt ein Kügelchen der Masse m = 0,40 g, das am Faden der Länge l = 1,0 m hängt, wenn es die Ladung q = 5,0·10-9 As im Feld der Stärke E = 7,0·104 N/As trägt?

b) Das Kügelchen von Teilaufgabe a) d.h. q = 5,0·10-9 As pendelt in 10 Sekunden zwi-schen beiden Platten 40mal hin und 40mal her. Welche mittlere Stromstärke I zeigt ein Messverstärker in der Kondensatorzuleitung?

Unter abgewandelten Bedingungen pendelt das Kügelchen je Sekunde 5mal hin und 5mal her; die mittlere Stromstärke I ist 2,0 nA. wie groß ist jetzt E, wenn das ruhende Pendel um 5,0 cm ausgelenkt wird?

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektrisches Pendel - Lösung

a)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Elektrisches Pendel - Lösung

b)

c)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Ionen im elektrischen Querfeld - Aufgabe

Aufgabe:Eine positiv geladene Wolke in 400 m Höhe bildet zusammen mit dem Erdboden einen Plattenkondensator (Fläche einer "Platte" 8,0 km2 ). Zwischen Wolke und Erde herrscht die Feldstärke E = 1,2 · 105 V/m, die so hoch ist, dass eine Entladung durch die Luft (Blitz) unmittelbar bevorsteht.

a) Wie groß ist die Ladung der Wolke, welche Spannung herrscht zwischen ihr und dem Boden?[zur Kontrolle: Q = 8,5 C]

b)Welche Ladung müsste ein kugelförmiges Wassertröpfchen mit 2,0 mm Durch-messer haben, wenn es vor Entladung der Wolke zwischen dieser und der Erde bei Windstille gerade schweben würde? (Der Auftrieb in Luft ist zu vernachlässigen.)

c) Wie lange würde die Entladung der Wolke dauern, wenn die mittlere Stromstärke des Blitzes 4,0 kA betragen würde?

d) Noch bevor es zu einer Entladung kommt, drückt ein Fallwind die Wolke auf eine niedrigere Höhe herab. Die Ladung der Wolke bleibe dabei konstant. Wie ändert sich qualitativ die elektrische Feldstärke zwischen Wolke und Erde? Wird eine Entladung der Wolke dadurch wahrscheinlicher? Geben Sie eine kurze Begründung.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung

a) Feldstärke und Spannung beim Plattenkondensator:

=> U = E·d => U = 1,2 · 105 V/m · 400m = 4,8 · 107 V

Kapazität und Ladung beim Plattenkondensator:

                              =>                                                     = 1,8 · 10-7 F                    => Q =C·U => Q =1,8 · 10-7 F ·4,8 · 107 V = 8,5As

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator

Ionen im elektrischen Querfeld - Lösung

b) Berechnung der Ladung eines Tröpfchens:

Gewichtskraft = Elektrischer Kraft => E·q = m·g

Mit m =   V und VKugel = 4/3  r3 ergibt sich dann für die Ladung:

mit r = 1mm; r = 1 g/cm³ = 1000 kg/m³ und g = 9,81 m/s² =>

c) Berechnung der Entladezeit (Q = I  t) :

d) Für die Feldstärke gilt . Da keine dieser Größen auf der rechten Seite der Gleichung sich ändert, ändert sich auch E nicht, da nur E für die Entladungswahrscheinlichkeit maßgebend ist, ändert sich diese auch nicht.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Thema Kondensator – Dorn-Bader: S.197, A.1

Aufgabe: a) Ein Streifen eines Blockkondensators hat auf jeder Seite 20 m2 Fläche und 0,05 mm Abstand zum anderen (r = 2) Wie groß sind Kapazität und Ladung bei 100 V? Bei welcher Spannung ist Q = 100 C?

b) Wie lang müssten die 5,0 cm breiten Streifen sein, damit C = 10 F wird?

Lösung: a)

Damit ergibt sich: C = 7,0810-6 F = 7,08 F

Aus U = Q/C erhält man mit den entsprechenden Werten: U = 14,1243 V

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte

Der Quotient aus Ladungsmenge Q und Flächeninhalt A heißt Flächenladungsdichte 

Bemerkung: Im homogenen Feld des Plattenkondensators ist die Flächenladungsdichte überall gleich groß.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte

Die Grundgleichung des elektrischen Feldes

Die Flächenladungsdichte ist proportional zum Betrag der elektrischen Feldstärke an der Leiteroberfläche

 = 0 E

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte - Aufgabe

Aufgabe: Eine quadratische Metallplatte der Fläche A = 1,0 m2 ist so im Raum in vertikaler Stellung angeordnet, dass die Umgebung weit entfernt ist. Vor der Platte hängt in geringem Abstand ein leitendes Kügelchen mit der Gewichtskraft Fg = 6,0× 10-3 N an einem dünnen Perlonfaden der Länge l = 2,0 m. Das Kügelchen trägt die Ladung q = +5,56× 10-10 As. Die Metallplatte wird negativ aufgeladen. Dadurch wird das Kügelchen aus seiner tiefsten Lage um die horizontale Strecke s0 = 2,5 cm zur Platte hin ausgelenkt.

a) ) Fertigen Sie eine Kräfteskizze für das Kügelchen und berechnen Sie die Feldstärke E0 des Plattenfeldes am Ort des Kügelchens.

) Skizzieren Sie das elektrische Feld der Metallplatte für sich allein und berechnen Sie die Flächendichte der Ladung an der dem Kügelchen zugewandten Seite der Platte sowie die Gesamtladung der ganzen Platte.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte - Aufgabe

b) Nun wird im Abstand d = 10 cm parallel zur ersten Platte eine zweite Platte gleicher Größe aufgestellt, welcher genau so viele Elektronen fehlen, wie sie die erste Platte im Überschuss hat. Das am Perlonfaden aufgehängte Kügelchen befindet sich jetzt etwa in der Mitte zwischen beiden Platten, seine Ladung hat sich nicht geändert.

) Ermitteln Sie die Auslenkung s1 des Kügelchens bei dieser Anordnung.

) Berechnen Sie die Spannung U1 des entstandenen Plattenkondensators. c) Nun wird ein ungeladenes elektrostatisches Voltmeter an geladenen Plattenkondensator von b) ß) angeschlossen. Dabei geht die Auslenkung des Kügelchens auf den Wert s2 = 0,74× s1 zurück. Berechnen Sie die als konstant angenommene Kapazität des elektrostatischen Voltmeters Cx.

d) Nach dem Versuch von c) zeigt das elektrostatische Voltmeter mit der Kapazität Cx = 31 pF die Spannung U2 an. Nun wird der Abstand der Metallplatten vom Wert d1 = d2 = 10 cm auf den neuen Wert d3 = 15 cm vergrößert, wobei das elektrostatische Voltmeter angeschlossen bleibt. Dadurch ändert sich seine Spannungsanzeige auf den Wert U3. Die Auslenkung des Kügelchens ändert such auf den Wert s3. Berechnen Sie die Verhältnisse U3 : U2 sowie s3 : s2.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte - Lösung

a) )

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte - Lösung

a) )

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte - Lösung

Die Feldstärke ist im Raum zwischen den Platten doppelt so groß und damit auch die Auslenkung: s1 = 2·s0 = 5,0 cm;

b) )

) Es gilt:

U1 = 2·E0 d; U1 = 27 kV

c) Berechnung der Kapazität des Plattenkondensators:

Wenn die Auslenkung zurückgeht, geht auch die elektri-sche Feldstärke und damit auch die Spannung zurück:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte - Lösung

c) Es handelt sich um eine Parallelschaltung von Kondensator und Elektroskop (Cx). Bei der Verbindung des Kondensators mit dem Elektroskop bleibt die Ladung erhalten.:

d) Durch das Auseinanderziehen der Platten ändert sich die Kapazität des Plattenkondensators auf den Wert

Da die Ladung beim Auseinander-ziehen erhalten bleibt, gilt:

Die Auslenkung ist proportional zur Feldstärke:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die Flächenladungsdichte

Die Feldstärke im radialen Feld

Aus den beiden Gleichungen  = 0 E ,

und A = 4  r2 erhält man für die Feldstärke des radialen Feldes

wobei Q die felderzeugende Ladung ist

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das Coulomb-Gesetz

Die Kraft zwischen zwei punktförmigen oder kugelförmigen Ladungen Q1 und Q2 ist:

dabei ist r der Abstand der beiden Kugelmitten

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im radialsymmetrischen Feld

Die Arbeit, die man aufbringen muss, um eine positive Ladung Q2 aus der Entfernung r1 im elektrischen Feld einer Punktladung Q1 auf die Entfernung r2 zu bringen, beträgt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Arbeit im radialsymmetrischen Feld

Die Arbeit, die man aufbringen muss, um eine positive Ladung Q2 aus der Entfernung r1 im elektrischen Feld einer Punktladung Q1 ins Unendliche (r2 = ) zu bringen, beträgt:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das elektrische Potenzial

Unter dem elektrischen Potenzial  in irgendeinem Punkt des elektrischen Feldes in bezug auf einen willkürlich gewählten Anfangspunkt A versteht man den Quotienten aus der Arbeit W, die aufgewendet werden muss, um eine positive Ladung Q2 vom Punkt A an die betreffende Stelle des Feldes zu bringen, und der Ladung Q2

Das Potenzial hat die Einheit: 1 V (Volt)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das elektrische Potenzial

Unter dem elektrischen Potenzial  in irgendeinem Punkt des elektrischen Feldes in bezug auf einen Punkt im Unendlichen versteht man den Quotienten aus der Arbeit W, die aufgewendet werden muss, um eine positive Ladung Q2 vom Punkt A an die betreffende Stelle des Feldes zu bringen, und der Ladung Q2

Das Potenzial hat die Einheit: 1 V (Volt)

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Spannung und Potenzial

Die elektrische Spannung U zwischen zwei Punkten P1 und P2 ist gleich der Differenz ihrer Potenziale

U21 = 02 - 01

Man spricht von der Spannung P2 gegenüber dem Punkt P1, geschrieben U21.

Die Spannung P2 gegenüber P1 ist positiv, wenn P2 ein höheres Potenzial besitzt als P1.

Die Spannung P2 gegenüber P1 ist negativ, wenn P1 ein höheres Potenzial besitzt als P2.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Coulomb-Gesetz

5.Aufgabe: Eine Probeladung von 8,34 nC ist 18 cm von einer Ladung entfernt und erfährt von dieser eine Kraft von 23 mN.

a) Wie groß ist diese Ladung?

b) In welchem Abstand hat sich die Kraft halbiert?

Lösung:

a) Man benötigt die Gleichung für die Coulomb-Kraft, setzt die gegebenen Werte ein und erhält, nach Q2 aufgelöst:

b) Die Ladung von Q2 ist jetzt bekannt. In die obige Gleichung wird Q2 eingesetzt, für FC entsprechende 23 mN/2 = 11,5 mN und man erhält als Ergebnis: r = 0,255 m.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Coulomb-Gesetz

6.Aufgabe: a) Zwei kleine, isolierte Metallkügelchen tragen +31 nC und -23 nC Ladung. Wie groß ist die Kraft bei einem Abstand von 18 cm?

b) Die zwei Kügelchen werden kurz in Kontakt gebracht. Wie groß ist danach die Kraft in 18 cm Abstand? Ist sie jetzt anziehend oder abstoßend?

Lösung:

a) Man benötigt die Gleichung für die Coulomb-Kraft, setzt die gegebenen Werte ein und erhält:

b) Bringt man die beiden Kugeln in Kontakt, so verteilt sich die restliche La-dung von 31 nC–23 nC = 8 nC auf beide Kugeln. Jede Kugel trägt jetzt 4 nC. Man setzt wieder in die obige Gleichung ein und erhält: FC = 4,4410-6 N. Die Kraft ist jetzt abstoßend.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Coulomb-Gesetz

7.Aufgabe: Zwei kleine Kügelchen à 0.12 g werden an zwei 87 cm langen, isolierenden Seidenfäden am selben Punkt aufgehängt und gleichstark aufgeladen. Durch die Coulomb-Kraft werden die Kügelchen 14cm auseinander getrieben. Wie groß ist die Ladung eines Kügelchens?

Lösung:

Aus der Zeichnung erkennt man folgende Beziehungen:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Coulomb-Gesetz

Lösung:

Setzt man die angegebenen Werte ein, so erhält man:

Q = 14,3 nC und  = 4,61o

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Coulomb-Gesetz

9.Aufgabe: Zwei Ladungen Q1 und Q2 haben Abstand d. Eine Probeladung q wird auf der Verbindungsgeraden platziert. In welchem Abstand von Q1 ist die Probela-dung kräftefrei, wenn a) Q1 : Q2 = 1/4 b) Q1 : Q2 = -1/4 c) Spielt das Vorzeichen von q oder Q1 eine Rolle?

Lösung:

Auf die Ladung wirken zwei Kräfte, einmal die von Q1 mit dem Abstand r1 und die von Q2 mit dem Abstand r2. Diese beiden Kräfte sollen gleich sein

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben zum Coulomb-Gesetz

Lösung:

Wenn Q1 und Q2 das gleiche Vorzeichen haben, so liegt q zwischen den beiden Ladungen. Haben Q1 und Q2 ungleiche Vorzeichen, so liegt q außerhalb der Verbindungslinie von Q1 und Q2. Hier muss noch unterschieden werden, welches Vorzeichen q hat. Einmal liegt q dann links von Q1 bzw. von Q2.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

1.Aufgabe: Welche Kraft erfährt die Ladung 10 nC bzw. -10 nC in einem Feld der Stärke 10 kN/C?

b) Wie groß ist die Ladung, die dort eine Kraft von 10 N erfährt?

a)Fel = Q*E = 10000N/C * 10 nC = 10-4 N

b)Q = Fel / E = 10 N / 10 kN/C = 1*10-9 C

2.Aufgabe: Die Ladung q1 = 1,0 nC erfährt im Feld E1 die Kraft F1 = 0,10 mN, die Ladung q2 = 3,0 nC im Feld E2 die Kraft F2 = 0,20 mN.

a) Welches Feld ist stärker?

b) In welchem Verhältnis müssten zwei Ladungen stehen, damit sie im Feld E1 und E2 gleich große Kräfte erfahren?

a) E1 = Fel/q1 = 0,1 mN / 1,0 nC = 105 N/C

E2 = Fel/q2 = 6,67*104 N/C

b) Das Verhältnis müsste E2/E1 sein.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

3.Aufgabe: Ein Kügelchen ( m = 4,0 g) trägt die Ladung q = 5,0 nC und hängt an einem Faden der Länge l = 1,0 m.

a) Welchen Ausschlag s erfährt es im horizontal verlaufenden Feld der Stärke 70 kN/C?

b) Bei welcher Ladung q schlägt ein Pendel doppelter Länge gleich weit aus?

a)Man benutzt die Gleichung Fel /FG = s/l. Hier löst man nach s auf und ersetzt Fel durch Q*E. Man erhält dann:

s = Q*E*l/FG. Setzt man die angegebenen Werte (m = 4 g und nicht 0,4 g) ein, so erhält man s = 0,089m = 8,9 cm (Bei 0,4 g sind es s = 0,89 m = 89 cm)

b)Q = s * FG / (E*l) = 0,89 m * 4*9,81 N/(70 000 N/C * 2m) =

2,5*10-9 C = 2,5 nC

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

Dorn/Bader Seite 21

Aufgabe 1: Zwischen zwei Kondensatorplatten (Abstand d = 5,0 cm) mit je 450 cm2 Fläche liegt die Spannung U = 10 kV.

a) Wie groß sind Feldstärke E und Flächenladungsdichte  der felderzeugenden Ladung? Welche Ladung trägt jede Platte?

b) Wie ändern sich diese Werte, wenn man die Platten bei konstanter Plattenladung auseinander zieht?

c) Wie ändern sich die Werte, wenn dabei die Quelle angeschlossen bleibt?

EFeld = U/d //. {U -> 10000, d -> 0.05}

E = 200000.00 V

sigma = epsilon0*EFeld //.

{epsilon0 -> 8.85*10-12, EFeld -> 200000.`}

 = 1.77*10-6 C/m2

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

Kapazitaet = epsilon0*A/d //.

{epsilon0 -> 8.85*10-12, A -> 0.045, d -> 0.05}

C = 7.965*10-12 F

Ladung = Kapazitaet*U //.

{Kapazitaet -> 7.965*10-12, U -> 10000}

Q=7.965*10-8 C

b) Die Ladung bleibt konstant, die Kapazität verkleinert sich, damit erhöht sich die Spannung. Die elektrische Feldstärke bleibt gleich.

c) Die Spannung bleibt konstant, die Kapazität verkleinert sich, damit verkleinert sich auch die Ladung. Die elektrische Feldstärke verkleinert sich.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

Dorn/Bader Seite 21

Aufgabe 2: Die Kugel eines Bandgenerators trägt die Ladung Q = 0,1 C. Wie groß ist die Feldstärke im Abstand r = 80 cm vom Kugelmittelpunkt? Welche Ladungen werden auf zwei Testplatten (Fläche A = 4 cm2) influenziert, die senkrecht zum Feld stehen?

EFeld = Q1/(4*Pi*epsilon0*r2 -> 8.85*10-12}

E = 1404,97 V/m2

sigma = epsilon0*EFeld //.

{epsilon0 -> 8.85*10-12, EFeld -> 1123.975`}

 = 1,2434*10-8C/m2

Solve[sigma == Ladung/A, Ladung] //.

{sigma -> 9.947*10-9, A -> 0.0004}

Q =4.974*10-12 C

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

Dorn/Bader Seite 27

Aufgabe 2: Zwei kreisförmige Platten von 24 cm Durchmesser haben den Abstand 4,0 mm. a) Berechnen Sie Energieinhalt und Energiedichte bei U = 3,0 kV bzw. 6,0 kV. b) Mit welcher Kraft ziehen sich die Platten an? c) Wie groß ist die Spannung, wenn die Spannungswaage die anziehende Kraft 1,0 N anzeigt?

a) Energieinhalt (3000 V)= 0,026204 J

Energieinhalt (6000 V)= 0,052408 J

Energiedichte (3000 V) = 2,48906 J/m3

Energiedichte (6000 V) =9,95625 J/m3

b) F (3000 V) = 0,112603 N F (6000 V) = 0,45041 N

c) U = 6000 V

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aufgaben

Dorn/Bader Seite 27

Aufgabe 3: Ein Kondensator von 10 F wird auf 200 V aufgeladen und einem auf 100 V geladenen gleicher Kapazität parallel geschaltet, ohne das Ladung verloren geht. Welche Spannung nehmen die Kondensatoren an? Wie viel elektrische Energie geht verloren?

Die Spannung an den beiden Kondensatoren beträgt: U = 150 V

Die Energie der beiden einzelnen Kondensatoren beträgt: WGes = 0.2 J + 0,05 J = 0,25 J

Nach der Parallelschaltung sind es: W = 0,225 J

Also ging W = 0,25 J – 0,0225 J = 0,025 J verloren.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das Herz

Der sogenannte Sinusknoten, ein ca. 3 mm breites und 25 mm langes Gebilde im rechten Vorhof des Herzens ist der eigentliche, natürliche Schrittmacher des Herzens, der mit einer Frequenz von ca. 60 - 100 Impulsen pro Minute erregt wird. Die von ihm ausgehenden elektri-schen Impulse pflanzen sich mittels dreier Faserbündel über die Vorhöfe zum sogenannten AV-Knoten fort.Dieser AV-Knoten ist die "elektrische Sammelstelle" der Vorhoferregung. Würde dem AV-Knoten nicht der schnellere Takt des Sinusknotens aufgezwungen, so würde er selbst eine Erregungsfrequenz von ca. 40 Impulsen pro Minute besitzen, die für einen "Notbetrieb" des Herzens - bei einem Ausfall des Sinusknotens - noch ausreichen würde.

Über weitere "Leitungen" (His-Bündel; Tawara-Schenkel) gelangen die elektrischen Impulse zur Herzspitze, wo sie schließlich die Kontraktion des Herzmuskels auslösen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Das Herz - Aktionspotenzial

Wie kommt es zur elektrischen Spannung im Herzmuskel?

Führt man eine Mikroelektrode in das Zellinnere einer Herzmuskelfaser und legt man eine zweite Elektrode an das Zelläußere, so kann man mit einem empfindlichen Spannungsmesser (mV-Bereich) eine Spannung feststellen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aktionspotenzial

RuhepotenzialDie Zellmembran stellt die Trennwand zwischen dem Inneren und dem Äußeren der Zelle dar. Im Ruhezustand der Zelle ist die Membran halbdurchlässig (semipermeabel). Die Konzentration der Kaliumionen (K+) ist im Zellinneren ca. 50mal größer als im Zelläußeren. Durch Poren in der Zellmembran können die K+-Ionen leicht nach außen diffundieren, somit verliert das Zellinnere an positiver Ladung. Umgekehrt befinden sich im Zelläußeren ca. 15mal mehr Natriumionen als im Zellinneren. Die Na+-Ionen können im Ruhzustand jedoch die Membran nicht passieren.Durch den Verlust an positiven K+-Ionen wird das Zellinnere negativ, das Zell-äußere positiv aufgeladen, es entsteht eine Potenzialdifferenz von ca. -70mV (Potenzialnullpunkt: Zelläußeres). Durch die Fähigkeit der Membran, verschiedene Ionenkonzentrationen aufrechtzuerhalten wird die Zelle zum Dipol, sie befindet sich im Zustand der Polarisation.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aktionspotenzial

Aktionspotenzial (Erregung)Wird das Ruhepotenzial der Herzmuskelzelle z.B. durch einen Spannungsimpuls gestört, so kann es zu einer Umpolung der Zelle (Depolarisation) kommen, da die Durchlässigkeit der Membran verändert wird. Na+-Ionen können zunächst schnell ins Zellinnere dringen und gleichzeitig nimmt die Membranpermeabilität für die K+-Ionen ab. Die Na+-Ionen erhöhen die positive Ladung im Zellinneren soweit, dass es zu einer Umkehr des Vorzeichens der Potenzialdifferenz kommt.In einer zweiten Phase strömen neben den Natriumionen auch noch Calziumionen (Ca++) in die Zelle. Dies geschieht nicht so schnell wie der anfängliche Transport der Natriumionen. Daher erfährt das Aktionspotential das für die Herzmuskelzelle typische Plateau. Das Eindringen der Calziumionen führt zur sogenannten elektromechanischen Kopplung, welche die Kontraktion des Herzmuskels bewirkt. In dieser Phase ist die Zelle durch weitere Impulse nicht mehr anregbar, sie ist refraktär und somit unempfindlich für irgendwelche Störungen.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aktionspotenzial

Im Laufe dieses Prozesses nimmt nun wieder die Permeabilität für Na+-Ionen ab, die für K+-Ionen zu. So können wieder K+-Ionen aus der Zelle strömen bis der ursprüngliche Zustand wieder hergestellt ist (Repolarisation).

Ist eine Zelle depolarisiert, so pflanzt sich dieser Zustand auf die Nachbarzellen fort (vgl. Ausbreitung einer Wasserwelle). Diese Erregungsfortleitung von Zelle zu Zelle geschieht über die gesamte Körperoberfläche, so dass man die Potenziale auch an der Haut mit Hilfe von Elektroden abgreifen kann.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Aktionspotenzial

Im Gegensatz zur normalen Herzmuskelzelle ist die Zell-membran bei Sinusknotenzel-len im Ruhezustand für K+-Ionen nicht so stark durch-lässig, Na+-Ionen gelangen ein wenig durch die Membran. Dadurch ist das Ruhepotenzial nicht so stark negativ. Es be-steht somit eine größere Empfindlichkeit für die Depo-larisation. Außerdem gehen die Zellen des Sinusknotens wieder schneller in den Ruhezustand.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Sinn der EKG-Kurve

Das EKG stellt in der Medizin ein wichtiges In-strument zur Untersuchung der Herzfunktion dar. Der niederländische Arzt W. Einthoven konnte im Jahre 1903 als Erster elektrische Impulse, die von einem Hundeherz ausgingen, nachweisen. Der erfahrene Arzt kann mit Hilfe des EKGs u.a. folgende Punkte beurteilen:

1.Herzfrequenz und Herzrythmus

2.Lage des Herzens

3.Eventuelle Störungen im Erregungsleitsystem

4.Vorliegen eines Herzinfarktes

5.Erkrankungen der Herzkranzgefäße

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die EKG-Kurve

Wie viele Elektroden zur Ableitung der Signale angelegt werden, hängt davon ab, ob nur eine grobe Überprüfung der Herzfunktion beabsichtigt ist (hier: drei Ableitungen nach Einthoven) oder ob eine differenzierte Diagnose gestellt werden soll (bis zu 12 Ableitungen). Die dabei sich ergebenden Signale sind in der absoluten Höhe etwas unterschiedlich, die Signalstruktur ist jedoch immer die gleiche und hat etwa das folgende Aussehen:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die EKG-Kurve

Im Bild ist rot angedeutet, welcher Teil des Her-zens gerade erregt wird. Die Pfeile zeigen auf die dafür typische Signalform beim gesunden Herzen.

Die P-Welle ist die im positiven Spannungsbe-reich liegende halbrunde Welle, die bei der Erre-gung der Vorhöfe auftritt.

Die Q-Zacke ist eine kleine negative Zacke, die den Beginn der Kammererregung bezeichnet.

Die R-Zacke ist schmal und hoch. Sie tritt bei der Kammererregung auf.

Die S-Zacke ähnelt der Q-Zacke und gehört eben-falls noch zur Kammererregung.

Die T-Welle ist relativ groß und breit. Sie ent-spricht der Erregungsrückbildung (Repolarisation).

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Die EKG-Kurve

Aus den zeitlichen Abständen einzelner Zacken und deren relativer Höhe und Steilheit kann der Arzt erkennen, ob das Herz gesund ist oder ob eine Krankheit vorliegt. Hier einige Beispiele:

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der elektr. Widerstand

Der Kondensator

C =

R =

Einheit: 1 C/V = 1F

Einheit: 1 V/A = 1

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der elektr. Widerstand - Farbcode

Auf ein Keramikröhrchen sind Schichten aus verschiedenen Materialien aufgebracht. Da die Widerstände sehr klein sind, kennzeichnet man den Widerstandswert durch Farbringe. Dies hat gegenüber Aufschriften auch den Vorteil, dass die Kennzeichnung eines in eine Schaltung eingelöteten Widerstandes auf jeden Fall zu erkennen ist.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der elektr. Widerstand - Farbcode

also : 10 x 100 = 1000 Ohm = 1kΩ ±5%

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der elektr. Widerstand – Farbcode 4 Ringe

Es gibt Farbcodes mit 4 Ringen, mit 5 Ringen oder 6 Ringen. Bei 4 Ringen geben die ersten bei-den Ringe die Zahlenwerte an, der 3. Ring gibt den Multiplikator und der 4. Ring gibt die Tole-ranzklasse an (siehe Tabelle un-ten). Bei dieser Art könnte man bis zu 8640 verschiedene Abstu-fungen ausdrücken. Bei 5 Ringen geben die ersten 3 Ringe den Zahlenwert an, der 4. Ring ist der Multiplikator und der 5. Ring die Toleranzklasse. Bei 6 Ringen ist es genau wie bei 5 Ringen, nur, dass ein 6. Ring dazu kommt, der eine Information über den Temperaturkoef-fizienten enthält.

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der elektr. Widerstand – Farbcode 5 oder 6 Ringen

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Einführung in die Elektrizitätslehre

Der elektr. Widerstand - Beispiele