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第三章 指數與對數

第三章 指數與對數. 3-5 指數與對數的應用 丁、指數與對數的應用. 例題 8. 阿源 向 阿華 借 5 萬元 , 兩人協商以單利計息 , 年利率 2%, 每年計息一次 . 請問五年後 , 阿華 可領回本利和（本金＋利息）共多少元？. 解： 單利： 每年的利息都是　 50000×2% ＝ 1000, 即每年本利和會增加 1000 元 . 今詳列如下： 第一年本利和為 50000 ＋ 50000×2% ＝ 50000×(1 ＋ 2%) ＝ 51000 ；. 單利計息公式： 本利和＝本金 ×(1 ＋利率 × 期數 ). . 例題 8.

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第三章 指數與對數

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  1. 第三章指數與對數 3-5 指數與對數的應用 丁、指數與對數的應用

  2. 例題8 阿源向阿華借5萬元, 兩人協商以單利計息, 年利率2%, 每年計息一次. 請問五年後, 阿華可領回本利和（本金＋利息）共多少元？ • 解： • 單利： • 每年的利息都是　50000×2%＝1000, 即每年本利和會增加1000元. • 今詳列如下： • 第一年本利和為50000＋50000×2%＝50000×(1＋2%)＝51000； 單利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率×期數).  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  3. 例題8 阿源向阿華借5萬元, 兩人協商以單利計息, 年利率2%, 每年計息一次. 請問五年後, 阿華可領回本利和（本金＋利息）共多少元？ • 解： • 第二年本利和為50000×(1＋2%)＋50000×2% ＝50000×(1＋2×2%)＝52000； • 第三年本利和為50000×(1＋2×2%)＋50000×2% ＝50000×(1＋3×2%)＝53000； 單利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率×期數).  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  4. 例題8 阿源向阿華借5萬元, 兩人協商以單利計息, 年利率2%, 每年計息一次. 請問五年後, 阿華可領回本利和（本金＋利息）共多少元？ • 解： • 第四年本利和為50000×(1＋3×2%)＋50000×2% ＝50000×(1＋4×2%)＝54000； • 第五年本利和為50000×(1＋4×2%)＋50000×2% ＝50000×(1＋5×2%)＝50000＋50000×2%×5＝50000＋1000×5＝55000（元）. 單利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率×期數).  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  5. 等差數列 上例中, 我們將每年的本利和依序列出如下：51000, 52000, 53000, 54000, 55000 我們發現, 後一個數減去前一個數的值都相同, 像這樣, 由「後一個數減去前一個數的值都相同的數」所排成的數列, 稱為等差數列. 此部分在第二冊會有更深入的說明. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  6. 隨堂練習8 若例題8中, 改以半年單利計息一次, 其餘條件不變, 請問阿華可領回本利和共多少元？ • 解： • 每半年的利息都是50000×1%＝500, • 因此每半年本利和會增加500元. • 所以五年後的本利和為50000＋500×10＝55000（元）. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  7. 例題9 阿源將5萬元存到全盛銀行, 每年複利計息一次, 年利率是2%.請問五年後, 阿源可領回本利和共多少元？（參考右表計算） • 解： • 複利： • 第一年本利和為50000＋50000×2%＝50000×(1＋2%)； 複利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率)期數.  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  8. 例題9 阿源將5萬元存到全盛銀行, 每年複利計息一次, 年利率是2%.請問五年後, 阿源可領回本利和共多少元？（參考右表計算） • 解： • 第二年本利和為50000(1＋2%)＋50000×(1＋2%)×2% ＝[50000×(1＋2%)]×(1＋2%)＝50000×(1＋2%)2； 複利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率)期數.  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  9. 例題9 阿源將5萬元存到全盛銀行, 每年複利計息一次, 年利率是2%.請問五年後, 阿源可領回本利和共多少元？（參考右表計算） • 解： • 第三年本利和為[50000×(1＋2%)2]＋[50000×(1＋2%)2]×2% ＝[50000×(1＋2%)2]×(1＋2%)＝50000×(1＋2%)3； 複利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率)期數.  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  10. 例題9 阿源將5萬元存到全盛銀行, 每年複利計息一次, 年利率是2%.請問五年後, 阿源可領回本利和共多少元？（參考右表計算） • 解： • 第四年本利和為[50000×(1＋2%)3]＋[50000×(1＋2%)3]×2% ＝[50000×(1＋2%)3]×(1＋2%)＝50000×(1＋2%)4； 複利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率)期數.  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  11. 例題9 阿源將5萬元存到全盛銀行, 每年複利計息一次, 年利率是2%.請問五年後, 阿源可領回本利和共多少元？（參考右表計算） • 解： • 第五年本利和為[50000×(1＋2%)4]＋[50000×(1＋2%)4]×2% ＝[50000×(1＋2%)4]×(1＋2%)＝50000×(1＋2%)5. • 由附表知(1＋2%)5＝1.1041, 所以五年後的本利和為50000×1.1041＝55205（元）. 複利計息公式：本利和＝本金×(1＋利率)期數.  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  12. 等比數列 上例中, 我們將每年的本利和依序列出如下：50000×(1＋2%), 50000×(1＋2%)2,50000×(1＋2%)3, 50000×(1＋2%)4,50000×(1＋2%)5 我們發現, 後一個數除以前一個數的值都相同, 像這樣, 由「後一個數除以前一個數的值都相同的數」所排成的數列, 稱為等比數列. 此部分在第二冊會有更深入的說明. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  13. 隨堂練習9 若例題9中, 改以半年複利計息一次, 其餘條件不變, 請問阿源可領回本利和共多少元？ • 解： • 五年後的本利和為50000×(1＋1%)10＝50000×1.1046＝55230（元）. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  14. 半衰期與碳14斷代法 半衰期：放射性元素的質量衰減為原來質量的一半所經過的時間, 稱為該元素的半衰期. 碳14斷代法： 大氣中的放射性碳14與正常二氧化碳的比率趨近於定值. 而動植物經由呼吸作用, 其體內所含放射性碳14的比率也與大氣中相同, 但是當動植物死亡後, 體內的碳14不再獲得補充, 則體內的碳14就會隨著時間而衰變. 考古學家藉由古物中所殘留的碳14含量, 再利用碳14的半衰期, 可回推古物的死亡時間, 便可推得古物當時的年代, 此方法稱為碳14斷代法. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  15. 例題10 實驗得知, 放射性元素的衰變符合指數函數 M(t)＝M0．　　, 其中M(t)表放射性元素經過時間 t 後的質量, M0表初始時間的質量, t 為經過的時間, k 為放射性元素的半衰期. 在臺灣大坌坑文化中, 某古物於1960年出土, 且經檢測其出土時的碳14含量為正常大氣中碳14含量的60%（已知碳14的半衰期約為5700年）, 試問此古物所屬年代約為西元前幾年？ （已知log2 ≈ 0.3010, log3 ≈ 0.4771） 「大坌坑遺址」所在地位於台北縣八里鄉 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  16. 例題10 • 解： • 設該古物存在於1960年前t年, • 依題意, 60%．M0＝M0． • 即 • 兩邊取對數得　log2＋log3－1＝ • 化簡得 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  17. 例題10 • 解： • 即　t ≈ 4202. • 又1960－4202＝－2242, • 所以此古物所屬年代約為西元前2242年. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  18. 隨堂練習10 承例題10 , 另一古物也於1960年出土, 但出土時的碳14含量為正常大氣中碳14含量的43% , 試問此古物所屬年代約為西元前幾年？（已知log4.3 ≈ 0.6335） • 解： • 設該古物存在於1960年前 t 年, • 依題意, 43%．M0＝M0． • 即 • 兩邊取對數得 log4.3－1＝　　　．log2, 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  19. 隨堂練習10 承例題10 , 另一古物也於1960年出土, 但出土時的碳14含量為正常大氣中碳14含量的43% , 試問此古物所屬年代約為西元前幾年？（已知log4.3 ≈ 0.6335） • 解： • 化簡得 • 即　t ≈ 6940. • 又　1960－6940＝－4980, • 所以此古物所屬年代約為西元前4980年. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  20. 隨堂練習10 承例題10 , 另一古物也於1960年出土, 但出土時的碳14含量為正常大氣中碳14含量的43% , 試問此古物所屬年代約為西元前幾年？（已知log4.3 ≈ 0.6335） • 註： • 據考究，大坌坑文化約在西元前2000年至5000年間，為臺灣新石器時代最早期的一層文化，有些學者相信，大坌坑文化為太平洋文化南島語族的起源，而臺灣現存的原住民便屬南島一族。 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  21. 例題11 天文學中, 「視星等」是根據肉眼觀測星球的亮度所定義的. 若一顆亮度為E的星星, 其星等定為：m＝－2.5log10E, 稱之為m等星. 試問1等星的亮度是6等星亮度的多少倍？ • 解： • 設1等星的亮度為E1, 6等星的亮度為E2, 則由星等定義知 • ①－②得　－5＝－2.5(log10E1－log10E6) 織女星為一等星. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  22. 例題11 天文學中, 「視星等」是根據肉眼觀測星球的亮度所定義的. 若一顆亮度為E的星星, 其星等定為：m＝－2.5log10E, 稱之為m等星. 試問1等星的亮度是6等星亮度的多少倍？ • 解： • 所以 • 故1等星的亮度是6等星亮度的100倍. 織女星為一等星. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  23. 隨堂練習11 目前國際使用「芮氏規模」來表示地震的強度, 設E(r)為地震「芮氏規模r」震央所釋放出來的能量（單位為耳格）, 且r與E(r)的關係如下：log10E(r)＝11.8＋1.5r. 某次地震的芮氏規模為4, 試問其震央所釋放的 能量E(4)為多少？ • 解： 由題意知　 log10E(4)＝11.8＋1.5×4＝17.8, • 故　 E(4)＝1017.8（耳格）. 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  24. 隨堂練習11 • 目前國際使用「芮氏規模」來表示地震的強度, 設E(r)為地震「芮氏規模r」震央所釋放出來的能量（單位為耳格）, 且r與E(r)的關係如下：log10E(r)＝11.8＋1.5r. • 試問「芮氏規模6」的地震, 其震央所釋放的能量是「芮氏規模4」的地震震央所釋放能量的多少倍？ • 解：  例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

  25. 隨堂練習11 • 目前國際使用「芮氏規模」來表示地震的強度, 設E(r)為地震「芮氏規模r」震央所釋放出來的能量（單位為耳格）, 且r與E(r)的關係如下：log10E(r)＝11.8＋1.5r. • 試問「芮氏規模6」的地震, 其震央所釋放的能量是「芮氏規模4」的地震震央所釋放能量的多少倍？ • 解： • 故「芮氏規模6」的地震, 其震央所釋放的能量是「芮氏規模4」的地震震央所釋放能量的1000倍. End 例題 8 隨堂8 例題 9 隨堂9 例題10 隨堂10 例題11 隨堂11

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